Доказать что треугольник авс равнобедренный

Как доказать, что треугольник АВС равнобедренный в 7 классе

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой, а два угла при основании равны. Равнобедренные треугольники встречаются в геометрии очень часто, и доказательство их свойств является важной задачей на уроках математики. В данной статье мы рассмотрим доказательство равнобедренности треугольника АВС для 7 класса.

Для доказательства равнобедренности треугольника АВС необходимо и достаточно показать, что две стороны треугольника АВС равны между собой, а углы при его основании равны. Для этого мы воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и уже доказанными утверждениями из предыдущих уроков.

Доказательство равенства сторон треугольника АВС: Рассмотрим отрезок АС, который является основанием треугольника АВС. Пусть точка М – середина стороны АС. Соединим точки М и В отрезком. Получим отрезок МВ, который является медианой треугольника АСВ и перпендикулярен к основанию треугольника АС.

Что такое равнобедренный треугольник?

Равнобедренные треугольники могут быть разделены на два типа: с углом при основании и с углом при вершине. В треугольнике с углом при основании две боковые стороны равны, а в треугольнике с углом при вершине основание и боковая сторона равны.

Свойства равнобедренных треугольников можно использовать для решения задач, связанных с нахождением неизвестных сторон и углов. Например, если известно, что треугольник является равнобедренным, то можно установить равенство двух сторон или углов и использовать его для дальнейших вычислений.

Свойства равнобедренных треугольников

1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны друг другу. Это следует из определения равнобедренного треугольника, где два угла и две стороны при основании равны.

2. Углы при основании равны

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны друг другу. Это свойство следует из определения равнобедренного треугольника, где две стороны при основании равны.

3. Медиана, проведенная из вершины к основанию, является средним перпендикуляром к основанию

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, является средним перпендикуляром к основанию. Это значит, что медиана делит основание на две равные части и перпендикулярна ему.

4. Биссектриса угла при вершине также является высотой

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине также является его высотой. Это следует из определения равнобедренного треугольника, где биссектриса делит угол на две равные части, а также из свойств треугольника, где высота перпендикулярна основанию.

5. Окружность, описанная вокруг равнобедренного треугольника, имеет основание на середине дуги перпендикуляра

В равнобедренном треугольнике окружность, описанная вокруг треугольника, имеет свое основание на середине дуги перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника. Это свойство следует из того, что такая окружность касается трех сторон треугольника.

Доказательство равнобедренности

Для доказательства равнобедренности треугольника АВС нам необходимо использовать свойство равенства боковых сторон и углов треугольника.

Предположим, что треугольник АВС — равнобедренный, то есть стороны АB и AC равны между собой.

Для начала, рассмотрим углы треугольника. Если треугольник равнобедренный, то его основание AB и AC, а значит, углы B и C должны быть равными.

Пусть угол B равен углу C, то есть ∠B = ∠C.

Теперь рассмотрим боковые стороны треугольника АВС. Если треугольник равнобедренный, то его боковые стороны AB и AC должны быть равными между собой.

Пусть сторона AB равна стороне AC, то есть AB = AC.

Используя эти равенства, мы можем заключить, что треугольник АВС является равнобедренным.

Таким образом, если стороны треугольника AB и AC равны между собой, и углы B и C равны, то треугольник АВС является равнобедренным.

Методы доказательства

Существует несколько методов, которые можно использовать для доказательства равнобедренности треугольника в геометрии.

• Сравнение сторон и углов: Если все стороны треугольника равны между собой, то треугольник равнобедренный. Также, если две стороны треугольника равны, и прилежащие им углы равны, то треугольник также является равнобедренным.
• Использование теоремы: Некоторые теоремы в геометрии могут помочь в доказательстве равнобедренности. Например, теорема о равных базах треугольников гласит, что если в двух треугольниках равны основания и равны основаниями противолежащие углы, то эти треугольники равнобедренные.
• Использование свойств равнобедренных треугольников: Равнобедренные треугольники имеют ряд свойств, которые можно использовать для доказательства их равнобедренности. Например, равнобедренные треугольники имеют равные высоты, медианы и биссектрисы, проведенные к основанию.

При доказательстве равнобедренности треугольника очень важно следовать строгой логике и использовать известные геометрические факты и правила. Только тогда можно достичь точности и уверенности в результате.

Примеры доказательства

Доказательство равнобедренности треугольника можно осуществить различными способами. Рассмотрим несколько примеров:

Пример	Доказательство
Пример 1	Дано: треугольник АВС, AB = AC

Доказательство: Соединим точки B и C линией ВС.

Рассмотрим треугольники ABC и ACB.

BC = CB (общая сторона)

Угол B = Угол C (в силу свойств равных сторон треугольника).

Доказательство: Рассмотрим основания перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника.

У точек, в которые перпендикуляры опускаются на основания, должно быть одинаковое расстояние до основания треугольника.

Так как AB = AC, то и расстояние от вершины B и вершины C до основания треугольника одинаково.

Доказательство: Обозначим точку середины стороны BC как D.

У точки D должно быть одинаковое расстояние от основания треугольника до вершин A и D.

