Как решать дифференциальные уравнения в маткаде
БлогNot. MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями
MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями
Решать дифференциальные уравнения (далее ДУ) в MathCAD, составляя собственные подпрограммы-функции не всегда удобно и экономично по времени, хотя и полезно на этапе обучения. Опишем в этой заметке способы решения основных типов ДУ с помощью стандартных средств пакета, ограничимся простыми примерами.
1. ДУ с разделяющимися переменными. Общая постановка задачи: y’=f(x,y)=g(x)*h(y) , y(x0)=y0 . То есть, f(x,y) допускает представление в виде произведения функций от x и от y .
Для решения уравнения достаточно задать его правую часть как пользовательскую функцию MathCAD, определить интервал поиска решения [x0,x1] , начальное условие y0 и применить стандартную функцию Odesolve . Покажем этот процесс на примере уравнения y’=2x-y+x 2 , x∈[0,2] , y(0)=0 с известным решением y(x)=x 2 :
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Знак «равно» в записи уравнений, конечно же, жирный (панель Boolean или сочетание клавиш Ctrl+=).
Функция Odesolve вернула именно функцию y , её нужно смотреть от аргумента, например, y(1)= .
И ещё 2 особенности:
Фича MathCAD — у ряда функций решения ДУ есть «версии», которые пишутся и с Большой, и с маленькой буквы. Функции, имена которых начинаются с маленькой буквы, используются в тех случаях, когда важным является решение задачи в конечной точке интервала.
Фича MathCAD — в блоке Given-Odesolve штрих ` является не просто знаком, а оператором взятия производной. И это не штрих ‘ с клавиши русской «Э». это обратный штрих ` с клавиши «Ё», слева от «1».
Зная точное решение, графически сравним с ним найденное решение. Как видно на графике, MathCAD справился с задачей отлично.
Графики полученного и точного решения совпадают
2. Неоднородное ДУ первого порядка. В общем виде такое уравнение можно записать как y’=a(x)*y+b(x) . Оно решается аналитически по формуле, которую можно найти в любой книге по решению обыкновенных ДУ:
Формула для решения неоднородного ДУ первого порядка
Здесь С – константа интегрирования. Остаётся применить формулу к конкретному уравнению (возьмём для примера задачу y’+2xy=x*e -x 2 sin(x) , y(0)=1 ) и оценить её символьно:
Аналитическое решение неоднородного ДУ первого порядка в MathCAD
Здесь мы получаем решение в общем виде. Нижний оператор оценён символьно (см. панель «Символика»), а аргумент t используется, так как x в документе «уже занят» (для корректной работы символьной оценки переменные не должны быть определены заранее).
После подстановки начального условия получим частное решение y(t,Y0) , а для проверки решения будет достаточно подставить полученную функцию в исходное уравнение и упростить его символьной функцией simplify . Полученный результат в нашем случае совпал с заданной в условии правой частью. Также для y(x,Y0) , как и для любой функции, можно построить график на нужном интервале изменения x.
Проверка решения неоднородного ДУ первого порядка и построение графика
3. Неоднородное ДУ второго порядка. В общем виде имеем уравнение y» + p(x)*y’ + g(x)*y = f(x) плюс набор краевых условий, количество которых соответствует порядку задачи, например y(0)=. y'(0)=. или y(0)=. y(1)=.
Возьмём уравнение, которое мы мучили вот здесь, решим его стандартными средствами, сравним с известным точным решением и построим график:
Решение неоднородного ДУ второго порядка в MathCAD
Здесь при вызове Odesolve второй параметр, равный единице — это правая граница интервала, третий параметр, равный 10, задаёт количество интервалов. Точное решение u(t) взяли по ссылке. Как видим, даже на 10 интервалах всё очень хорошо совпадает.
4. Система ДУ. Подход к решению системы ДУ покажем на примере. Пусть задана система дифференциальных уравнений
x’ = a*x — y — (x 2 + y 2 )*x,
y’ = a*y + x — (x 2 + y 2 )*y,
x(0)=0, y(0)=1, a=-0.2
Чтобы решить эту систему стандартной функцией rkfixed , нужно задать для неё вектор начальных значений x = (x0, y0) и вектор правых частей D(t,x) .
После этого задача решится вызовом rkfixed , второй и третий параметры ( 0, 20 ) задают интервал по времени t , на котором ищется решение, четвёртый параметр 100 означает количество точек на интервале.
