докажите, что n^5 — n делится на 30
Найди верный ответ на вопрос ✅ «докажите, что n^5 — n делится на 30 . » по предмету �� Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Помоги с ответом
A. if 1 . (not have) to work tonight, uid with the restaurant come you to 2. If only I (not/cause) damage to his car! He wouldn’t be upset with me now. 3. I wish he (stop) watching TV! He’s been sitting there tour hours. for 5. if he .
Нет ответа
Найдите 5sin a, если cos a=2 корень из 6 деленый на 5.
Нет ответа
F=G*m1*m2/r^2 составить программу (паскаль)
Нет ответа
Широкое использование внеэкономического принуждения к труду является характерной чертой общества: 1) индустриального 2) традиционного; 3) гражданского; 4) постиндустриального.
Докажите, что при любом натуральном n, большем 1, число n^5-n делится нацело на 30.
0 
0
Ответы на вопрос
Внимание! Ответы на вопросы дают живые люди. Они могут содержать ошибочную информацию, заблуждения, а также ответы могут быть сгенерированы нейросетями. Будьте внимательны. Если вы уверены, что ответ неверный, нажмите кнопку «Пожаловаться» под ответом.
Отвечает Рождайкин Артём.
Натуральное значит больше нуля и целое
На 30 делится число, если оно закначивается на 0 и сумма цифр делитсч на 3
Из числел n, n+1,n-1,n²+1 при любом значении n всегда будет одно кратное 2.одно кратное 3 и одно кратное 5.
0 0
Отвечает Стоянова Алина.
Для того чтобы доказать, что при любом натуральном \( n \), большем 1, число \( n^5 — n \) делится нацело на 30, давайте воспользуемся методом математической индукции.
1. База индукции: При \( n = 2 \): \[ 2^5 — 2 = 30, \] что делится нацело на 30. Таким образом, база индукции верна.
2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого \( k \geq 2 \): \[ k^5 — k \] делится нацело на 30.
3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для \( k + 1 \): \[ (k + 1)^5 — (k + 1) = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 — (k + 1) \] Упростим это выражение: \[ = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k — k \] \[ = (k^5 — k) + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k \]
Мы уже знаем, что \( k^5 — k \) делится нацело на 30 по предположению индукции. Теперь докажем, что оставшаяся часть также делится нацело на 30.
Рассмотрим каждый член отдельно: — \( 5k^4 \) делится нацело на 30, так как кратно 5. — \( 10k^3 \) делится нацело на 30, так как кратно 10. — \( 10k^2 \) делится нацело на 30, так как кратно 10. — \( 5k \) делится нацело на 30, так как кратно 5.
Таким образом, каждый член делится нацело на 30, и сумма также делится нацело на 30.
Таким образом, по принципу математической индукции мы показали, что для любого натурального числа \( n \), большего 1, число \( n^5 — n \) делится нацело на 30.
0 0
Признак делимости на 5: примеры, доказательство
Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5 : сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.
Признак делимости на 5 , примеры
Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.
Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.
По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.
Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?
Решение
Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа — 900 , 10000 , 355 и — 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.
Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и — 5 делятся на 5 .
Доказательство признака делимости на 5
Приведем теорему и проведем ее доказательства.
Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .
Доказательство 1
Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .
Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5 , то и произведение a 1 · 10 тоже делится на 5 .
Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.
Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .
Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .
Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.
Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.
Другие случаи делимости на 5
Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .
Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?
Решение
Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 2 – 10 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .
Ответ: Да.
Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .
Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .
Решение
Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.
Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .
Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .
Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .
6 k + 1 + 10 · ( k + 1 ) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) — 50 k — 60 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) — 5 · ( 10 k + 12 )
Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .
Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.
Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .
Делится ли 6 n + 10 n + 14 на 5 при натуральных n ?
Решение
Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:
6 n + 10 n + 14 = ( 5 + 1 ) n + 10 n + 14 = = ( C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 5 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n — 1 + C n 1 · 5 n — 2 + … + C n n — 2 · 5 1 + 3 n + 3
Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .
Ответ: Да, делится.
Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n : мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .
Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .
Решение
Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · ( n 4 − 1 ) = n · ( n 2 − 1 ) · ( n 2 + 1 ) = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) .
Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .
Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 согласно свойству делимости.
Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · ( 5 · m 2 + 4 · m + 1 ) . Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .
Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .
Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .
Ответ: n 5 − n = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 при любом целом n .
Доказать что n 5 n делится на 30
n^5 — n = n * (n^4 — 1) = n * (n^2 — 1) * (n^2 +1) = (n-1) * n * (n +1) * (n^2 +1).
Заметим, что в разложении на множители есть 3 последовательных числа:
Это означает, что хотя бы одно из них делится на 2 и хотя бы одно из них делится на 3.
Следовательно, выражение делится на 2 * 3 = 6.
