Разложение на множители онлайн
Разложить некоторое выражение на множители означает представить его в виде произведения нескольких элементов. Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам необходимо разложить на множители выражение:
Вычтем и прибавим слагаемое :
Вынесем за скобки множитель и приведём подобные слагаемые:
Прибавим и вычтем слагаемое :
Вынесем за скобки множитель и приведём подобные слагаемые:
Наконец, выносим за скобки множитель :
Теперь, нам остаётся только вынести за скобки множитель :
Задача разложения на множители часто возникает при решении уравнений. Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен разложить на множители практически любые выражения.
Многочлены — определение и вычисление с примерами решения
Выражение
Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.
Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.
Например, членами многочлена являются одночлены
Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,
— двучлены;
— трехчлены.
Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.
Многочлен стандартного вида
Рассмотрим многочлен Два его члена
являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.
Приведем в многочлене его подобные члены:
Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.
Определение:
Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.
только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.
Степень многочлена
Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак,
— многочлен четвертой степени.
Определение:
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.
По этому определению — многочлены первой степени;
— многочлен второй степени;
— многочлен шестой степени.
Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:
Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения
— не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.
Примеры выполнения заданий:
Пример №117
Записать в стандартному виде многочлен:
Сложение и вычитание многочленов
Сложение многочленов
Сложим многочлены
.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен
Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.
Вычитание многочленов
Вычтем из многочлена многочлен
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен
Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.
Примеры выполнения заданий:
Пример №118
Найти сумму многочленов:
Пример №119
Найти разность многочленов
Решение:
Пример №120
Решить уравнение
Решение:
Пример №121
Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.
Решение:
Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где
— некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа —
Сумма этих трех чисел
делится на 3, поскольку имеет делитель 3.
Умножение одночлена на многочлен
Умножим одночлен на многочлен
Используя распределительное свойство умножения, получим:
Итак, произведением одночлена и многочлена
является многочлен
Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:
Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.
Примеры выполнения заданий:
Пример №122
Сокращенная запись:
Сокращенная запись:
Пример №123
Упростить выражение
Решение:
Пример №124
Решить уравнение
Решение:
Умножение многочлена на многочлен
Умножим многочлен на многочлен
Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен
через
Тогда:
Возвращаясь к замене получаем:
Итак, произведением многочлена и многочлена
является многочлен
Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили
, потом
и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение
можно получить, если умножить каждый член многочлена
на каждый член многочлена
и полученные произведения сложить.
Приходим к такому правилу:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Умножим по этому правилу многочлен на многочлен
Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:
В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.
Примеры выполнения заданий:
Пример №125
б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:
Пример №126
Решить уравнение
Решение:
Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки
1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:
Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.
На множители можно разложить и многочлены. Например,
Записав многочлен в виде произведения
говорят, что многочлен
разложили на два множителя
Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.
2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:
Перепишем эти равенства в обратном порядке:
Многочлен разложили на два множителя
Чтобы разложить многочлен
на множители, достаточно в его членах
и
выделить общий множитель
а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов
Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.
Примеры выполнения заданий:
Пример №127
Разложить на множителя многочлен 12х 3 у — 18х 2 у 2 .
Решение:
Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит
а второй —
, то общим множителем для степеней с основанием
является
(за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители
и
, за скобки можно вынести
. Таким образом, за скобки можно вынести одночлен
Пример №128
Разложить на множители многочлен
Решение:
Пример №129
Разложить на множители:
Решение:
Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:
Пример №130
Разложить на множители:
Решение:
Слагаемые имеют множители и
которые отличаются только знаками. В выражении
вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид
и оба слагаемых будут иметь общий множитель
.
Пример №131
Найти значение выражения при
Решение:
Разложим сначала многочлен на множители:
При получим:
Пример №132
Решить уравнение
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители:
Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Разложение многочленов на множители способом группировки
Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен
следующим образом:
Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя
Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель
для группы
— общий множитель
В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности
имеем общий множитель
Выносим его за скобки и получаем
Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.
Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:
Примеры выполнения заданий:
Пример №133
Разложить на множители многочлен
Решение:
Пример №134
Разложить на множители трехчлен
Решение:
Представим второй член в виде
Тогда:
- Формулы сокращенного умножения
- Разложение многочленов на множители
- Системы линейных уравнений с двумя переменными
- Рациональные выражения
- Выражения и уравнения
- Линейное уравнение с одной переменной
- Целые выражения
- Одночлены
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Как разложить число на произведение простых множителей
Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.
