Рекурсия
В С функции могут вызывать сами себя. Функция является рекурсивной, если оператор в теле функции вызывает функцию, содержащую данный оператор. Иногда называемая круговым определением, рекурсия является процессом определения чего-либо с использованием самой себя.
Простым примером является функция factr(), вычисляющая факториал целого числа. Факториал числа N является произведением чисел от 1 до N. Например, факториал 3 равен 1*2*3 или 6. Как factr(), так и его итеративный эквивалент показаны ниже:
/* Вычисление факториала числа */
int factr(int n) /* рекурсивно */
int answer;
if(n==1) return(1);
answer = factr(n-1)*n;
return(answer);
>
/* Вычисление факториала числа */
int fact (int n) /* нерекурсивно */
int t, answer;
answer == 1;
for(t=1; t answer=answer*(t);
return(answer);
>
Действие нерекурсивной версии fact() должно быть совершенно очевидно. Она использует цикл, начиная с 1 и заканчивая указанным числом, последовательно перемножая каждое число на ранее полученное произведение.
Действие рекурсивной функции factr() немного более сложно. Когда factr() вызывается с аргументом 1, функция возвращает 1. В противном случае она возвращает произведение factr(n- 1) * n. Для вычисления этого значения factr() вызывается с n-1. Это происходит, пока n не станет равно 1.
При вычислении факториала числа 2, первый вызов factr() приводит ко второму вызову с аргументом 1. Данный вызов возвращает 1, после чего результат умножается на 2 (исходное значение n). Ответ, таким образом, будет 2. Можно попробовать вставить printf() в factr() для демонстрации уровней и промежуточных ответов каждого вызова.
Когда функция вызывает сама себя, в стеке выделяется место для новых локальных переменных и параметров. Код функции работает с данными переменными. Рекурсивный вызов не создает новую копию функции. Новыми являются только аргументы. Поскольку каждая рекурсивно вызванная функция завершает работу, то старые локальные переменные и параметры удаляются из стека и выполнение продолжается с точки, в которой было обращение внутри этой же функции. Рекурсивные функции вкладываются одна в другую как элементы подзорной трубы.
Рекурсивные версии большинства подпрограмм могут выполняться немного медленнее, чем их итеративные эквиваленты, поскольку к необходимым действиям добавляются вызовы функций. Но в большинстве случаев это не имеет значения. Много рекурсивных вызовов в функции может привести к переполнению стека. Поскольку местом для хранения параметров и локальных переменных функции является стек и каждый новый вызов создает новую копию переменных, пространство стека может исчерпаться. Если это произойдет, то возникнет ошибка — переполнение стека.
Основным преимуществом применения рекурсивных функций является использование их для более простого создания версии некоторых алгоритмов по сравнению с итеративными эквивалентами. Например, сортирующий алгоритм Quicksort достаточно трудно реализовать итеративным способом. Некоторые проблемы, особенно связанные с искусственным интеллектом, также используют рекурсивные алгоритмы. Наконец, некоторым людям кажется, что думать рекурсивно гораздо легче, чем итеративно.
При написании рекурсивных функций следует иметь оператор if, чтобы заставить функцию вернуться без рекурсивного вызова. Если это не сделать, то, однажды вызвав функцию, выйти из нее будет невозможно. Это наиболее типичная ошибка, связанная с написанием рекурсивных функций. Надо использовать при разработке функции printf() и getchar(), чтобы можно было узнать, что происходит, и прекратить выполнение в случае обнаружения ошибки.
Как работает рекурсия в си
Отдельно остановимся на рекурсивных функциях. Рекурсивная функция представляет такую конструкцию, при которой функция вызывает саму себя.
Рекурсивная функция факториала
Возьмем, к примеру, вычисление факториала, которое использует формулу n! = 1 * 2 * … * n . То есть по сути для нахождения факториала числа мы перемножаем все числа до этого числа. Например, факториал числа 4 равен 24 = 1 * 2 * 3 * 4 , а факторил числа 5 равен 120 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 .
Определим метод для нахождения факториала:
int factorial(int n) < if (n == 1) < return 1; >return n * factorial(n - 1); >
При создании рекурсивной функции в ней обязательно должен быть некоторый базовый вариант , с которого начинается вычисление функции. В случае с факториалом это факториал числа 1, который равен 1. Факториалы всех остальных положительных чисел будет начинаться с вычисления факториала числа 1, который равен 1.
