Как проверить является ли линейным оператор
Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y . Говорят, что оператор действует из X в Y .
Действие оператора обозначают y = A ( x ), y — образ x , x — прообраз y .
Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X , y = A ( x ), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X , X — область определения оператора.
Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A , действующий из X в Y , называется линейным оператором , если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:
A ( u + v ) = A ( u ) + A ( v ) , A (α· u ) = α· A ( u ).
Определение и примеры линейных операторов
Линейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейного пространства. Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраические соотношения. В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так как они естественным образом связаны со структурой линей-ного пространства.
Напомним некоторую терминологию из теории отображений [I]. Отображение f:X → Y называют сюръективным, если каждый элемент у ∈ Y является образом некоторого элемента х ∈ X. Отображение f: X → Y называют инъективным, если разные элементы х1,x2 ∈ X имеют разные образы. Отображение одновременно и сюръективное, и инъективное называют биективным. Биективное отображение устанавливает между множествами X и Y взаимно однозначное соответствие.
Определение 4.1. Отображение А: L → L’ из линейного пространства L в линейное пространство L’ называют линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия:
а) А(х + у) = А(х) + А(у) для любых векторов х, у ∈ L;
б) А(λх) = λА(х) для любого вектора х ∈ L и любого числа λ ∈ R.
Линейный оператор А: L → L, который осуществляет отображение линейного пространства L в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства L и говорят, что линейный оператор А действует в линейном пространстве L.
Условия а), б) определения 4.1 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых x, у ∈ L и любых действительных λ и μ
А(λх + μу) = λ(Ах) + μ(Ау). (4.1)
Нетрудно убедиться, что условия определения 4.1 являются частными случаями (4.1). С другой стороны, если выполнены условия а) и б), то
А(λх + μу) = А(λх) + А(μу) = λАх + μАу,
т.е. выполняется и (4.1).
Свойства а), б) линейности отображения делают более удобной не традиционную форму записи линейного оператора в виде А(x), при которой аргумент записывается в скобках вслед за функцией, а более простую в виде Ах как своеобразное «умножение линейного оператора на вектор». При такой записи условие а) определения 4.1 можно интерпретировать как свойство дистрибутивности этого «умножения», а условие б) — как свойство ассоциативности (если число λ записывать не слева от вектора, а справа, то запись будет выглядеть так: А(xλ) = (Ах) λ).
Непосредственно из определения 4.1 вытекает, что для любого линейного оператора А: L → L’ образом АО нулевого вектора в L является нулевой вектор 0′ в L’: А(0) = 0′. Действительно,
А0 = А(0 • 0) = 0(А0) = 0′.
Рассмотрим несколько примеров линейных операторов. Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а), б) определения 4.1 или комбинированное условие (4.1). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное).
Пример 4.1. Пусть Кn[х] — линейное пространство многочленов одного переменного х степени, не превышающей натуральное число n. Для каждого многочлена Р(х) определена ero производная Р'(х), являющаяся многочленом степени не выше n — 1. Таким образом, на линейном пространстве Кn[х] определено отображение d/dx, которое каждому многочлену ставит в соответствие его производную. В качестве пространства значений такого отображения можно выбрать как исходное пространство Кn[х], так и пространство Кn-1[х]. Оба отображения
являются линейными в силу свойств линейности производной (производная суммы функций равна сумме производных, при умножении функции на число производная этой функции умножается на это число).
Пример 4.2. В пространстве V2 свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол φ против часовой стрелки представляет собой отображение V2 в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из простых геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда очевидно, что сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол φ также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол φ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.
Пример 4.3.. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство R n , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной n, и квадратную матрицу А порядка n. Отображение А: R n → R n , которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным опе-ратором в силу свойств умножения матриц:
А(λх + μу) = А( λх + μу) = λАх + μАу = λАх + μАу,
где λ,μ ∈ R, х,у ∈ R n .
Пример 4.4. В n-мерном линейном арифметическом пространстве R n для любого действительного числа k отображение А: R n → R n , определяемое формулой Ах = kх (растяжение в k раз с дополнительным отражением при k n → R n n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ах = х + а, где а ≠ 0 — некоторый фиксированный вектор, не является линейным, так как, например, образом ну-левого вектора является вектор а.
Определение 4.2. Каждому линейному оператору А: L → L’ соответствуют:
— его ядро kerА — множество тех векторов х ∈ L, для которых Ах = 0′, где 0′ — нулевой вектор в L’;
— его образ imА — множество векторов у ∈ L’, являющихся значениями этого оператора.
