Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.
Калькулятор поможет определить находится ли заданная точка внутри заданного треугольника. Точка и треугольник задаются декартовыми координатами на плоскости. Детально описан алгоритм вычисления.
Этот калькулятор определит где находится заданная точка внутри 2-мерного треугольника или вовне. Калькулятор использует простой алгоритм, основанный на свойствах векторного произведения. Описание этого алгоритма можно найти сразу за калькулятором.
Точка в треугольнике
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Точка вниутри треугольника?
Векторное произведение ( z — координата )
Ссылка Сохранить Виджет
Точка внутри треугольника. Описание алгоритма.
Векторное произведение векторов a и b, заданного декартовыми координатами в пространстве для 3-х мерного правого ортонормального базиса можно выразить так:
[1].
Векторное произведение обладает свойством антикоммутативности:
Это важное свойство мы будем использовать для решения нашей задачи.
Для того чтобы определить лежит ли точка P внутри треугольника ABC мы вычислим 3 векторных произведения: ABxAP, BCxBP and CAxCP. Так как наш треугольник и точка в 2-мерном пространстве на плоскости, третья координата z для трехмерного пространства равна нулю. Согласно формуле [1] мы можем не вычислять координаты x и y для векторного произведения, если координата z векторов-множителей равна нулю — координаты x и y результата в этом случае всегда равны нулю (результирующий псевдо-вектор перпендикулярен плоскости треугольника). Знак результата произведения для оставшейся координаты (z) зависит от относительного положения умножаемых векторов. Если первый вектор (в нашем случае это сторона треугольника) находится правее второго вектора (вектор из вершины в точку P), то координата z результата будет положительна, если первый вектор будет левее второго — отрицательна, и в противном случае, если оба вектора идут в одном и том же направлении, результат будет равен нулю.
Получив результаты по трем векторным произведениям, нам остается их проанализировать, чтобы понять лежит ли точка внутри треугольника:
Если мы имеем и положительные и отрицательные результаты, точка лежит вне треугольника, если результаты только положительные или только отрицательные, точка — внутри.
Таблица далее иллюстрирует все возможные варианты результатов векторного произведения:
Точка внутри треугольника
Онлайн калькулятор определяет лежит ли точка внутри треугольника + показывает это наглядно на координатной плоскости.
Под калькулятором вы найдете способ определения принадлежности точки треугольнику.
Известны координаты вершин треугольника и известный координаты точки. Нужно установить принадлежность точки треугольнику.
Существует несколько способов определения. лежит-ли точка внутри треугольника или снаружи:
1. Метод сравнения площадей — по формуле Герона находятся площади 3-х треугольников которые образует точка с каждой стороной треугольника, далее находится площадь самого треугольника и сравнивается с суммой 3ех предыдущих треугольников, если суммы равны то значит точка принадлежит треугольнику.
2. Метод относительности — выбирается ориентация движения по вершинам треугольника, например по часовой стрелке. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Если точка для всех прямых, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.
3. Метод геометрического луча — из точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении. Вычисляется количество пересечений со сторонами, если кол-во нечётное, то значит точка лежит внутри многоугольника.
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
Как проверить лежит ли точка внутри треугольника
Дано: у нас есть треугольник, нам известны только координаты его вершин. У нас есть точка, нам известны её координаты.
Что нужно узнать: нужно установить принадлежность точки треугольнику.
В данной статье разбирается несколько разных методов определения принадлежности точки треугольнику.
Метод сравнения площадей
В данном методе сначала находятся площади 3-х треугольников, которые образует данная точка с каждой стороной треугольника. В нашем случае(рис. 1) это треугольники ABP, BCP, CAP и их площади s1, s2, s3 соответственно.
Затем находится площадь самого треугольника ABC.
Найденный площади сравниваются — если сумма 3-х площадей равна площади всего треугольника, то значит точка принадлежит треугольнику. При сравнении, как правило, задаётся погрешность.
Так как у нас известны только координаты точек, то все площади, находятся по формуле Герона, от обильности операций которой становится ясно, почему этот метод очень трудоёмкий.