На уровне языка программирования для возвращения базового варианта применяется оператор return :
if (n == 1) return 1;
То есть, если вводимое число равно 1, то возвращается 1
Другая особенность рекурсивных функций: все рекурсивные вызовы должны обращаться к подфункциям, которые в конце концов сходятся к базовому варианту:
return n * factorial(n - 1);
Так, при передаче в функцию числа, которое не равно 1, при дальнейших рекурсивных вызовах подфункций в них будет передаваться каждый раз число, меньшее на единицу. И в конце концов мы дойдем до ситуации, когда число будет равно 1, и будет использован базовый вариант. Это так называемый рекурсивный спуск.
Используем эту функцию:
#include int factorial(int n) < if (n == 1) < return 1; >return n * factorial(n - 1); > int main(void) < int factorial4 = factorial(4); // 24 int factorial5 = factorial(5); // 120 int factorial6 = factorial(6); // 720 printf("factorial of 4: %d \n", factorial4); printf("factorial of 5: %d \n", factorial5); printf("factorial of 6: %d \n", factorial6); return 0; >
factorial of 4: 24 factorial of 5: 120 factorial of 6: 720
Рассмотрим поэтапно, что будет в случае вызова factorial(4) .
-
Сначала идет проверка, равно ли число единице:
if (n == 1) return 1;
Но вначале n равно 4, поэтому это условие ложно, и соответственно выполняется код
return n * factorial(n - 1);
То есть фактически мы имеем:
return 4 * factorial(3);
factorial(3)
Опять же n не равно 1, поэтому выполняется код
return n * factorial(n - 1);
То есть фактически:
return 3 * factorial(2);
factorial(2)
Опять же n не равно 1, поэтому выполняется код
return n * factorial(n - 1);
То есть фактически:
return 2 * factorial(1);
factorial(1)
Теперь n равно 1, поэтому выполняется код
if (n == 1) return 1;
В итоге выражение
factorial(4)
В реальности выливается в
4 * 3 * 2 * factorial(1)
Рекурсивная функция Фибоначчи
Другим распространенным показательным примером рекурсивной функции служит функция, вычисляющая числа Фибоначчи. n-й член последовательности Фибоначчи определяется по формуле: f(n)=f(n-1) + f(n-2), причем f(0)=0, а f(1)=1. То есть последовательность Фибоначчи будет выглядеть так 0 (0-й член), 1 (1-й член), 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . Для определения чисел этой последовательности определим следующий метод:
#include int fibonachi(int n) < if (n == 0 || n == 1) return n; return fibonachi(n - 1) + fibonachi(n - 2); >int main(void)
Здесь базовый вариант выглядит следующий образом:
if (n == 0 || n == 1) return n;
То есть, если мы ищем нулевой или первый элемент последовательности, то возвращается это же число — 0 или 1. Иначе возвращается результат выражения fibonachi(n — 1) + fibonachi(n — 2);
Рекурсии и циклы
Это простейшие пример рекурсивных функций, которые призваны дать понимание работы рекурсии. В то же время для обоих функций вместо рекурсий можно использовать циклические конструкции. И, как правило, альтернативы на основе циклов работают быстрее и более эффективны, чем рекурсия. Например, вычисление чисел Фибоначчи с помощью циклов:
int fibonachi2(int n) < int result = 0; int b = 1; int tmp; for (int i = 0; i < n; i++) < tmp = result; result = b; b += tmp; >return result; >
В то же время в некоторых ситуациях рекурсия предоставляет элегантное решение, например, при обходе различных древовидных представлений, к примеру, дерева каталогов и файлов.
Как работает рекурсия в си
Рекурсивные функции — это функции, которые вызывают сами себя. Такие функции довольно часто используются для обхода различных представлений. Например, если нам надо найти определенный файл в папке, то мы сначала смотрим все файлы в этой папке, затем смотрим все ее подпак
Например, определим вычисление факториала в виде рекурсивной функции:
#include unsigned long long factorial(unsigned); int main() < unsigned n ; auto result < factorial(n)>; std::cout unsigned long long factorial(unsigned n) < if(n >1) return n * factorial(n-1); return 1; >
В функции factorial задано условие, что если число n больше 1, то это число умножается на результат этой же функции, в которую в качестве параметра передается число n-1. То есть происходит рекурсивный спуск. И так далее, пока не дойдем того момента, когда значение параметра не будет равно 1. В этом случае функция возвратит 1.
Рекурсивная функция обязательно должна иметь некоторый базовый вариант, который использует оператор return и к которому сходится выполнение остальных вызовов этой функции. В случае с факториалом базовый вариант представлен ситуацией, при которой n = 1. В этом случае сработает инструкция return 1; .