Количество просмотров этой статьи: 9249.
В этой статье:
Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей. Если вы не любите иметь дело с большими числами, такими как 5733, научитесь раскладывать их на простые множители (в данном случае это 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подобная задача часто встречается в криптографии, которая занимается проблемами информационной безопасности. Если вы еще не готовы создать собственную систему безопасной электронной почты, для начала научитесь раскладывать числа на простые множители.
Часть 1 из 2:
Нахождение простых множителей
- Например, число 18 можно разложить на следующие произведения: 1 x 18, 2 x 9, или 3 x 6.
Вспомните, что такое простые числа. Простое число делится без остатка лишь на два числа: на само себя и на 1. Например, число 5 можно представить в виде произведения 5 и 1. Это число нельзя разложить на другие множители. Цель разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить его в виде произведения простых чисел. Это особенно удобно при операциях с дробями, так как позволяет сравнивать и упрощать их. [1] X Источник информации
- Пример: разложим на произведение простых чисел число 24.
- Пример: если вы не знаете множителей для числа 24, попробуйте поделить его на малые простые числа. Так вы обнаружите, что данное число делится на 2: 24 = 2 x 12. Это хорошее начало.
- Поскольку 2 является простым числом, его хорошо использовать при разложении четных чисел.
- Пример:
- 24
- /\
- 2 12
- Пример: 12 не является простым числом, поэтому его следует разложить на множители. Используем разложение 12 = 2 x 6 и запишем его в третьей строке дерева:
- 24
- /\
- 2 12
- /\
- 2 x 6
- Пример: 2 является простым числом. Просто перенесите 2 из второй в третью строку:
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
- Пример: 6 не является простым числом, поэтому его также следует разложить на множители. В то же время 2 представляет собой простое число, и мы переносим две двойки на следующий уровень:
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
- / / /\
- 2 2 2 3
- Проверьте ответ: перемножьте стоящие в последней строке числа. В результате должно получиться исходное число.
- Пример: в последней строке дерева множителей содержатся числа 2 и 3. Оба этих числа являются простыми, поэтому разложение завершено. Таким образом, разложение числа 24 на простые множители имеет следующий вид: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- Порядок множителей не имеет значения. Разложение можно записать также в виде 2 x 3 x 2 x 2.
- Пример: сколько раз встречается число 2 в найденном разложении 2 x 2 x 2 x 3? Три раза, поэтому выражение 2 x 2 x 2 можно записать в виде 2 3 . В упрощенной записи получаем 2 3 x 3.
Часть 2 из 2:
Использование разложения на простые множители
- Разложим оба числа на простые множители. Для числа 30 разложение имеет вид 2 x 3 x 5. Число 36 раскладывается на простые множители следующим образом: 2 x 2 x 3 x 3.
- Найдем число, которое встречается в обоих разложениях. Перечеркнем это число в обоих списках и напишем его с новой строки. Например, 2 встречается в двух разложениях, поэтому запишем 2 в новой строке. После этого у нас остается 30 =
2x 3 x 5 и 36 =2x 2 x 3 x 3. - Повторяйте это действие, пока в разложениях не останется общих множителей. В оба списка входит также число 3, поэтому в новой строке можно записать 2 и 3. После этого вновь сравните разложения: 30 =
2 x 3x 5 и 36 =2x 2 x3x 3. Как видно, в них не осталось общих множителей. - Чтобы найти наибольший общий делитель, следует найти произведение всех общих множителей. В нашем примере это 2 и 3, поэтому НОД равен 2 x 3 = 6. Это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа 30 и 36.
- К примеру, упростим дробь 30 /36. Как мы установили выше, для 30 и 36 НОД равен 6, поэтому поделим числитель и знаменатель на 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 /36 = 5 /6
- Начнем с двух разложений на простые множители. Например, для числа 126 разложение можно записать как 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 раскладывается на простые множители в виде 2 x 2 x 3 x 7.
- Сравним, сколько раз каждый множитель встречается в разложениях. Выберите тот список, где множитель встречается максимальное число раз, и обведите это место. Например, число 2 встречается один раз в разложении для числа 126 и дважды в списке для 84, поэтому следует обвести 2 x 2 во втором списке множителей.