Теорема 4.1. Для любого линейного оператора А: L -> L’ его ядро kerА является линейным подпространством в L, а его образ imA — линейным подпространством в L’.
◄ Доказательство сводится к проверке условий определения 2.1 линейного подпространства. Пусть векторы х1 и x2 принадлежат множеству kerА, т.е. Ах1 = 0′, Ах2 = 0′. Тогда, согласно условию а) определения 4.1,
т.е. вектор х1 + х2 принадлежит множеству kerА, а, согласно условию б) того же определения, для любого действительного числа λ
т.е. и вектор λx1 принадлежат kerА. Как видим, множество kerА замкнуто относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.
Если векторы у1 и у2 принадлежат множеству imA, то существует такие векторы x1, x2 ∈ L, что у1 = Ax1, у2 = Ах2. Но тогда, согласно условию а) определения 4.1,
т.е. вектор у1 + у2 является значением оператора А и, следовательно, принадлежит imA. Аналогично вектор
также входит в множество imA для любого λ ∈ R. Приходим к выводу, что и imA является линейным подпространством, но уже в линейном пространствеL’. ►
Размерности ядра и образа — важнейшие характеристики линейного оператора. Число dim(kerA) называют дефектом линейного оператора А, а число dim(imA) — его рангом. Отметим, что в примере 4.3 ядро оператора А имеет простую интерпретацию: это есть множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А.
Среди линейных операторов, отображающих линейное пространство L в себя есть два важных частных случая: тождественный оператор I, который каждый вектор переводит ,в себя (Iх = х), и нулевой оператор Θ, который каждый вектор отображает в нулевой (Θx = 0). Эти два оператора являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект (равный dimL) и минимальный ранг (нулевой). Тождественный оператор, на-оборот, имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный ранг (равный dimL). Оператор максимального дефекта опре-делен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много.
Линейный оператор А: L → L’ с нулевым дефектом является инъективным. В самом деле, если дефект оператора равен нулю, то ядро этого оператора содержит единственный вектор — нулевой. Если Ах = Ау, то А(х — у) = 0. Значит, вектор х — у принадлежит ядру и потому является нулевым. Следовательно, х = у, т.е. различные векторы имеют в линейном пространстве L’ различные образы. Наоборот, если оператор является инъективным, то в нулевой вектор линейного пространства L’ может отображаться только нулевой вектор линейного пространства L. Значит, ядро линейного оператора содержит только нулевой вектор и дефект линейного оператора равен нулю.
Дефект d(A) и ранг Rg(A) оператора А: L → L’ связаны с размерностью пространства L соотношением d(A) + Rg(A) = dimL. Действительно, рассмотрим прямое дополнение H к линейному подпространству ker А в линейном пространстве L. Тогда d(A) + dimH = dimL, и нам достаточно показать, что dimH = dimim А = Rg А. Линейный оператор А может рассматриваться как линейный оператор из линейного пространства H в линейное пространство L’. Очевидно, что Ах = 0 при х ∈ Н, лишь если х = 0. Поэтому линейный оператор А: H →imА на H имеет нулевой дефект и является сюръективным. Значит, он осуществляет биективное отображение линейного пространства H в линейное пространство imA. В следующем параграфе будет показано, что в этом случае размерности пространств H и imA совпадают.
Линейные операторы
Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.
Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения
Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.
Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и
соответственно. Пусть задано отображение
y=Ax, | (1) |
где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:
![]() |
(2) |
![]() |
Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и
в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.
Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда
![]() |
(3) |
является разложением x в по базису .
Применим оператор A к базисным векторам :
![]() |
(4) |
где aij − координаты полученного вектора в базисе .
Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем
Сделаем следующее обозначение:
![]() |
(6) |
Тогда равенство (5) примет следующий вид:
![]() |
(7) |
Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.
Построим матрицу A с элементами aij:
![]() |
(8) |
Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:
y=Ax. | (9) |
Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и
.
2. Сложение линейных операторов
Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.
Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством
Cx=Ax+Bx, x∈R, | (10) |
где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.
Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.
Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:
Cej=Aej+Bej= | n | (aij+bij)ej |
∑ | ||
j=1 |
Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.
C=A+B. | (11) |
3. Умножение линейных операторов
Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.
Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Cx=A(Bx), x ∈ R. | (12) |
Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.
Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C
y=Bx, z=Ay, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
y=Bx, z=Ay, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Cx=A(Bx)=(AB)x. |
Учитывая произвольность х, получим
C=AB. | (13) |
Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.
4. Умножение линейного оператора на число
Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.
Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Cx=λ ( Ax) | (14) |
Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства
y=Ax, z=λy, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
y=Ax, z=λy, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Cx=λ(Ax)=(λA)x. |
Учитывая произвольность х, получим
C=λA. | (15) |
Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.
