Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны

diagonali-chetyrekhugolnika-perpendikulyarny

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

Из прямоугольных треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме Пифагора

$AB^2 = AF^2 + BF^2 ,$

$CD^2 = CF^2 + DF^2 ,$

$AD^2 = AF^2 + DF^2 ,$

$BC^2 = BF^2 + CF^2 .$

Сложив почленно 1-е и 2-е равенства, получим

$+ \frac{\begin{array}{l} AB^2 = AF^2 + BF^2 \\ CD^2 = CF^2 + DF^2 \\ \end{array}}{{AB^2 + CD^2 = AF^2 + BF^2 + CF^2 + DF^2 }},$

$AB^2 + CD^2 = (AF^2 + DF^2 ) + (BF^2 + CF^2 ) = AD^2 + BC^2 .$

Что и требовалось доказать.

Если суммы квадратов противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

Из треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме косинусов

$AB^2 = AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha ,$

$CD^2 = CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha ,$

$AD^2 = AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha ,$

$BC^2 = BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha .$

Так как AB²+CD²=AD²+BC² (по условию), то

$AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha +$

$+ CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha =$

$= AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha +$

$+ BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha ,$

$- 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha =$

$= 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha ,$

$AB \cdot BF \cdot \cos \alpha + CF \cdot DF \cdot \cos \alpha +$

$+ AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + BF \cdot CF \cdot \cos \alpha = 0,$

$\cos \alpha (AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF) = 0.$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равняется нулю.

$AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF \ne 0$

(как сумма положительных слагаемых), следовательно cosα=0.

Значит α=90°, то есть AC⊥BD.

Что и требовалось доказать.

Как доказать что диагонали четырехугольника перпендикулярны

помогите пожалуйста!
Даны вершины четырёхугольника А(1;-2;2), В(1;4;0), С(-4;1;1) и Д(-5;-5;3). Доказать что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны, заранее спасибо!

Попроси больше объяснений
Следить
Отметить нарушение

Ответ

Проверено экспертом

Комментарии
Отметить нарушение

Ответ

Проверено экспертом

Надо найти косинус между векторами AC и BD. Вектор AC имеет координаты (-5;3;-1),

BD(-6;-9;3), cos( AC и BD)= -5*(-6)+3*(-9)+3*(-1)/√52+32+12 * √62+92+32. Числитель этого выражения равен нулю, значит cos( AC и BD)=0, следовательно прямые перпендикулярны.

Диагонали четырехугольника перпендикулярны. Признак ортодиагонального четырехугольника

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника

Шаг 1

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть диагонали этого четырехугольника перпендикулярны.

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как диагонали перпендикулярны, то точкой пересечения они образуют четыре прямоугольных треугольника.

Применим теорему Пифагора для каждого из них:

Сложим первое и третье равенства:

Сложим второе и четвертое равенства:

Так как правые части в двух последних равенствах равны, то будут равны и левые:

Итак, мы доказали, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 2

Шаг 3

Пусть в четырехугольнике выполняется соотношение:

Докажем, что диагонали такого четырехугольника будут перпендикулярны.

Для доказательства будет пользоваться методом от противного.

Предположим, что диагонали не перпендикулярны.

Тогда проведем перпендикуляры ВT и DK к диагонали АС.

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 3

Шаг 4

Рассмотрим прямоугольные треугольники АТВ и ВТС.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Так как левые части уравнений равны, то будут равны и правые:

Для правой части последнего равенства воспользуемся формулой разности квадратов:

Читайте также: Как открыть папку через выполнить

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 4

Шаг 5

Рассмотрим прямоугольные треугольники AKD и CKD.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Так как левые части уравнений равны, то будут равны и правые:

Для правой части последнего равенства воспользуемся формулой разности квадратов:

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 5

Шаг 6

На шагах 4 и 5 получили равенства:

Так как левые части этих равенств равны, то будут равны и правые:

Последнее равенство выполняется только в случае, когда точки К и Т совпадают. В случае, когда точки К и Т совпадают, диагонали четырехугольника ABCD являются перпендикулярными.

Следовательно, мы доказали, что если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны.