- Повторите это действие для каждого множителя. Например, 3 встречается чаще в первом разложении, поэтому следует обвести в нем 3 x 3. Число 7 встречается по одному разу в обоих списках, так что обводим 7 (неважно в каком списке, если данный множитель встречается в обоих списках одинаковое число раз).
- Чтобы найти НОК, перемножьте все обведенные числа. В нашем примере наименьшим общим кратным чисел 126 и 84 является 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Это наименьшее число, которое делится на 126 и 84 без остатка.
- Например, необходимо найти сумму 1 /6 + 4 /21.
- С помощью приведенного выше метода можно найти НОК для 6 и 21. Оно равно 42.
- Преобразуем дробь 1 /6 так, чтобы ее знаменатель равнялся 42. Для этого необходимо поделить 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 7: 1 /6 x 7 /7 = 7 /42.
- Чтобы привести вторую дробь к знаменателю 42, поделим 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: 4 /21 x 2 /2 = 8 /42.
- После того как дроби приведены к одинаковому знаменателю, их можно легко сложить: 7 /42 + 8 /42 = 15 /42.
Примеры задач
- Попробуйте решить приведенные ниже задачи самостоятельно. Если вы считаете, что получили правильный ответ, выделите мышкой место после двоеточия в условии задачи. Последние задачи наиболее сложные.
- Найдите разложение на простые множители для числа 16: 2 x 2 x 2 x 2
- Запишите ответ в степенной форме: 2 4
- Найдите разложение на простые множители для числа 45: 3 x 3 x 5
- Запишите ответ в степенной форме: 3 2 x 5
- Найдите разложение на простые множители для числа 34: 2 x 17
- Найдите разложение на простые множители для числа 154: 2 x 7 x 11
- Найдите разложение на простые множители для чисел 8 и 40, а затем определите их наибольший общий делитель: разложение на простые множители числа 8 имеет вид 2 x 2 x 2 x 2; разложение на простые множители числа 40 имеет вид 2 x 2 x 2 x 5; НОД двух чисел 2 x 2 x 2 = 6.
- Найдите разложение на простые множители для чисел 18 и 52 и найдите их наименьшее общее кратное: разложение на простые множители числа 18 имеет вид 2 x 3 x 3; разложение на простые множители числа 52 имеет вид 2 x 2 x 13; НОК двух чисел составляет 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.
- Каждое число имеет характерное для него единственное разложение на простые множители. Неважно, каким образом вы находите это разложение, в конце должен получиться один и тот же ответ. Это называется основной теоремой арифметики. [4] X Источник информации
- Вместо того чтобы каждый раз переписывать простые числа в новой строке дерева множителей, можно оставлять их на месте и просто обводить. По окончании разложения в него войдут все обведенные простые множители.
- Всегда проверяйте полученный ответ. Вы можете допустить ошибку и не заметить этого.
- Будьте готовы к заданиям с подвохом. Если вас просят найти разложение на простые множители простого числа, нет необходимости проводить какие-либо вычисления. [5] X Источник информации Например, для числа 17 разложением на простые множители будет 17; это число не раскладывается на другие простые множители.
- Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное можно найти для трех и более чисел.
Предупреждения
- Дерево множителей позволяет определить лишь простые, а не все возможные множители.
Дополнительные статьи
найти квадратный корень числа вручную
найти среднее значение, моду и медиану
вычислить общее сопротивление цепи
вычесть дробь из целого числа
решать кубические уравнения
извлечь квадратный корень без калькулятора
найти множество значений функции
переводить из двоичной системы в десятичную
перевести миллилитры в граммы
умножить в столбик
проводить действия с дробями
вычислить вероятность
найти область определения и область значений функции
разделить целое число на десятичную дробь
- ↑http://www.eduplace.com/math/mw/background/6/03/te_6_03_fractions_ask.html
- ↑http://study.com/academy/lesson/what-is-a-factor-tree-definition-example.html
- ↑http://www.virtualnerd.com/tutorials/?id=Gr6_04_01_0014
- ↑http://www.mathsisfun.com/numbers/fundamental-theorem-arithmetic.html
- ↑http://www.mathsisfun.com/prime-factorization.html
Об этой статье
Репетитор по математике
Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 9249.
Как представить данные в виде художественного произведения?