Простейшая реализация алгоритма:
// проверка принадлежности точки треугольнику формулами Герона function IsPointIn_Geron(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs // площадь треугольника по точкам function Square(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy: single): single; begin Result := abs(aBx*aCy - aCx*aBy - aAx*aCy + aCx*aAy + aAx*aBy - aBx*aAy); end; var s : single; begin s := Square(aPx, aPy, aAx, aAy, aBx, aBy) + Square(aPx, aPy, aBx, aBy, aCx, aCy) + Square(aPx, aPy, aCx, aCy, aAx, aAy); Result := abs(Square(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy) - s) ; end;
Атрибуты функции: aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy — координаты точек A, B, C треугольника; aPx, aPy — координаты точки, принадлежность которой надо определить.
Метод относительности
Данный метод заключается в следующем. Сначала выбирается ориентация движения по вершинам треугольника(по часовой или против часовой стрелке). Я выбираю по часовой. На рисунке 2 выбранная ориентация движения(по часовой) показана стрелками. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Не трудно догадаться, что если точка для всех прямых, при нашей ориентации, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, а если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.
На рисунке 2 продемонстрирована ситуация, когда точка только для одной прямой AB лежит по левую сторону, а значит не принадлежит треугольнику.
// проверка прин. точки треуг. методом относительности положения function IsPointIn_Relat(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs function Q(ax, ay, bx, by, atx, aty: single): single; begin Result := atx * (by - ay) + aty * (ax - bx) + ay * bx - ax * by; end; var q1, q2, q3 : single; begin // выбираем определённую ориентацию по вершинам(чтоб было по порядку) // универсальный q1 := Q(aAx, aAy, aBx, aBy, aPx, aPy); q2 := Q(aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy); q3 := Q(aCx, aCy, aAx, aAy, aPx, aPy); Result := ((q1 >= 0) and (q2 >= 0) and (q3 >= 0)) or ((q1 < 0) and (q2 < 0) and (q3 < 0)); //>< // для строгой ориентации по часовой Result := (Q(ftx1, fty1, ftx2, fty2, fpx, fpy) >= 0) and (Q(ftx2, fty2, ftx3, fty3, fpx, fpy) >= 0) and (Q(ftx3, fty3, ftx1, fty1, fpx, fpy) >= 0); //> < // для строгой ориентации против часовой Result := (Q(ftx1, fty1, ftx2, fty2, fpx, fpy) end;
Всё относительно!
Тут надо кое что пояснить, весьма не маловажное, что может сыграть роль в оптимизации и выборе алгоритма. Обратите внимание, что в приведённом коде есть закомментированные блоки кода с комментариями «для строгой ориентации», в то время как рабочий код универсален — он предназначен для любой ориентации. Т.е. представленный код определит принадлежность точки для любого заданного треугольника. В моей тестирующей программе треугольники как раз таки строятся по random()-у координат вершин, а ориентация идёт по вершинам(A>B>C>A). Для рисунка 2 — это по часовой стрелки, но для рисунка 3 — это против часовой.
Так вот, в случае рисунка 3 точка должна лежать по левую сторону векторов, чтобы принадлежать треугольнику.
Вот тут и получается важный момент! Если вы уверены, что в вашем проекте все треугольники будут ориентированы по часовой стрелке(а т.е. вершина C будет всегда правее вектора AB), то вам можно закомментировать блок универсального решения и раскомментировать блок «для строгой ориентации по часовой» и данный алгоритм упрощается аж на 3 логических операции!
Векторный метод
Третий метод который я освещаю для меня самый интересный.
Идея его применения зарождается если взглянуть на треугольник как на половинку параллелограмма…
Данный метод я сначала проверил на бумаге. После всех оптимизаций формул, как всё сошлось, я реализовал его в коде, где он показал себя вполне успешным и результативным. Аж эффективнее 2-х предыдущих методов :]
1) одну вершину треугольника помещаем в координаты (0;0);
2) две стороны, выходящие из этой вершины, представляем как вектора.