5. Нулевой оператор
Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:
6. Противоположный оператор
Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:
−A=(−1)A. |
7. Ядро линейного оператора
Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.
Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.
8. Образ линейного оператора
Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.
Образ линейного оператора обозначается символом im A.
9. Ранг линейного оператора
Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).
Как проверить является ли линейным оператор
Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y . Говорят, что оператор действует из X в Y .
Действие оператора обозначают y = A ( x ), y — образ x , x — прообраз y .
Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X , y = A ( x ), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X , X — область определения оператора.
Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A , действующий из X в Y , называется линейным оператором , если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:
A ( u + v ) = A ( u ) + A ( v ) , A (α· u ) = α· A ( u ).
Примеры решений. Линейные операторы
В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, касающиеся линейных операторов (преобразований, отображений): нахождение матрицы оператора в разных базисах, проверка его свойств, нахождение собственных (характеристических) значений и векторов.
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Решения задач: линейные операторы
Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x’=5x+4y, y’=8x+9y$.
Задача 2. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3 \rightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.
Задача 3. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $x_1», x_2», x_3»$ через $x_1, x_2, x_3$.
Задача 4. Установить, являются ли заданные отображения $A: R^4 \to R^4$ линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора $A$ в каноническом базисе
$$ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1). $$ $$ Ax=(x_1-2x_4; x_2+x_3; -x_1; x_1+3x_2);\quad Ax=(x_1-2x_4; x_2\cdot x_3; -x_1; x_1+3x_2). $$
Задача 5. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.
$$A= \begin -2 & -2 & -4\\ -2 & 1 & -2\\ 5 & 2 & 7\\ \end $$
Задача 6. Линейный оператор $A: R^3 \to R^3$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ представлен данной матрицей. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе $f_1, f_2, f_3$ .
$$A= \begin -2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & -4\\ -1 & 2 & 1\\ \end, \quad \left\ \psi=-\frac \nabla^2\psi+V\psi \] Пусть \( \mathit\) — векторное пространство. Функция \(A: \mathit \rightarrow \mathit\) называется оператором, действующим в векторном пространстве \(\mathit\).
Оператор \(A\) называется линейным, если для любых \(u_1,u_2 \in \mathit\) и любых чисел \(c_1,c_2\) выполняется: \(A(c_1u_1+c_2u_2)=c_1A(u_1)+c_2A(u_2)\).
Результат действия линейного оператора \(A\) на вектор \(u\) обозначают \(Au\), опуская скобки.
1. \(Au=0\) — оператор, который любому вектору ставит в соответствие нулевой вектор.
2. \(Au=u\) — тождественный оператор.
3. \(Au=\lambda \cdot u\) — оператор, который каждый вектор растягивает в \(\lambda\) раз.
4. Пусть в векторном пространстве фиксирован базис \(e_1,e_2. e_n\), так что любой вектор \(u\) представим в виде линейной комбинации \[ u=\sum _^n\zeta _ke_k. \]
Возьмем \(B\), произвольную квадратную матрицу порядка \(n\). С ее помощью можно построить линейный оператор следующим образом. Положим \[ \xi _m=\sum _^nB_\zeta _k, \] и положим \(v=\sum _^n\xi _me_m\). Таким образом, мы вектору \(u\) поставили в соответствие вектор \(v\), т.е. задали оператор, действующий на векторном пространстве. Можно проверить, что этот оператор является линейным. Отметим при этом, что если выбирать разные базисы, то при заданной матрице \(B\) мы получим разные линейные операторы.
Для линейных операторов можно ввести естественные операции.
1. Пусть даны два линейных оператора \(A\) и \(B\). Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow Au+Bu\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(A+B\).
2. Пусть \(A\) — линейный оператор, \(\lambda\) — некоторое число. Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow \lambda \cdot Au\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(\lambda A\).
Итак, на множестве всех линейных операторов, действующих в векторном пространстве \( \mathit\), мы ввели две операции — сложение линейных операторов и умножение линейного оператора на число. Нулевой линейный оператор — оператор, ставящий в соответствие любому вектору нулевой вектор. Можно проверить, что при этом множество всех линейных операторов само становится векторным пространством.
Линейный оператор
[math] D= \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end [/math]
Теорема об эквивалентности задания линейного оператора
Задание Л.О. [math]\mathcal: X \rightarrow Y \Leftrightarrow [/math] заданию его матрицы в паре базисов [math]\_^[/math] и [math]\_^[/math]
[math] \Leftarrow x= \sum\limits_^ \xi^i e_i [/math] (единственным образом)