Данные и цифры заполонили наш мир, но не всегда их легко воспринимать в сухом виде таблиц и графиков. А если представить эти же данные в формате рассказа, стихотворения или даже спектакля? Творческий подход может не только оживить скучную статистику, но и помочь лучше ее запомнить и понять. Давайте разберемся, как преобразовать обычные данные в увлекательное художественное произведение.
Традиционные способы визуализации данных
Издавна для наглядного представления информации использовались различные форматы:
- Таблицы — удобны для сравнения показателей, но плохо воспринимаются в больших объемах
- Графики и диаграммы — наглядно демонстрируют динамику, тенденции
- Текстовые отчеты и описания — подробно раскрывают суть явления, но часто скучны для восприятия
Каждый из этих способов имеет как достоинства, так и ограничения. Главный их недостаток в том, что они обычно стандартны и не вызывают ярких эмоций и впечатлений.
Визуальные искусства для представления данных
А если подойти к визуализации творчески и использовать для этого возможности искусства? Вот лишь некоторые идеи:
- DataArt — это целое художественное направление по созданию визуальных образов на основе данных. С помощью красок, форм и композиций абстрактная информация преобразуется в эстетически-привлекательные произведения.
- Инфографика — использование различных графических приемов, пиктограмм, иллюстраций для более наглядного и запоминающегося представления данных.
- Сторителлинг — рассказывание историй на основе данных и цифр, что позволяет легче вовлечь аудиторию и вызвать отклик.
«представьте выражение в виде произведения»
Это лишь некоторые варианты для вдохновения. Комбинируя данные с искусством, можно создавать по-настоящему креативные и запоминающиеся решения.
Практические советы по визуализации
Давайте перейдем к конкретным рекомендациям, как можно представить обычные данные в виде художественного произведения.
- Выберите формат. Это может быть рассказ, стихотворение, комикс, инфографика, скульптура из данных, танец и т.д. Главное, чтобы формат соответствовал типу данных и целям.
- Структурируйте данные. Разложите информацию на составляющие: цифры, динамика, взаимосвязи, контекст. Определите ключевые моменты для будущего произведения.
- Придумайте творческую концепцию. Как именно данные можно представить через выбранный вами художественный формат? Какие ассоциации, метафоры, образы использовать?
- Представить в виде произведения по выбранной концепции, включив ключевые моменты из структурированных данных. Добавьте креативные визуальные и смысловые элементы для усиления эффекта.
Следуя этим шагам и экспериментируя с разными художественными форматами, вы сможете создавать по-настоящему креативные произведения на основе данных. Успехов вам в этом увлекательном занятии!
Исторические примеры художественной визуализации данных
Идея представления информации в творческой форме не нова. Еще в древности данные об исторических событиях, научных открытиях, географических особенностях зашифровывались в мифах, легендах, произведениях искусства.
Например, многие древнегреческие мифы по сути являлись аллегорическим отображением научных знаний того времени об устройстве мира и природных явлениях.
В эпоху Возрождения с развитием науки и искусства появляются первые инфографические изображения — различные схемы, чертежи, иллюстрированные справочники по астрономии, анатомии, географии.
Современные примеры креативной визуализации
И в наши дни данные продолжают вдохновлять художников на создание креативных произведений.
Так, художница Лорен Торн по мотивам научных отчетов о последствиях изменения климата создает объемные текстильные скульптуры, демонстрирующие ущерб экосистемам.
На основе статистики компания Data Art Solution разработала технологию генерации абстрактных ландшафтов, где рельеф местности формируется исходя из числовых показателей.
Хореограф СиоМай Данс с помощью языка танца интерпретирует в своих постановках данные об экономических процессах, миграциях, урбанизации.
Представить в виде произведения на основе повседневных данных
А как насчет попробовать придать художественную форму каким-то обыденным цифрам из вашей повседневной жизни?
Например, можно вести творческий дневник, где фиксировать свои ежедневные пройденные километры, потраченные калории, часы сна и бодрствования в виде стихотворения или графического рисунка.
Или посчитать, сколько в вашем городе проводится различных культурных мероприятий за месяц, и изобразить эти данные в виде инсталляции из фигурок или предметов.
Вариантов масса, нужно лишь проявить креативность и экспериментировать с разными способами художественной визуализации личных или публичных данных!