Например, при вызове factorial(5) получится следующая цепь вызовов:
- 5 * factorial(4)
- 5 * 4 * factorial(3)
- 5 * 4 * 3 * factorial(2)
- 5 * 4 * 3 * 2 * factorial(1)
- 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Другим распространенным показательным примером рекурсивной функции служит функция, вычисляющая числа Фиббоначчи. n-й член последовательности чисел Фибоначчи определяется по формуле: f(n)=f(n-1) + f(n-2), причем f(0)=0, а f(1)=1. Значения f(0)=0 и f(1)=1, таким образом, определяют базовые варианты для данной функции:
#include unsigned long long fib(unsigned); int main() < for(unsigned i<>; i < 10; i++) < auto n = fib(i); std::cout std::cout unsigned long long fib(unsigned n)
Результат работы программы — вывод 10 чисел из последовательности Фиббоначчи на консоль:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
В примерах выше функция напрямую вызывала саму себя. Но рекурсивный вызов функции также может быть косвенным. Например, функция fun1() вызывает другую функцию fun2(), которая, в свою очередь, вызывает fun1(). В этом случае функции fun1() и fun2() также называются взаимно рекурсивными функциями.
Стоит отметить, что нередко рекурсивные функции можно представить в виде циклов. Например, для вычисления факториала вместо рекурсии используем цикл:
#include unsigned long long factorial(unsigned); int main() < unsigned n ; std::cout unsigned long long factorial(unsigned n) < unsigned long long result; for(unsigned i; i return result; >
И нередко циклические конструкции более эффективны, чем рексурсия. Например, если функция вызывает себя тысячи раз, потребуется большой объем стековой памяти для хранения копий значений аргументов и адреса возврата для каждого вызова, что может привести к тому, что программа быстро исчерпает выделенную для нее память стека, поскольку объем памяти стека обычно фиксирован и ограничен. что может привести к аварийному завершению программы. Поэтому в таких случаях, как правило, лучше использовать альтернативные подходы, например цикл. Однако, несмотря на накладные расходы, использование рекурсии часто может значительно упростить написание программы.
- Глава 1. Введение в С++
- Язык программирования С++
- Первая программа на Windows. Компилятор g++
- Первая программа на Windows. Компилятор Clang
- Первая программа на Windows. Компилятор Microsoft Visual C++
- Первая программа на Linux. Компилятор g++
- Первая программа на MacOS. Компилятор Clang
- Настройка параметров компиляции
- Локализация и кириллица в консоли
- Структура программы
- Переменные
- Типы данных
- Константы
- Ввод и вывод в консоли
- using. Подключение пространств имен и определение псевдонимов
- Арифметические операции
- Статическая типизация и преобразования типов
- Поразрядные операции
- Операции присваивания
- Условные выражения
- Конструкция if-else и тернарный оператор
- Конструкция switch-case
- Циклы
- Ссылки
- Массивы
- Многомерные массивы
- Массивы символов
- Введение в строки
- Что такое указатели
- Операции с указателями
- Арифметика указателей
- Константы и указатели
- Указатели и массивы
- Определение и объявление функций
- Область видимости объектов
- Параметры функции
- Передача аргументов по значению и по ссылке
- Константные параметры
- Оператор return и возвращение результата
- Указатели в параметрах функции
- Массивы в параметрах функции
- Параметры функции main
- Возвращение указателей и ссылок
- Перегрузка функций
- Рекурсивные функции
- Рекурсия на примере быстрой сортировки
- Указатели на функции
- Указатели на функции как параметры
- Тип функции
- Указатель на функцию как возвращаемое значение
- Разделение программы на файлы
- Внешние объекты
- Динамические объекты
- Динамические массивы
- unique_ptr
- shared_ptr
- Определение классов
- Конструкторы и инициализация объектов
- Управление доступом. Инкапсуляция
- Объявление и определение функций класса
- Конструктор копирования
- Константные объекты и функции
- Ключевое слово this
- Дружественные функции и классы
- Статические члены класса
- Деструктор
- Структуры
- Перечисления
- Наследование
- Управление доступом в базовых и производных классах
- Скрытие функционала базового класса
- Множественное наследование
- Виртуальные функции и их переопределение
- Преобразование типов
- Динамическое преобразование
- Особенности динамического связывания
- Чистые виртуальные функции и абстрактные классы
- Перегрузка операторов
- Операторы преобразования типов