Признак перпендикулярности диагоналей четырехугольника доказан.

Доказательство признака перпендикулярности диагоналей четырехугольника. Шаг 6

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

Нет связанных сообщений

В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны: как доказать и использовать это свойство

Прямоугольник — одна из самых распространенных геометрических фигур в нашей жизни. Мы сталкиваемся с прямоугольниками повсюду: окна, двери, столы, monitor — все это имеет форму прямоугольника. Но далеко не все знают, что у прямоугольника есть удивительное свойство: его диагонали всегда взаимно перпендикулярны. Давайте разберемся, что это означает и как можно использовать на практике.

Определение прямоугольника и его свойства

Итак, что такое прямоугольник? Формальное определение звучит так:

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

У прямоугольника есть несколько важных свойств:

Противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Диагонали взаимно перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом (90 градусов).
Сумма углов прямоугольника равна 360 градусам.

Последнее свойство — перпендикулярность диагоналей — особенно интересно. Давайте докажем, что оно действительно выполняется для любого прямоугольника.

Свойства прямоугольника

Доказательство: в любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны

Рассмотрим произвольный прямоугольник ABCD. Проведем в нем обе диагонали — AC и BD. Они пересекутся в некой точке O.

Теперь посмотрим на два треугольника AOB и COD, образованные диагоналями. Углы при вершинах A и C являются прямыми, так как прямоугольник ABCD. Значит, в треугольниках AOB и COD есть прямой угол.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, если в нем есть прямой угол, то гипотенуза и катет образуют прямой угол. Поэтому в нашем случае диагонали AC и BD образуют прямой угол в точке их пересечения O. Иными словами, в любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны .

Таким образом, мы строго доказали это удивительное и полезное свойство. Теперь давайте разберемся, как его можно применить на практике в разных областях.

Прямоугольник-квадрат

Как проверить, является ли четырехугольник прямоугольником

А что если нам дан произвольный четырехугольник и нужно определить, является ли он прямоугольником? Есть несколько способов это сделать:

Измерить все углы четырехугольника. Если они равны 90 градусам — это прямоугольник.
Проверить, являются ли его диагонали взаимно перпендикулярными. Если да — перед нами прямоугольник.
Вычислить сумму углов. Для прямоугольника она должна быть равна 360 градусам.

Как видим, перпендикулярность диагоналей можно использовать в качестве критерия, позволяющего распознать прямоугольник среди других четырехугольников.

Применение свойства перпендикулярности диагоналей

Итак, мы выяснили, что в любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны . Казалось бы, свойство не очень практичное. Но на самом деле оно чрезвычайно полезно в различных областях — от математики и физики до строительства и веб-дизайна. Посмотрим где и как можно его применить.

Столяр распиливает брусок

В геометрии и тригонометрии

Благодаря перпендикулярности диагоналей, можно упростить решение многих задач на вычисление площадей, периметров, радиусов и других параметров прямоугольника. Например, если известны длины диагоналей, легко найти его стороны или площадь, используя теорему Пифагора.

В решении физических задач

Свойство перпендикулярности диагоналей пригодится в курсах физики, химии, механики. Оно позволяет упростить расчеты при нахождении массы, плотности, силы трения для объектов прямоугольной формы.

При расчете характеристик электрических цепей

Моделируя электрические цепи и вычисляя их параметры, удобно представлять отдельные участки в виде прямоугольников. Тогда благодаря перпендикулярности диагоналей можно найти эквивалентные сопротивления таких участков.

В теории графов и оптимизации маршрутов

Перпендикулярность диагоналей используется в задачах нахождения кратчайшего пути. Если упростить городскую уличную сеть до набора прямоугольников, то благодаря их диагоналям можно быстро находить оптимальный маршрут.

Перпендикулярность диагоналей на практике

Итак, мы видим как широко применимо удивительное свойство прямоугольника в науке и технике. Но еще больше оно используется в сферах, близких к нашей повседневной жизни.

При проектировании зданий и сооружений

Строительство не обходится без прямоугольников — в планировке зданий, раскрое материалов, элементах конструкций. Правильный расчет с учетом перпендикулярности диагоналей позволяет оптимизировать затраты и повысить прочность.