Предположим, что n = 5 * k + L, где L — остаток от деления на 5. Рассмотрим все случаи:
1. Если L = 0, то n делится на 5. Значит выражение делится на 5.
2. Если L = 1, то n — 1 = 5 * k. Значит выражение делится на 5.
(n^2 +1) = (5 * L + 2) ^2 +1 = 25 * L + 20 * L + 4 + 1 = 5 * (5 *L + 4 * L + 1).
Значит выражение делится на 5.
(n^2 +1) = (5 * L + 3) ^2 +1 = 25 * L + 30 * L + 9 + 1 = 5 * (5 *L + 6 * L + 2).
Значит выражение делится на 5.
5. Если L = 4, то n + 1 = 5 * k + 5. Значит выражение делится на 5.
Значит, выражение всегда делится 5 и на 6. Значит делится на 30.
Конечные числовые суммы. Метод математической индукции
Пусть n – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами :
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является простейшим примером бесконечной числовой суммы (числового ряда). Ряды изучают в ВУЗовских курсах математики.
Доказательство формул для конечных числовых сумм можно получить с помощью различных методов.
К изложению одного из мощнейших методов доказательства этих, а также подобных формул, – методу (принципу) математической индукции мы сейчас и переходим.
Метод математической индукции
Предположим, что нам требуется доказать, что некоторая формула верна при любом натуральном значении n . Предположим также, что мы:
- непосредственно проверили, что формула верна при n = 1 ,
- доказали, что из справедливости формулы для некоторого номера n , вытекает её справедливость для номера n + 1 .
Тогда в силу метода (принципа) математической индукции можно утверждать, что формула верна для всех натуральных чисел n .
Для примера дадим доказательство одной из формул, приведенных в предыдущем разделе.
Пример 1 . Доказать, что при всех натуральных n верна формула
Решение . Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:
(n^5-n) делится на 30
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из их обязательно кратно 3, и одно из них непременно кратно 2, то есть их произведение непременно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 либо 5k+3. В других случаях один из сомножителей n-1,n либо n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30. Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3 1)n=5k+2 2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-> все выражение кратно 30
- Сергей Палюбин
- Математика
- 2019-04-27 14:12:54
- 1
- 1
Агата 2019-04-27 14:15:50
(n-1)n(n-1)- три поочередных натуральных числа, посреди их одно непременно кратно 3, одно кратно 2, означает все произведение кратно 6
осталось обосновать кратность 5
Посреди всех 5 поочередных натуральных чисел, одно кратно 5, это число 5k.
2-ое дает при делении на 5 остаток 1, это число 5k+1
Третье при делении на 5 дает остаток 2, это число 5k+2
4-ое при разделеньи на 5 дает остаток 3, это число 5k+3
5-ое при разделеньи на 5 дает остаток 4, это число 5k+4
1)если n=5k, то творение (n-1)n(n+1) кратно 5
2)если n=5k+1, то (n-1)=5k и творение (n-1)n(n+1) кратно 5
3)если n=5k+2, то (n+1)=(5k+2)+1=25k+20k+4+1=25k+20k+5=5(5k+4k+1) кратно 5 и творенье (n-1)n(n+1)(n+1) кратно 5
4) если n=5k+3, то (n+1)=(5k+3)+1=25k+30k+9+1=25k+30k+10=5(5k+6k+2) кратно 5 и творение (n-1)n(n+1)(n+1) кратно 5
5) если n=5k+4, то n+1=5k+4+1=5k+5=5(k+1) — кратно 5 и творенье
(n-1)n(n+1) кратно 5.
Ответ Все случаи осмотрены. Доказано
алгебра — Метод математической индукции
Здесь можно по отдельности проверить делимость на 2, 3 и на 5. Если проводить доказательство по индукции, то база очевидна, а шаг приводит к утверждению, что n^4+2n^2+2n^2+n=n(n+1)(n^2+n+1) делится на 6. Это можно таким же способом доказать по индукции, а потом получится третье утверждение. Этот путь возможен, но он слишком длинный. Проще записать исходное выражение как n(n-1)(n+1)(n^2+1), и проверить делимость на 2, 3 и 5 по остаткам от деления.
(4 Сен ’16 14:41) falcao
2 ответа
$$ (n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1) = \\ =(n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n)=(n^5-n)+5n(n+1)(n^2+n+1) $$ А дальше небольшой перебор для второго слагаемого . рассматриваете число $%n=6k+m$% при $%m=0;1;\ldots ;5$%. фактически надо просто подставить остатки вместо $%n$% и посмотреть на результат.
отвечен 4 Сен ’16 14:49
all_exist
57.6k ● 3 ● 14
- делится на 2 и 3, тк три пследовательных числа.
- три последовательных числа не накрывают число кратное 5 при n=2+5k и n=3+5k, но тогда (n^2+1) равно
отвечен 4 Сен ’16 16:29