Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Квадрат разности
Для доказательства справедливости формулы квадрата разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
( a — b ) 2 = ( a — b )·( a — b ) = a 2 — ab — ba + b 2 = a 2 — 2 ab + b 2
Применение формулы квадрата разности
для раскрытия скобок
для упрощения выражений
для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик
Примеры задач на применение формулы квадрата разности
Раскрыть скобки ( x — 3) 2 .
( x — 3) 2 = x 2 — 2·3· x + 3 2 = x 2 — 6 x + 9
Раскрыть скобки (2 x — 3 y 2 ) 2 .
(2 x — 3 y 2 ) 2 = (2 x ) 2 — 2·(2 x )·(3 y 2 ) + (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 12 x y 2 + 9 y 4
Упростить выражение 9 x 2 — 6 x + 1 (3 x — 1) .
Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат разности
9 x 2 — 6 x + 1 (3 x — 1) = (3 x — 1) 2 (3 x — 1) = 3 x — 1
Заметим, что с помощью формулы квадрата разности легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Разность (или вычитание) квадратов
На этой странице вы найдете формулу разности (или вычитания) двух полных квадратов. Мы также объясним, как учитываются различия квадратов, и, кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и упражнений, решаемых шаг за шагом.
В чем разница квадратов?
В математике понятие разности квадратов , или вычитания квадратов , относится к двум слагаемым, квадратный корень которых точен и более того, они вычитаются. Другими словами, алгебраическим выражением разности квадратов является a 2 -b 2 .
Кроме того, разность двух квадратов соответствует одному из примечательных произведений (или примечательных тождеств), поэтому это так важно.
Формула разности квадратов
Формула замечательного тождества разности двух полных квадратов выглядит следующим образом:
Следовательно, разность квадратов двух величин равна произведению суммы на разность этих двух величин.
Таким образом, формула вычитания двух полных квадратов имеет разные применения в алгебре. Во-первых, его можно использовать для упрощения полиномиальных выражений. Но, прежде всего, он используется для факторизации определенных типов биномов. В следующем разделе мы шаг за шагом объясним, как это сделать.
Хотя у них схожие названия, не следует путать разность квадратов с квадратом разности , поскольку это разные заметные тождества. Если у вас есть вопросы, рекомендуем посмотреть эти примеры квадрата разности , здесь вы увидите формулу этого замечательного тождества, как она применяется и в чем заключаются различия по сравнению с разностью квадратов.
Факторинг разности квадратов
Разности квадратов можно легко вычислить из вашей формулы.
Но, очевидно, чтобы полностью понять процедуру, нужно знать , что такое факторизующие полиномы . Если вы все еще не знаете, что такое факторизация многочлена, прежде чем продолжить чтение, лучше заглянуть на связанную страницу, где это подробно объяснено.
Таким образом, чтобы учесть разницу в 2 квадрата, вы должны выполнить следующий процесс:
Вычисляется квадратный корень из двух слагаемых.
Умножьте сумму, вычитая два корня, найденные на предыдущем шаге.
Давайте лучше посмотрим, как факторизовать вычитание квадратов на примере:
Умножьте следующую разность квадратов:
По логике вещей, прежде чем применять рассмотренную нами процедуру, мы должны убедиться, что это действительно разность квадратов. В этом случае оба
Поскольку 9 — правильные квадраты (имеют точные корни), а единица имеет отрицательный знак, то она на самом деле состоит из разности квадратов.
Теперь мы должны вычислить квадратный корень из каждого элемента:
Примеры различий квадратов
Чтобы вы могли четко понять, как учитываются различия квадратов, вот несколько рабочих примеров:
Пример 1
В этом упражнении квадратные корни двух членов бинома равны:
Пример 2
Сначала мы вычисляем квадратные корни из двух элементов:
Теперь, когда вы увидели разные примеры вычитания квадратов, предлагаем вам несколько упражнений, решаемых пошагово. Посмотрим, сможете ли вы все сделать правильно! ��
Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Квадрат суммы и разности
Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a — b) 2 = (a — b)(a — b) = a 2 — ab — ab + b 2 = a 2 — 2ab + b 2 .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .
Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a 2 — 5ab 2 ) 2 .
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a — b) = a 2 + ab — ab — b 2 = a 2 — b 2 .
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a 2 — b 2 = (a + b)(a — b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Квадрат разности двух величин равен сумме квадрата первой, отрицательного удвоенного произведения первой на вторую и квадрата второй.