Так как AB = AC, то и расстояние от вершины A и вершины D до основания треугольника одинаково.

Дано : AB = BC Угол 1 = углу 2 Доказать : Треугольник ADC — равнобедренный?

Дано : AB = BC Угол 1 = углу 2 Доказать : Треугольник ADC — равнобедренный.

Ответить на вопрос
Для ответа на вопрос необходимо пройти авторизацию или регистрацию.

Alice78 1 дек. 2020 г., 00:58:40

АВ = ВС по условию, ∠1 = ∠2 по условию, BD — общая сторона для треугольников ABD и CBD, ⇒ΔABD = ΔCBD по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AD = CD, ⇒ ΔADС — равнобедренный.

КраснаяПанда12 11 авг. 2020 г., 04:34:50 | 5 — 9 классы

Дано угол 1 равен углу 2 доказать что треугольник abc равнобедренный?

Дано угол 1 равен углу 2 доказать что треугольник abc равнобедренный.

OlgaiDasha 12 дек. 2020 г., 22:06:30 | 5 — 9 классы

Стороны AD = AB, угол DAC = углу CAB1)?

Стороны AD = AB, угол DAC = углу CAB

Доказать что треугольник ABC = треугольнику ADC

Найти угол ADC, и угол ABC если угол ACD равен 32 градуса.

Natasjalyasenko 17 янв. 2020 г., 06:10:52 | 5 — 9 классы

1 задачаДано : угол ABD = уголу DBCDB биссектриса угла ADCДоказать что треугольник DAB = треугольнику DCB?

Дано : угол ABD = уголу DBC

DB биссектриса угла ADC

Доказать что треугольник DAB = треугольнику DCB.

Дано : AB пересекается CD = 0

Доказать что AC = DB.

Larev96 20 авг. 2020 г., 14:58:01 | 5 — 9 классы

Дано : угол B = углу C = 90°, угол ADC = 50°, углу ADB = 40°?

Дано : угол B = углу C = 90°, угол ADC = 50°, углу ADB = 40°.

Доказать : треугольник ABD = треугольнику DCA.

Mircoolsp93 5 февр. 2020 г., 14:38:14 | 10 — 11 классы

DA — медиана равнобедренного треугольника BDC с основанием CB : угол D = 120?

DA — медиана равнобедренного треугольника BDC с основанием CB : угол D = 120.

Найдите углы треугольника ADC.

Apendics 19 мая 2020 г., 10:51:42 | 5 — 9 классы

3. Дан равнобедренный треугольник АВС?

3. Дан равнобедренный треугольник АВС.

В нем проведена биссектриса АD, угол С равен 50°.

Найти градусную меру угла ADC?

Fluffy90 25 апр. 2020 г., 17:34:20 | 5 — 9 классы

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36 градусов?

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36 градусов.

Доказать, что биссектриса угла при основании делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Mary1502 18 сент. 2020 г., 22:56:11 | 5 — 9 классы

ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC ; CD — биссектриса угла C ; угол ADC = 150 градусам?

ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC ; CD — биссектриса угла C ; угол ADC = 150 градусам.

Oksveta 13 апр. 2020 г., 23:03:43 | 10 — 11 классы

АВС — равнобедренный треугольник с |AC| = |BC| * [AD] — биссектриса угла А?

АВС — равнобедренный треугольник с |AC| = |BC| * [AD] — биссектриса угла А.

Чему равен угол ВСА, если угол ADC = 75 градусов?

NanakiAkashiya 15 мар. 2020 г., 09:47:27 | 1 — 4 классы

Доказать, что треугольник ABC равнобедренный?

Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Дано : AB = BC Угол 1 = углу 2 Доказать : Треугольник ADC — равнобедренный?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Последние ответы

Олдр1 30 апр. 2024 г., 20:30:10

Ответ : 2 / 3AD + 3 / 5AB = MK Объяснение : беремо малюємо паралелограм сторона АВ дорівнюєСД за ознакою паралелограма АД = ВС тоді СМ / МД = 2 / 3 значить вся сД складається з 5 частин так як Мд буде 3 частини займати то буде складати 3 / 5 части..

Nastasyareznik 30 апр. 2024 г., 20:20:46

Ответ : 12см Объяснение : МК = 3 см потому что К середина МВ &nbsp ; КВ = 3см 3 + 3 = 6 это МВ 6 + 6 + 12 это АВ.

Крапинка 30 апр. 2024 г., 18:47:03

Ответ : Дано : кут при вершині = 100° Знайти : Кути при основі Розв’язання : трикутник рівнобедрений, отже кути при основі дорівнюють 180 — 100 = 80 : 2 = 40° Відповідь : 100, 40, 40 Объяснение : ))).

Mular 30 апр. 2024 г., 17:26:15

Ответ : АВ = 10см ; АС = 14см Відстань від точки А до площини дорівнює 4√6см Объяснение : ∆AKB — прямокутний трикутник За теоремою Піфагора : АК² = АВ² — ВК² h² = x² — 2² h² = x² — 4 ∆ACK — прямокутний трикутник За теоремою Піфагора : АК² = АС² — СК²..