Таким образом из всего этого появляется система простых условий нахождения точки P между векторами b и c.(рис. 4)
function IsPIn_Vector(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; var Bx, By, Cx, Cy, Px, Py : single; m, l : single; // мю и лямбда begin Result := False; // переносим треугольник точкой А в (0;0). Bx := aBx - aAx; By := aBy - aAy; Cx := aCx - aAx; Cy := aCy - aAy; Px := aPx - aAx; Py := aPy - aAy; // m := (Px*By - Bx*Py) / (Cx*By - Bx*Cy); if (m >= 0) and (m = 0) and ((m + l)По коду можно увидеть, что находятся новые координаты точек B и C, которые одновременно являются векторами b и c (рис. 4.). А новые координаты точки P являются вектором (Px, Py). Далее идёт формула, которую я предварительно свёл к общему виду и упростил.
Кол-во основных операций получается 13(+4). Совсем не плохо :]
Метод геометрического луча
Это достаточно известный метод, особенно когда определяется принадлежность точки многоугольникам. Часто данный метод называют «трассировка луча», хотя это не совсем правильно, т.к. трассировка луча — это расчёт хода световых лучей в 3D сцене.
Суть в том, что из данной точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении.
Затем проверяются пересечения со сторонами многоугольника и ведётся подсчёт пересечений.
Таким образом если кол-во пересечений чётное, то значит точка лежит вне многоугольника, если же кол-во НЕчётное, то значит точка лежит внутри.На рисунке 5 изображены две подопытные точки P и K, у луча из точки P одно пересечение со сторонами треугольника, таким образом точка P принадлежит фигуре, а точке K не повезло — у неё два пересечения.
function IsPIn_RayCast(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs // p1 - начало 1ого отрезка, p2 - конец 1ого отрезка, p3 - начало 2ого отрезка, p4 - конец 2ого отрезка function peresechenie(p1, p2, p3, p4: TPoint): boolean; var zn, ua, ub : single; begin // 25 операций zn := (p4.y - p3.y) * (p2.x - p1.x) - (p4.x - p3.x) * (p2.y - p1.y); ua := ((p4.x-p3.x)*(p1.y-p3.y) - (p4.y-p3.y)*(p1.x-p3.x)) / zn; ub := ((p2.x-p1.x)*(p1.y-p3.y) - (p2.y-p1.y)*(p1.x-p3.x)) / zn; // если 'ua' и 'ub' принадлежат [0,1] то отрезки пересекаются Result := (ua >= 0) and (ua = 0) and (ub = 0) and (s2 >= 0) and (s2 = 0) and (s2 >= 0) and (s2 = 0) and (s2 >= 0) and (s2Вроде нормально упростил(для треугольника имею ввиду), но что-то мне кажется, что может быть и по круче…
А так, получается примерно 30 операций.
Сравнение скоростей
Ну вот мы и подошли к самому интересному! Кто быстрее и сильнее!? :]
Я провёл тест со следующими параметрами(хотя всё зависит от процессора):
- кол-во повторений алгоритма за 1 имитацию = 4 миллиона.
- кол-во имитаций для каждого алгоритма = 1000.
Ну что сказать, векторный метод хорош)
С ним конечно соперничает второй способ относительности точки, но главное отличие в том, что для отн. точки необходима строгая ориентация сторон треугольника, а для векторного это не важно, поэтому он круче)
Так же можно скачать написанную в ходе экспериментов программу: prin_tochki_proga. Программа реализована на Delphi 2007.
Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.
Калькулятор поможет определить находится ли заданная точка внутри заданного треугольника. Точка и треугольник задаются декартовыми координатами на плоскости. Детально описан алгоритм вычисления.
Этот калькулятор определит где находится заданная точка внутри 2-мерного треугольника или вовне. Калькулятор использует простой алгоритм, основанный на свойствах векторного произведения. Описание этого алгоритма можно найти сразу за калькулятором.
Точка в треугольнике
Точность вычисления Знаков после запятой: 2 Рассчитать Точка вниутри треугольника?Векторное произведение ( z - координата )
Ссылка Сохранить ВиджетТочка внутри треугольника. Описание алгоритма.
