Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

Показать, что линейное преобразование существует

Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 148
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Добрый вечер. Поставила в ступор такая задача.

Линейное преобразование трехмерного
арифметического пространства переводит вектор [math]a_[/math] в вектор [math]b_[/math]
(i = 1, 2, 3).

Нужно показать, что такое преобразование существует и единственно.

Проблема в том, что не совсем понимаю задание, что значит показать, что такое преобразование существует и единственно? Что нужно сделать?

Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 06 май 2019, 20:29

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9392
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

e7min писал(а):
Проблема в том, что не совсем понимаю задание,

Если проблемы в этом, то прежде всего скажу, что я советов по решению давать не буду. Зашёл в тему только способствовать вашему пониманию условия.

e7min писал(а):
Что нужно сделать?

В задаче упоминается термин «показать». На самом деле тут имеется в виду «доказать». Возможно вы сталкивались при изучении математики с так называемыми «доказательствами». Возможно вы учитесь на математическом факультете (или прикладной математики) и преподаватели считают, что вы должны уметь строить простейшие доказательства.

e7min писал(а):

Линейное преобразование трехмерного
арифметического пространства переводит вектор ai в вектор bi
(i = 1, 2, 3).
Нужно показать, что такое преобразование существует и единственно.

Вы в условии ничего не упустили? А то, вообще говоря, это неверно.
Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 08:50

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

searcher писал(а):
В задаче упоминается термин «показать». На самом деле тут имеется в виду «доказать».

Хотя в нашем случае термин «показать» тоже уместен. Если нам удастся построить преобразование в явном виде, тем самым мы покажем наглядно (и докажем), что преобразование существует.

Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 17:01

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

searcher писал(а):
Вы в условии ничего не упустили? А то, вообще говоря, это неверно.

В условии ещё даются векторы:

Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 17:33

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

searcher
Я вот проверил, что векторы a1, a2, a3 — линейно независимые и,
следовательно, составляют базис трехмерного арифметического
пространства. Этого достаточно, чтобы утверждать, что наше преобразование существует и единственно?

Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 17:44

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

e7min писал(а):
Этого достаточно, чтобы утверждать, что наше преобразование существует и единственно?
Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 17:47

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

e7min писал(а):

Проблема в том, что не совсем понимаю задание, что значит показать, что такое преобразование существует и единственно?

Вы с этой проблемой справились?
Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 18:11

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

searcher писал(а):
Вы с этой проблемой справились?

Нет, я не пойму как именно доказывать? По вот этому определению, просто подставляя векторы и проверяя равенства?

Цитата:

Отображение [math]\varphi \,\colon V \to V[/math] называется линейным преобразованием пространства V (или линейным оператором, действующим в пространстве V ), если для произвольных x, y ∈ V и произвольного α ∈ F имеют место следующие
равенства:
[math]\varphi (x+y)= \varphi x+ \varphi y[/math]
[math]\phi ( \alpha x)= \alpha ( \varphi x)[/math]

Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 18:33

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

e7min писал(а):
Нет, я не пойму как именно доказывать?

Вроде я спрашивал не об этом.
Заголовок сообщения: Re: Показать, что линейное преобразование существует
Добавлено: 07 май 2019, 19:05

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

e7min писал(а):
Нет, я не пойму как именно доказывать?

Не надо доказывать. Это ничего, что я вам голову дурю? Так и вы неожиданно поменяли условие. Для конкретных чисел слово «доказать» как-то неуместно. Считайте, что вам надо конкретно это преобразование построить. Затем всё-таки докажите единственность.

e7min писал(а):
Проблема в том, что не совсем понимаю задание

Тут проблема в том, что средний студент не в состоянии с первого раза нормально переписать условие. В следующий раз будьте внимательнее.
И потом

searcher писал(а):

то прежде всего скажу, что я советов по решению давать не буду. Зашёл в тему только способствовать вашему пониманию условия.

Тут дело в том, чтобы решить вашу задачу, нужно открыть учебник линейной алгебры и посмотреть, как доказывается соответствующая теорема. Но это только в том случае, если не сможете самостоятельно справиться с заданием.
И, да. Учебник линейной алгебры всё-таки желательно иметь. Хотя бы на компьютере.

Линейные преобразования для «чайников»

На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение.

Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками.

Обобщение понятия вектора. Векторное пространство

Ожидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь.

Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число .

Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи?

Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством

Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква .

Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее:

– все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству.

– для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства.

И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному.

В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =)

А теперь к основной теме урока:

Что такое линейное преобразование?

Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ).

Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики:

,
, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.

Линейное преобразование также называют линейным оператором.

Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида , в котором определены операция сложения и умножения вектора на число .

Никакой геометрии. – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется
-мерным арифметическим векторным пространством, и сейчас мы имеем дело с частным арифметическим пространством размерности 2.

Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности:

Здесь мы воспользовались дистрибутивностью умножения на скаляр относительно сложения векторов (одна из аксиом векторного пространства)

А здесь – аксиомой ассоциативности умножения на скаляр, коммутативностью (перестановочностью) самих действительных чисел (аксиома поля) и снова той же аксиомой ассоциативности.

Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =)

Таким образом, – это линейное преобразование.

Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице».

Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат .

Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).

Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:

– матрица линейного преобразования в базисе .

Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.

Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка :
– перешла в точку .

Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:

Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:

– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;
– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;
– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет).
И если меньше нуля, то дополнительно к растяжению/сжатию/неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.

При имеет место так называемое нулевое преобразование.

Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =)

…Представили? Нарисовали? Отлично!

Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой!

…хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =)

И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.

Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений ~~приготовить мясорубку~~ тестировать для рассматриваемых матриц различные векторы и точки. Читателям с маломальскими навыками матричного умножения не составит особого труда делать это устно.

Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень удивлённый кот.

Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат).

– образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).

– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .

И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример:
преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами .

А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования.

Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц).

По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии.

В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.

Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка , соответственно, является прообразом.

! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным.

Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше:

Таким образом, линейное преобразование перевело точку в точку .

Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева:

«Развернём» уравнение в привычном порядке:

Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще.

Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель:
, значит, матрица линейного преобразования обратима. С содержательной точки зрения это означает, что обратное линейное преобразование существует и задаётся оно в точности матрицей .

Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что превратится найденная точка :

– получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить.

Ответ:

Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю и обратной матрицы не существует.

Творческая задача для самостоятельного решения:

В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов.

Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью:

Даны два линейных преобразования:

Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна.

Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)

Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения:
или, если короче: .

Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).

Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.

Аналогично – запишем преобразование в матричном виде:
или:

По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение :

Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:

Если вы позабыли само матричное умножение, обратитесь к статье Свойства матричных операций, где я подробнейшим образом разобрал этот случай.

Осуществим матричное умножение в правой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы:

Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы:

Что и требовалось проверить.

Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления

Ответ:

Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты:
– таким образом, он превратился в вектор .

Более академичный способ – использование матричного уравнения .

Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =)

В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться уравнением .

«Плоский» случай для самостоятельного решения:

Даны два линейных преобразования в некотором базисе:

Найти образ вектора двумя способами:

1) путём последовательного применения преобразований и ;
2) с помощью композиционного оператора, выражающего координаты через .

Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:

– системы запросто могут быть переставлены местами;

– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования;

В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать.

А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока:

Матрица линейного преобразования в различных базисах

В начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов нами была составлена матрица данного линейного преобразования в данном базисе.

Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, скорее всего, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее:

Одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы.

И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу:

В базисе задано линейное преобразование . Найти матрицу данного преобразования в базисе , если

Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинным базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе . Для решения этого вопроса существует специальная формула:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения (внимание!) в 1-й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:

Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы , следует «перебирать» строго по порядку!

Остальное дело техники. Находим обратную матрицу:

И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:

Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.

Ответ:

Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.

Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т. е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .

Иногда матрицы и называют подобными.

Какой базис удобнее? Ну конечно, исходный , где матрица преобразования имеет вид , и сразу виднА характерная особенность этого преобразования. А что это за такой интересный базис, и как отыскать эту матрицу, вы узнаете на уроке о собственных векторах.

Трехмерный случай для самостоятельного решения:

Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе .

Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов.

Краткое решение и ответ совсем рядом.

И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.

Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов.

Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём матрицу обратного преобразования:
(см. урок. Как найти обратную матрицу)
Найдём прообразы:

Ответ:

Пример 4: Решение: запишем матрицы преобразований:

1) Последовательно применим к вектору преобразования и :

2) Найдём результирующее преобразование:

Таким образом:

Ответ: (нулевой вектор)

Пример 6: Решение: Решение: Используем формулу . Запишем матрицу перехода к новому базису:

Найдём матрицу обратного перехода:

Вычислим:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

6.4. Линейные преобразования

Повысили стипендию? Линейное преобразование. Увеличили этот текст на экране? Линейное преобразование. Отразились в зеркале? …Наверное, не вампир :).

Данная функция называется линейным преобразованием над полем действительных чисел, если для неё выполнено свойство линейности:
,

, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.

Обозначения: помимо , в ходу литературная версия без скобок: .

Линейное преобразование также называют линейным оператором.

И обращаю внимание, что данное выше определение абстрактно – в нём речь идёт о векторном пространстве в его общем алгебраическом понимании. Но мы, конечно, ради понимания вложим в векторы смысл, что я уже начал делать в первом абзаце.