Дага237 30 апр. 2024 г., 16:54:22

V = a * b * c a * b * c = 40 \ 8 = 5 ответ : 5 надеюсь правильно).

MrSymon 30 апр. 2024 г., 16:52:58

Ответ в закрепке) надеюсь подчерк разборчив.

Lera014 30 апр. 2024 г., 15:32:31

1. 180 градусов, развёрнутый.

Killgod514 30 апр. 2024 г., 14:14:38

Ответ : 1. Среднее из этих чисел — 37. 2. m = 15 см. Объяснение : Решения в приложении.

Блаблабла44 30 апр. 2024 г., 12:39:55

Ответ : 36 см2. Объяснение : S = (a + b)÷2×h S = (4 + 8)÷2×6 = 36 (см2).

Марианна20045 30 апр. 2024 г., 12:01:25

Ответ : LR Объяснение : .

Как доказать что треугольник равнобедренный 7 класс геометрия

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.

Доказать: />В = />С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.

Доказать: АD — медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.

Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС — смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 180 0 , тогда ADВ = ADС = 90 0 , т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Как доказать, что треугольник равнобедренный? Основные свойства и признаки

Знания о равнобедренном треугольнике пригодятся не только школьникам на уроках геометрии, но и во многих сферах повседневной жизни. Например, строители используют свойства равнобедренного треугольника в расчетах для возведения зданий, а дизайнеры — при проектировании интерьеров. Давайте разберемся подробнее, что такое равнобедренный треугольник, какие у него основные свойства и признаки, и как доказать, что перед нами именно равнобедренный треугольник.

Определение равнобедренного треугольника

Начнем с формального определения. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC. Здесь AB = AC, то есть стороны AB и AC равны. Эти две равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Сторону BC, которая не равна двум другим сторонам, называют основанием равнобедренного треугольника.

В отличие от равнобедренного треугольника, у равностороннего треугольника все три стороны равны. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, но не наоборот — далеко не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним.

Основные свойства равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника есть два важных свойства, касающихся его углов. Давайте сформулируем и докажем эти свойства.

пункт 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Это свойство легко доказать с помощью биссектрисы. Рассмотрим на рисунке равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Проведем в нем биссектрису AD. Получились два треугольника ABD и ACD, которые равны по первому признаку равенства треугольников (сторона AD общая, AB = AC и AD делит угол BAC пополам). Значит, в этих треугольниках равны соответственные углы, в частности ∠ABD = ∠ACD. Но ∠ABD и ∠CBD, ∠ACD и ∠CAD — вертикальные углы, значит они равны. Получаем, что ∠CBD = ∠CAD, то есть углы при основании BC действительно равны.

пункт 2. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой.

Это свойство тоже нетрудно доказать. Возьмем тот же треугольник ABC и его биссектрису AD. Как мы уже выяснили, треугольники ABD и ACD равны, а значит равны их соответствующие элементы: BD = CD. Но тогда точка D является серединой стороны BC, то есть AD — медиана нашего треугольника. Кроме того, в этих треугольниках ∠ADB = ∠ADC = 90° (они равны как вертикальные). Значит, AD⊥BC, то есть AD — высота треугольника ABC.

Итак, мы доказали два важных свойства равнобедренного треугольника, касающихся его углов и биссектрисы, медианы, высоты, проведенных к основанию. Эти свойства нам помогут определить, является ли треугольник равнобедренным.

Далее перейдем к основным признакам равнобедренного треугольника и рассмотрим, как доказать, что треугольник равнобедренный.

Основные признаки равнобедренного треугольника

Существует три основных признака, по которым можно определить, что треугольник является равнобедренным:

1. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
2. Если высота треугольника является медианой, то он равнобедренный.
3. Если две стороны треугольника равны, то он равнобедренный.

Давайте последовательно докажем эти три признака.

Начнем с первого признака. Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠B = ∠C. Отразим его слева направо относительно стороны AB и получим треугольник A1BC1, где C1 — точка пересечения стороны AB с лучом AC1. У этих двух треугольников ABC и A1BC1 по построению ∠B = ∠C1 и ∠C = ∠B (вертикальные углы равны). Кроме того, они имеют общую сторону AB. Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства, а в равных треугольниках равны соответственные элементы. В частности, AC = BC1, но BC1 = BC, так как C1 лежит на луче AC1. Получаем, что AC = BC, то есть наш треугольник ABC действительно равнобедренный.

Переходим ко второму признаку — если в треугольнике ABC высота AD совпадает с медианой (точка D лежит на стороне BC), то по теореме о свойстве высоты, медианы и биссектрисы ΔABD = ΔACD. А в равных треугольниках равны соответственные стороны, в частности AB = AC. Значит, наш треугольник ABC — равнобедренный.

Третий признак является простым следствием из определения равнобедренного треугольника: если в некотором треугольнике две стороны равны, то по определению он равнобедренный.

Заключение

Вот три основных признака, по которым можно определить, что треугольник является равнобедренным. Надеемся, теперь вы сможете справиться с решением геометрических задач.