Векторное произведение векторов a и b, заданного декартовыми координатами в пространстве для 3-х мерного правого ортонормального базиса можно выразить так:
[1].
Векторное произведение обладает свойством антикоммутативности:
Это важное свойство мы будем использовать для решения нашей задачи.
Для того чтобы определить лежит ли точка P внутри треугольника ABC мы вычислим 3 векторных произведения: ABxAP, BCxBP and CAxCP. Так как наш треугольник и точка в 2-мерном пространстве на плоскости, третья координата z для трехмерного пространства равна нулю. Согласно формуле [1] мы можем не вычислять координаты x и y для векторного произведения, если координата z векторов-множителей равна нулю - координаты x и y результата в этом случае всегда равны нулю (результирующий псевдо-вектор перпендикулярен плоскости треугольника). Знак результата произведения для оставшейся координаты (z) зависит от относительного положения умножаемых векторов. Если первый вектор (в нашем случае это сторона треугольника) находится правее второго вектора (вектор из вершины в точку P), то координата z результата будет положительна, если первый вектор будет левее второго - отрицательна, и в противном случае, если оба вектора идут в одном и том же направлении, результат будет равен нулю.
Получив результаты по трем векторным произведениям, нам остается их проанализировать, чтобы понять лежит ли точка внутри треугольника:
Если мы имеем и положительные и отрицательные результаты, точка лежит вне треугольника, если результаты только положительные или только отрицательные, точка - внутри.
Таблица далее иллюстрирует все возможные варианты результатов векторного произведения:
Анализ алгоритма
Точка О лежит внутри треугольника ABC, если все три поворота OAB, OBC, OCA одновременно левые или правые.
В первом тесте точка (1, 1) лежит внутри треугольника.
Функция vect вычисляет векторное (косое) произведение векторов a ( x1 , y1 ) и b ( x2 , y2 ) по формуле:
a ´ b = = x1y2 – x2 y1
int vect( int x1 , int y1 , int x2 , int y2 )
return x1 * y2 - y1 * x2 ;
Читаем входные данные.
Вычисляем косые произведения.
p = vect(xa - xo, ya - yo, xb - xa, yb - ya);
q = vect(xb - xo, yb - yo, xc - xb, yc - yb);
r = vect(xc - xo, yc - yo, xa - xc, ya - yc);
Если все повороты имеют один знак, то точка О лежит внутри треугольника.
Реализация алгоритма– 2
Читаем входные данные.
Вычисляем вектора OA, OB, OC, AB, BC, CA.
OAx = xa - xo; OAy = ya - yo;
OBx = xb - xo; OBy = yb - yo;
OCx = xc - xo; OCy = yc - yo;
ABx = xb - xa; ABy = yb - ya;
BCx = xc - xb; BCy = yc - yb;
CAx = xa - xc; CAy = ya - yc;
Вычисляем косые произведения.
OAxAB = OAx * ABy - OAy * ABx;
OBxBC = OBx * BCy - OBy * BCx;
OCxCA = OCx * CAy - OCy * CAx;
Если все повороты имеют один знак, то точка О лежит внутри треугольника.
Реализация с помощью классов
Point( int x = 0, int y = 0) : x(x), y(y) <>
Как проверить лежит ли точка внутри треугольника
Задача. Даны координаты трех точек \(A\),\(B\),\(C\). Точки расположены так, что образуют треугольник. Дана еще одна точка \(D\). Необходимо проверить лежит ли эта точка внутри треугольника \(\triangle ABC\). Написать код программы на #С++.
Решение. Сразу заметим, что здесь будет предложено решение, которое нельзя назвать наилучшим. Это - быстрое решение, но имеет целый ряд недостатков. Классическая идея для решения состоит в том, что если точка \(D\) лежит внутри треугольника \(\triangle ABC\), то получаются три треугольника, содержащихся внутри данного и сумма их площадей должна равняться площади данного треугольника. Т.е. должно выполняться равенство: \[S_=S_+S_+S_\] А теперь поясним проблему. Вам придется сравнивать значения двух действительных чисел - площадь данного треугольника и сумму площадей трех внутренних треугольников. А, как известно, это можно сделать только с определенной точностью. На практике рассматривают разность этих площадей по модулю и сравнивают с маленьким числом, задающим точность сравнения. А это плохо.