- Оператор индексирования
- Переопределение оператора присваивания
- Пространства имен
- Вложенные классы
- Обработка исключений
- Вложенные try-catch
- Создание своих типов исключений
- Тип exception
- Типы исключений
- Шаблоны функций
- Шаблон класса
- Специализация шаблона класса
- Наследование и шаблоны классов
- Типы контейнеров
- Вектор
- Итераторы
- Операции с векторами
- Array
- List
- Forward_list
- Deque
- Стек std::stack
- Очередь std::queue
- Очередь приоритетов std::priority_queue
- Множества
- Словарь std::map
- Span
- Определение строк
- Строки с поддержкой Unicode
- Преобразование типов и строки
- Сравнение строк
- Получение подстроки и проверка начала и конца строки
- Поиск подстроки
- Изменение строки
- Операции с символами
- Программа подсчета слов
- Тип std:string_view
- rvalue
- Конструктор перемещения
- Оператор присваивания с перемещением
- Роль noexcept при перемещении
- Объекты функций
- Лямбда-выражения
- Захват внешних значений в лямбда-выражениях
- Шаблон std::function<>
- Минимальный и максимальный элементы
- Поиск элементов
- Копирование элементов
- Удаление элементов и идиома Remove-Erase Idiom
- Сортировка
- Представления. Фильтрация
- Проекция данных
- Пропуск элементов. drop_view и drop_while_view
- Извлечение диапазона элементов. take_view и take_while_view
- Цепочки представлений
- Оператор requires
- Концепты
- Выражение requires
- Ограничения типа для auto
- Базовые типы для работы с потоками
- Файловые потоки. Открытие и закрытие
- Чтение и запись текстовых файлов
- Переопределение операторов ввода и вывода
- Математические константы и операции
- Форматирование строк и функция format
- std::optional
- Управление ресурсами. Идиома RAII
- Идиома копирования и замены
- Идиома Move-and-Swap
- Первая программа в Visual Studio
- Первая программа в Qt Creator
Как работает рекурсия – объяснение в блок-схемах и видео
Представляю вашему вниманию перевод статьи Beau Carnes How Recursion Works — explained with flowcharts and a video.
«Для того чтобы понять рекурсию, надо сначала понять рекурсию»
Рекурсию порой сложно понять, особенно новичкам в программировании. Если говорить просто, то рекурсия – это функция, которая сама вызывает себя. Но давайте попробую объяснить на примере.
Представьте, что вы пытаетесь открыть дверь в спальню, а она закрыта. Ваш трехлетний сынок появляется из-за угла и говорит, что единственный ключ спрятан в коробке. Вы опаздываете на работу и Вам действительно нужно попасть в комнату и взять вашу рубашку.
Вы открываете коробку только чтобы найти… еще больше коробок. Коробки внутри коробок и вы не знаете, в какой из них Ваш ключ. Вам срочно нужна рубашка, так что вам надо придумать хороший алгоритм и найти ключ.
Есть два основных подхода в создании алгоритма для решения данной проблемы: итеративный и рекурсивный. Вот блок-схемы этих подходов:
Какой подход для Вас проще?
В первом подходе используется цикл while. Т.е. пока стопка коробок полная, хватай следующую коробку и смотри внутрь нее. Ниже немного псевдокода на Javascript, который отражает то, что происходит (Псевдокод написан как код, но больше похожий на человеческий язык).
function look_for_key(main_box) < let pile = main_box.make_a_pile_to_look_through(); while (pile is not empty) < box = pile.grab_a_box(); for (item in box) < if (item.is_a_box()) < pile.append(item) >else if (item.is_a_key()) < console.log("found the key!") >> > >
В другом подходе используется рекурсия. Помните, рекурсия – это когда функция вызывает саму себя. Вот второй вариант в псевдокоде:
function look_for_key(box) < for (item in box) < if (item.is_a_box()) < look_for_key(item); >else if (item.is_a_key()) < console.log("found the key!") >> >
Оба подхода выполняют одно и тоже. Основный смысл в использовании рекурсивного подхода в том, что однажды поняв, вы сможете легко его читать. В действительности нет никакого выигрыша в производительности от использования рекурсии. Порой итеративный подход с циклами будет работать быстрее, но простота рекурсии иногда предпочтительнее.
Поскольку рекурсия используется во многих алгоритмах, очень важно понять как она работает. Если рекурсия до сих пор не кажется Вам простой, не беспокойтесь: Я собираюсь пройтись еще по нескольким примерам.
Граничный и рекурсивный случай
То, что Вам необходимо принять во внимание при написании рекурсивной функции – это бесконечный цикл, т.е. когда функция вызывает саму себя… и никогда не может остановиться.