Функция вернёт матрицу решений системы, в которой количество строк соответствует количеству точек на интервале, а количество столбцов — количеству уравнений в системе.
Для построения графика достаточно отобразить зависимость столбцов Zi,1 , Zi,2 от Zi,0 , i=0..99 :
Решение системы ДУ в MathCAD функцией rkfixed
10.11.2015, 17:16 [51712 просмотров]
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!
Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.
В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным.
Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.
Если у вас в запасе всего день-два, то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.
Итак, ориентиры расставлены – поехали:
Сначала вспомним «обычные» уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить подобное уравнение? Это значит, найти множество всех чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко видеть, что детское уравнение имеет единственный корень . Выполним проверку, подставив четвёрку в уравнение:
– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Диффуры устроены примерно так же!
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т. д.
Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению (впрочем, порой, достаточно одной). То есть корнями дифференциального уравнения являются функции. Для ДУ 1-го порядка такое множество функций зачастую имеет вид , который называют общим решением дифференциального уравнения («цэ» принимает различные действительные значения).
Решить дифференциальное уравнение
Полный боекомплект. С чего начать решение?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!
На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т. п.
Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т. к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть – это общий интеграл.
Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере).
То есть ВМЕСТО записи обычно пишут (и это корректно, так как с таким же успехом принимает все действительные значения, что и ).
Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:
Теперь логарифмы и модули можно убрать:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Ответ: общее решение: .
Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:
После чего подставляем и производную в исходное уравнение :
– получено равенство, верное для всех значений «икс» (тождество), значит, множество функций удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.
Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т. д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .
Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.
После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:
1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, сначала нужно провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.
2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».
3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла
4) . Пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, связанный с переносом переменных в знаменатель, но дабы не накрыть «чайников» лавиной информации, оставлю его до следующего урока.
Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию
Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем производную в нужном виде:
Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:
Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:
Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
Если – константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её через :
После чего раскрываем модуль:
и снова переобозначаем константу , подразумевая, что «цэ» может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. На чистовике обычно сразу переходят от к , но всегда будьте готовы объяснить этот переход. Точно так же как вы – попросили меня объяснить, и я объяснил 🙂
Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .
Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
Стандартная версия оформления:
Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку. Проверка частного решения включает в себя два этапа:
Сначала нужно проверить, а действительно ли найденная функция удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.
Второй этап уже знаком. Берём полученную функцию и находим производную:
Подставляем и в исходное уравнение :
– получено тождество, далее я буду называть его верным равенством.
Вывод: частное решение найдено правильно.
Переходим к более содержательным примерам.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: переписываем производную в нужном нам виде:
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
И перекидываем множители по правилу пропорции:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.
Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:
В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже определяем под логарифм.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:
Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:
, и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду , коль скоро это возможно:
Так делать, вообще говоря, не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора 😉
В принципе, этот шедевр можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу:
Ответ: общий интеграл:
! Примечание: общий интеграл часто можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Давайте выразим общее решение:
Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче.
Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т. п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем.
Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение , находим производную и подставляем их в исходное уравнение . Попробуйте самостоятельно!
Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Это довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно:
делим каждое слагаемое на :
Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.
Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере № 2), нужно:
1) убедиться, что найденная функцию удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что они вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Полное решение и ответ в конце урока.
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Решение: сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:
(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)
Итак, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Более привычное оформление:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденная функция дифференциальному уравнению. Находим производную:
Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :
Подставим функцию и полученный дифференциал в исходное уравнение :
Получено верное равенство, таким образом, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :
И в полученное ДУ подставим с найденной производной . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.
Найти общий интеграл уравнения , ответ представить в виде .
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».
3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и поскольку у нас одни логарфимы, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .
Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:
Что за дела?! Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения, ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы получается равноценная варьируемая константа.
Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла.
Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Чего и вам советую делать.
Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем. В левой части подводим функцию под знак дифференциала, а в правой используем стандартный искусственный приём:
Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл:
И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет).
Проверка: дифференцируем ответ (неявную функцию):
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Найти частное решение ДУ.
,
Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать Примеры № 9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.
Решить дифференциальное уравнение
Решить дифференциальное уравнение
Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.
Решения и ответы:
Пример 4. Решение: найдем общее решение. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
Выражаем функции в явном виде, используя .
Общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще функция дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Подставим функцию и найденную производную в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Пример 6. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Примечание: тут можно получить и общее решение:
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо.
Пример 8. Решение: данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :
Ответ: частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.
Пример 9. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
Таким образом:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)
Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:
Пример 10. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Примечание: интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.
Ответ: общее решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Как решать дифференциальные уравнения в маткаде
Возвращает матрицу [xpts x tpts] , содержащую решения одномерного дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП), в pde_func . Каждый столбец представляет решение в одномерном пространстве в одном интервале времени. Для системы уравнений решение по каждой функции дополняется горизонтально так, что матрица всегда имеет xpts строк и tpts * (num_pde + num_pae) столбцов. Решение находится с использованием численного метода линий.
• x_endpts, t_endpts — двухэлементные векторы-столбцы, задающие действительные конечные точки областей интегрирования.
• xpts, tpts — целые числа, соответствующие количеству точек в областях интегрирования, в которых требуется выполнять аппроксимацию решения.
• num_pde, num_pae — целые числа, обозначающие соответственно количество дифференциальных и алгебраических уравнений в частных производных. Аргумент num_pde должен быть как минимум 1, num_pae может быть 0 или больше.
• Функция pde_func является векторной функцией x , t , u , u x и u xx длины ( num_pde + num_pae ). Она содержит правые части дифференциальных и алгебраических уравнений в частных производных и предполагается, что все левые части равны u t . Предполагается, что решение, u , является вектором функций.
При работе с системой ДУЧП каждая переменная u в каждой строке pde_func определяется индексом с использованием оператора элемента в матрице, а также с использованием оператора индекса в имени переменной или функции. Например, u[0 обозначает первую функцию в системе, а ux[1 обозначает первую производную второй функции в системе.
• pinit является векторной функцией x длины ( num_pde + num_pae ), содержащей начальные условия для всех функций системы.
Как решать дифференциальные уравнения в маткаде
• Введите уравнение с использованием логического оператора равенства. Вставьте оператор аналитического преобразования, введите ключевое слово solve fully в местозаполнитель и нажмите клавишу ВВОД или щелкните любое другое место.
Если ввести ключевое слово solve вместо solve fully , возвращенное решение может быть частичным, только в числовом формате или в математическом выражении без сведений о домене. При вводе ключевого слова solve fully возвращаются все решения, в том числе уточнение домена и условия для переменных формулы. Например:
PTC Mathcad возвращает аналитические решения уравнения, если это возможно. В противном случае возвращаются численные решения. Если решаемое уравнение имеет несколько решений, PTC Mathcad возвращает решения в виде вектора за исключением случая периодического решения.
• Чтобы решить уравнение, правая часть которого равна нулю, требуется ввести только левую часть уравнения.
• Если уравнение содержит несколько переменных, укажите после ключевого слова solve разделенный запятыми список переменных, относительно которых решается уравнение.
• Если уравнение содержит числа с десятичной точкой, ключевое слово solve возвращает ответ как десятичное число.
• Чтобы решить уравнение с учетом ограничения области определения переменной (например, решить уравнение для вещественных чисел), используйте ключевое слово assume и модификатор с ключевым словом solve .
• Если уравнение имеет периодическое решение, ключевое слово solve возвращает одно значение из набора решений.
Чтобы увидеть более подробное решение, добавьте модификатор fully после ключевого слова solve .
• PTC Mathcad возвращает решение, выраженное через созданную новую переменную, которая представляет произвольное целое число. Имя созданной переменной начинается с символа подчеркивания во избежание конфликтов с другими переменными, которые пользователь мог определить в другом месте документа.
• Чтобы решить систему уравнений символьно, можно создать вектор-столбец с каждым элементом, содержащим одно уравнение в системе. Затем выполните решение с помощью оператора символьных данных, указав вектор-столбец или разделенный запятыми список системных переменных после ключевого слова solve .
◦ Чтобы решить неравенство, используйте оператор >, <, ≤ или ≥ вместо оператора =.
◦ Чтобы ограничить решение диапазоном, можно включить уравнения ограничения, например y > 0, в вектор-столбец.
◦ При решении систем уравнений, неравенств или периодических уравнений можно получить некоторые результаты, которые не имеют смысла при численном решении.
◦ Можно находить корни численно с помощью функции root , решать линейные системы численно с помощью функции lsolve либо решать линейные и нелинейные системы с помощью блока решения.