Для решения задачи воспользуемся другой идеей:
Все точки треугольника (и любого выпуклого многоугольника) должны лежать по одну сторону от прямой, проходящей через каждую его сторону.
Запишем уравнение прямой, проходящей, например, через точки A и B. Получим: \[\left( x - x_A \right) \left( y_B - y_A \right) - \left( y - y_A \right) \left( x_B - x_A \right) = 0\]. Уравнение записано в такой форме, чтобы не приходилось выполнять деление и переживать о нуле в знаменателе.
Теперь для любой точки \(\left( x;y \right)\) мы можем вычислить левую часть приведенного равенства. Для точек, лежащих на прямой мы должны получать ноль. В тоже время прямая разобьёт плоскость на две полуплоскости. Точки лежащие в одной полуплоскости будут давать положительные значения. А точки из другой полуплоскости — отрицательные.
Мы готовы проверить первое условие — принадлежит ли точка D \(\left( x_d,y_d \right)\) той же полуплоскости, что и точка C \(\left( x_c,y_c \right)\) относительно прямой \(\left( AB \right)\) ? Для этого подставим обе точки в левую часть приведенного выше уравнения прямой и убедимся, что получены значения одного и того же знака. А если одна из точек даст точно ноль? Это означает, что точка лежит на прямой. По условию задачи это может быть только точка D. Тогда она принадлежит треугольнику независимо от знака выражения, вычисленного для точки C.
Приведем код простенькой программы на С++. Вам надо ввести координаты трех вершин треугольника на плоскости, а затем координат точки, принадлежность которой треугольнику проверяется. Вот код программы.
#include int main() < double xa, ya, xb, yb, xc, yc, xd, yd; scanf ("%lf%lf", &xa, &ya); // читаем координаты точки A scanf ("%lf%lf", &xb, &yb); // читаем координаты точки D scanf ("%lf%lf", &xc, &yc); // читаем координаты точки C scanf ("%lf%lf", &xd, &yd); // читаем координаты точки D printf ( (((xd - xa)*(yb-ya)-(yd-ya)*(xb-xa))*((xc - xa)*(yb-ya)-(yc-ya)*(xb-xa)) >= 0) && (((xd - xb)*(yc-yb)-(yd-yb)*(xc-xb))*((xa - xb)*(yc-yb)-(ya-yb)*(xc-xb)) >= 0) && (((xd - xc)*(ya-yc)-(yd-yc)*(xa-xc))*((xb - xc)*(ya-yc)-(yb-yc)*(xa-xc)) >= 0 )? "yes": "no"); return 0; >Проверить работу программы онлайн можно на нашем компиляторе здесь. Скопируйте код программы (ctrl+c) и вставьте (ctrl+v) в компилятор вместо программы по умолчанию.
Студентам не просто даются задачи по геометрии, в том числе и по теме - треугольники. Если вы один из таких студентов и уже в отчаянии потому что у вас не получается решить очередную задачу по геометрии, то придется искать помощь в интернете, например, на сайте reshaemonline.com. Не отчаивайтесь.
Как проверить что точка лежит в треугольнике
Проверка, лежит ли точка в треугольнике является важной задачей в геометрии и может быть полезной в различных областях, включая компьютерную графику, картографию и физику. Правильное решение этой задачи может помочь определить, находится ли точка внутри или снаружи треугольника, что расширяет возможности визуализации и анализа данных.
Для проверки, лежит ли точка в треугольнике, нужно учесть его стороны и координаты точки. Существует несколько способов решения этой задачи, один из которых основан на формуле площади треугольника. Суть этого подхода заключается в том, что если точка лежит внутри треугольника, то площади треугольников, образованных этой точкой и его вершинами, должны быть равны площади всего треугольника.