Допустим, Вы хотите написать функцию подсчета. Вы можете написать ее рекурсивно на Javascript, к примеру:// WARNING: This function contains an infinite loop! function countdown(i) < console.log(i) countdown(i - 1) >countdown(5); // This is the initial call to the function.
Эта функция будет считать до бесконечности. Так что, если Вы вдруг запустили код с бесконечным циклом, остановите его сочетанием клавиш «Ctrl-C». (Или, работая к примеру в CodePen, это можно сделать, добавив “?turn_off_js=true” в конце URL.)
Рекурсивная функция всегда должна знать, когда ей нужно остановиться. В рекурсивной функции всегда есть два случая: рекурсивный и граничный случаи. Рекурсивный случай – когда функция вызывает саму себя, а граничный – когда функция перестает себя вызывать. Наличие граничного случая и предотвращает зацикливание.
И снова функция подсчета, только уже с граничным случаем:
function countdown(i) < console.log(i) if (i else < // recursive case countdown(i - 1) >> countdown(5); // This is the initial call to the function.
То, что происходит в этой функции может и не быть абсолютно очевидным. Я поясню, что произойдет, когда вы вызовете функцию и передадите в нее цифру 5.
Сначала мы выведем цифру 5, используя команду Console.Log. Т.к. 5 не меньше или равно 1, то мы перейдем в блок else. Здесь мы снова вызовем функцию и передадим в нее цифру 4 (т.к. 5 – 1 = 4).
Мы выведем цифру 4. И снова i не меньше или равно 1, так что мы переходим в блок else и передаем цифру 3. Это продолжается, пока i не станет равным 1. И когда это случится мы выведем в консоль 1 и i станет меньше или равно 1. Наконец мы зайдем в блок с ключевым словом return и выйдем из функции.
Стек вызовов
Рекурсивные функции используют так называемый «Стек вызовов». Когда программа вызывает функцию, функция отправляется на верх стека вызовов. Это похоже на стопку книг, вы добавляете одну вещь за одни раз. Затем, когда вы готовы снять что-то обратно, вы всегда снимаете верхний элемент.
Я продемонстрирую Вам стек вызовов в действии, используя функцию подсчета факториала. Factorial(5) пишется как 5! и рассчитывается как 5! = 5*4*3*2*1. Вот рекурсивная функция для подсчета факториала числа:
function fact(x) < if (x == 1) < return 1; >else < return x * fact(x-1); >>
Теперь, давайте посмотрим что же происходит, когда вы вызываете fact(3). Ниже приведена иллюстрация в которой шаг за шагом показано, что происходит в стеке. Самая верхняя коробка в стеке говорит Вам, что вызывать функции fact, на которой вы остановились в данный момент:
Заметили, как каждое обращение к функции fact содержит свою собственную копию x. Это очень важное условие для работы рекурсии. Вы не можете получить доступ к другой копии функции от x.
Нашли уже ключ?
Давайте кратенько вернемся к первоначальному примеру поиска ключа в коробках. Помните, что первым был итеративный подход с использованием циклов? Согласно этому подходу Вы создаете стопку коробок для поиска, поэтому всегда знаете в каких коробках вы еще не искали.
Но в рекурсивном подходе нет стопки. Так как тогда алгоритм понимает в какой коробке следует искать? Ответ: «Стопка коробок» сохраняется в стеке. Формируется стек из наполовину выполненных обращений к функции, каждое из которых содержит свой наполовину выполненный список из коробок для просмотра. Стек следит за стопкой коробок для Вас!
И так, спасибо рекурсии, Вы наконец смогли найти свой ключ и взять рубашку!
Вы также можете посмотреть мое пятиминутное видео про рекурсию. Оно должно усилить понимание, приведенных здесь концепций.
Заключение от автора
Надеюсь, что статья внесла немного больше ясности в Ваше понимание рекурсии в программировании. Основой для статьи послужил урок в моем новом видео курсе от Manning Publications под названием «Algorithms in Motion». И курс и статься написаны по замечательной книге «Grokking Algorithms», автором которой является Adit Bhargava, кем и были нарисованы все эти замечательные иллюстрации.
И наконец, чтобы действительно закрепить свои знания о рекурсии, Вы должны прочитать эту статью, как минимум, еще раз.
От себя хочу добавить, что с интересом наблюдаю за статьями и видеоуроками Beau Carnes, и надеюсь что Вам тоже понравилась статья и в особенности эти действительно замечательные иллюстрации из книги A. Bhargav «Grokking Algorithms».
- рекурсия
- алгоритмы
- обучение программированию
- образование
- javascript
- перевод