Рассмотрим пространство доходов от учёбы – студентов некоторого ВУЗа за один месяц. Доходы, причём, могут быть и отрицательными, если студент платит репетиторам и / или за обучение. Тогда, с некоторыми оговорками, это пространство можно считать векторным, одномерным…, ну вот, наконец-то вы стали вникать в теорию 🙂

В связи с инфляцией цены увеличились на 20% – были проиндексированы как стипендии, так соразмерно увеличилась и плата за обучение. Таким образом, имеем преобразование , которое каждому вектору пространства ставит в соответствие вектор «игрек» этого же пространства по правилу .

Докажем, что это преобразование линейное (и в самом деле, ведь нелинейных гораздо больше). Во-первых, оператор отображает векторы пространства в векторы этого же пространства, что я уже подчеркнул выше. И во-вторых, нужно проверить свойство линейности, которое состоит из двух правил:

1) Для лучшего понимания я рассмотрю конкретные векторы (предположим, стипендии Иванова и Петрова), и выполню преобразование:
, с другой стороны:
,
таким образом, .

2) Пусть Иванов стал отличником и ему дополнительно увеличили стипендию на 50%. Тогда: , с другой стороны:
,
таким образом, .

Вывод: преобразование – линейное.

Возможно, такие доказательства кажутся Вам глупостью, но, тем не менее:

Задание 5: В текущем месяце ВУЗ дополнительно выплатил единовременную материальную помощь каждому студенту в размере 50 ден. ед. Записать советующее преобразование и доказать, что оно линейное.

Ещё раз: в чём состоит доказательство? Во-первых, нужно показать замкнутость оператора относительно , и во-вторых, проверить свойство линейности (два пункта). Сверяемся в конце книги (после решения Примера 130) и повышаем размерность.

Рассмотрим двумерное арифметическое пространство с заданными операциями сложения векторов по правилу и умножения вектора на действительное число .

Рассмотрим простенькое преобразование и докажем, что оно линейное.

Данный оператор каждому вектору пространства ставит в соответствие вектор , который принадлежит этому же пространству. Таким образом, это преобразование удваивает координаты векторов. Здесь хочется сказать «удваивает длину», но лучше не нужно. По той причине, что длина – есть атрибут евклидова пространства, а о нём тут речи не идёт. Вот видите, как… математика воспитывает в нас очередной философский и очень жизненный принцип:

Не болтай! (но я-то, конечно, буду:D – ради науки)

Проверим свойство линейности:

2) А вот здесь прочувствуйте всё строгость и красоту настоящей алгебры, закомментирую каждый шаг:

(1) применяем оператор к произведению ;
(2) используем ассоциативность умножения на скаляр (аксиома 5);
(3) используем коммутативность действительных чисел (аксиома 8 поля);
(4) используем ту же аксиому 5 векторного пространства;
(5) – это в точности результат воздействия оператора на вектор .

Вывод: – линейное преобразование.

Ну а сейчас спустимся на землю грешную и вдохнём в векторы конкретный смысл. А именно, рассмотрим евклидово пространство геометрических векторов плоскости в ортонормированном базисе и тот же оператор .

Если задан какой-либо базис векторного пространства (любой), то линейное преобразование удобно представить в матричном виде.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса

5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство

для любых вещественных чисел .

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами

5.8. Определителем Грама векторов евклидова пространства E_n называется определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторы перейдут в векторы , то

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл и , предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.11. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

5.12. Линейное преобразование в базисе

Найти его матрицу в базисе

5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную матрицу Q такую, что

5.14. Доказать, что для выполнения равенства , где – числа и векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или , или .

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов n-мерного пространства R_n были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

Глава 6. Линейные операторы

6.1. Определение линейного оператора

Определение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Оператор называется линейным, если:

1) для любых из (условие аддитивности);

2) для любого , где – произвольное число (условие однородности);

При =0 имеем , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора и координатами вектора . Для этого выразим векторы и соответственно через базис пространства и базис пространства :

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов .

Разложим каждый вектор по базису пространства :

Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

откуда в силу единственности разложения вектора по базису следует, что

или в матричном виде

Матрица А называется матрицей линейного оператора .

Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространстве и отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

и матрицей оператора является квадратная матрица .

Формулы (6.1.6) принимают вид:

Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица .

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор .

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространстве и матрицами А порядка n.

Если , то – невырожденный оператор.

Оператор называется обратным по отношению к оператору , если:

где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве .

Пусть в пространстве заданы два базиса и , связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода . Тогда связь между координатами векторов и в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т -1 АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т -1 АТ, получим Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора в разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т -1 АТ|=|Т -1 ||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного преобразования не зависит от выбора базиса в .

Примеры линейных операторов.

Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется нулевым оператором . Так как для любого базиса , то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.
Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется тождественным оператором . Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е.
Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса , то матрица оператора подобия равна .