Для проверки используется следующий алгоритм:
- Находим площадь всего треугольника, используя формулу площади: S = (x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)) / 2, где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) — координаты вершин треугольника.
- Находим площадь треугольника, образованного точкой A и вершинами B и C, используя формулу площади, где A — координаты проверяемой точки.
- Повторяем шаг 2 для треугольников, образованных точкой B и вершинами A и C, а также точкой C и вершинами A и B.
- Если сумма площадей трех треугольников равна площади всего треугольника, то точка лежит внутри треугольника. В противном случае, точка находится снаружи треугольника.
Теперь, когда вы знакомы с алгоритмом проверки, лежит ли точка в треугольнике, вы можете применить его в своих задачах и исследованиях. Этот метод позволяет точно определить положение точки в треугольнике, что может быть полезно для решения различных задач и построения графиков.
Проверка точки в треугольнике
Чтобы определить, лежит ли точка внутри треугольника, нужно использовать геометрические подходы и формулу площади.
Следуйте этим шагам:
- Найдите площадь всего треугольника с помощью формулы Герона, используя координаты его вершин.
- Разделите треугольник на три меньших треугольника, соединяя проверяемую точку с каждой вершиной треугольника.
- Найдите площадь каждого из этих треугольников с помощью формулы площади треугольника по его сторонам и высоте.
- Если сумма площадей меньших треугольников равна площади всего треугольника, значит, точка находится внутри треугольника.
Этот метод основан на следующем принципе: если определители матриц, составленных из координат вершин треугольника и проверяемой точки, будут иметь одинаковый знак, то точка находится внутри треугольника.
Примечание: если площадь треугольника равна нулю, это означает, что вершины треугольника лежат на одной прямой. В этом случае проверка точки в треугольнике невозможна. Также, при работе с вещественными числами, возможно округление результатов и ошибки вычислений.
Конструкция треугольника
У треугольника есть несколько особенностей:
- Три стороны треугольника не должны пересекаться внутри фигуры;
- Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны;
- Три угла треугольника в сумме равны 180 градусам;
- Стороны треугольника могут быть равными или разными, что определяет разные типы треугольников.
Важно знать эти особенности для проверки, лежит ли точка внутри треугольника. В следующих разделах данной статьи мы рассмотрим алгоритмы и способы проверки координат точки относительно треугольника.
Координаты точки
Вершины треугольника также представлены в формате (x, y) и могут быть обозначены, например, как A(xA, yA), B(xB, yB) и C(xC, yC).
Важно помнить, что координаты точки и вершин треугольника должны быть выражены в одной системе координат.
Метод проверки
Чтобы определить, лежит ли заданная точка внутри треугольника, можно использовать следующий метод:
1. Найдите площадь треугольника, образованного вершинами A, B и C.
2. Разделите треугольник на три подтреугольника, образованных вершинами A, B и точкой P, A, C и точкой P, B, C и точкой P.
3. Найдите площади этих подтреугольников.
4. Если сумма площадей подтреугольников равна площади исходного треугольника, то точка лежит внутри треугольника. В противном случае, точка находится вне треугольника.
Данный метод основан на том, что площадь треугольника можно вычислить как половину произведения длин его сторон на синус угла между ними.
В этой статье мы рассмотрели подробную инструкцию о том, как проверить, лежит ли точка в треугольнике. Запомните следующие шаги:
1. Определите координаты вершин треугольника: записывайте координаты каждой вершины треугольника в переменные.
2. Определите координаты точки: также запишите координаты искомой точки в соответствующие переменные.
3. Примените формулу площади: используйте формулу Герона для вычисления площадей треугольников, образованных точкой и каждой стороной треугольника.
4. Проверьте условие нахождения точки внутри треугольника: если сумма площадей треугольников, образованных точкой и каждой стороной треугольника, равна площади треугольника, значит точка лежит внутри треугольника. В противном случае, точка находится вне треугольника.
Теперь, вы знаете, как проверить, лежит ли точка в треугольнике! Это может быть полезно при работе с геометрическими задачами и вычислениями.