Как посчитать интеграл пуассона
Перейти к содержимому

Как посчитать интеграл пуассона

  • автор:

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1

Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:

Найдем интеграл от правой границы:
(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞
В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.

Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:

Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.

Тогда в результате получим:

Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂

  • интегральное исчисление
  • математика
  • интеграл Эйлера — Пуассона
  • асимптотика
  • физика
  • статистика
  • теория вероятностей

Интегралы Пуассона: особенности, доказательство

Интегралы Пуассона — мощный математический инструмент с обширной областью применения. Но немногие знают историю их открытия и основные доказательства, лежащие в основе теории.

Первое упоминание интегралов Пуассона в трудах математиков

Впервые интегралы Пуассона были описаны французским математиком Симеоном Дени Пуассоном в 1823 году:

Интеграл вида ∫f(θ)dθ, где r и φ — полярные координаты, q — параметр. выражает значения функции u(r,φ), гармонической внутри круга радиуса R, через ее значения f(θ), заданные на границе этого круга.

С.Д. Пуассон внес огромный вклад в математическую физику и теорию вероятностей. Однако в то время интегралы Пуассона не получили должного внимания научного сообщества.

Становление теории интегралов Пуассона

Первые фундаментальные результаты в теории интегралов Пуассона были получены немецким математиком Германом Шварцем в 1869 году. В своей работе Шварц строго доказал:

  • Сходимость ряда Фурье для интеграла Пуассона при определенных условиях;
  • Оценки погрешности для приближений интегралом Пуассона.

Эти фундаментальные результаты Г.Шварца позволили по-новому взглянуть на теорию интегралов Пуассона и интенсифицировать ее изучение другими математиками.

Связь интегралов Пуассона с другими математическими объектами

За прошедшие два века теория интегралов Пуассона оказалась тесно связанной с целым рядом разделов математики, в частности:

Гармонический анализ Теория рядов Фурье
Теория дифференциальных уравнений Задачи математической физики

Особенно тесно интегралы Пуассона переплетены с теорией рядов Фурье. Так например, интеграл Пуассона для 2π-периодической функции f(x) можно представить в виде:

где an, bn — коэффициенты Фурье функции f(x). Из этого выражения видна непосредственная связь между интегралами Пуассона и гармоническим анализом.

Ученый решает формулу

Классические доказательства в теории интегралов Пуассона

Работа И.П. Натансона 1950 года показала порядок приближения непрерывной 2π-периодической функции с помощью интеграла Пуассона. Это стало одним из первых строгих доказательств эффективности применения интегралов Пуассона на практике.

Вычисление интегралов Пуассона

Для практических вычислений удобно использовать интеграл Эйлера-Пуассона — частный случай интеграла Пуассона вида:

Данный интеграл впервые вычислил Эйлер в 1729 году. Пуассон предложил простой метод его вычисления, за что интеграл получил двойное название.

Интегралы Пуассона без доказательства

Не для всех случаев интегралов Пуассона удалось получить строгие математические доказательства сходимости и оценки погрешностей. Например, до сих пор открытым остается вопрос о поведении интеграла Пуассона для произвольной непериодической функции.

Тем не менее, это не мешает успешно использовать такие интегралы на практике, в частности, для приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Современные приложения интегралов Пуассона

В настоящее время интегралы Пуассона активно применяются в самых разных областях:

  • Обработка изображений
  • Распознавание речи
  • Анализ финансовых рядов

Разработано множество вычислительных методов и программных библиотек для эффективной реализации вычислений с использованием интегралов Эйлера-Пуассона и других частных случаев интегралов Пуассона.

Примеры использования

Рассмотрим конкретные примеры использования:

  • Обработка изображений. Интегралы Пуассона применяются в алгоритмах восстановления изображений, например при устранении шумов и артефактов сжатия. Благодаря интегралам удается эффективно выполнить обратное преобразование Фурье для зашумленных изображений.
  • Распознавание и синтез речи. Интегралы Пуассона используются в математических моделях голосового тракта. Они позволяют связать характеристики речевого сигнала с параметрами модели голосового тракта человека.
  • Анализ временных рядов. С помощью интегралов Пуассона можно выделять периодические компоненты во временных рядах, например, сезонные колебания в финансовых данных или тренды в рядах показателей производства.

Перспективы развития теории

Несмотря на многолетнюю историю, теория интегралов Пуассона продолжает активно развиваться. В частности, в последние годы получен ряд новых фундаментальных результатов.

Активно исследуются различные обобщения классических интегралов Пуассона, например, для многомерных и некоммутативных пространств. Получены обобщения формулы Пуассона на случай p-адических пространств и пространств по модулю p.

Продолжают находиться все новые прикладные области, где с успехом используются интегралы Пуассона и их обобщения. В частности, в последние годы они применяются в квантовых вычислениях и криптографии.

Идет активная разработка новых эффективных численных методов для вычисления интегралов Пуассона и реализация соответствующих программных библиотек и пакетов.

Формула на столе

Обучение и популяризация

Используются следующие методы:

  • Онлайн-ресурсы. Создаются открытые онлайн-курсы, видеолекции, тесты и интерактивные симуляторы для изучения интегралов Пуассона. Например, на платформах Coursera и Stepik уже есть несколько курсов, посвященных интегралам Пуассона и их приложениям.
  • Учебная литература. Публикуются новые учебники и учебные пособия по теории и применению интегралов Пуассона. Они ориентированы как на студентов технических специальностей, так и на широкую аудиторию.
  • Популярные издания. В научно-популярных журналах и книгах периодически выходят обзорные статьи об интегралах Пуассона, их истории и современном использовании. Такие публикации способствуют популяризации теории среди широкой аудитории.

Прикладные исследования

Необходимы дальнейшие исследования для более широкого практического использования интегралов Пуассона в таких областях, как:

  • Обработка больших данных
  • Компьютерное зрение и распознавание образов
  • Машинное обучение
  • Биоинформатика и анализ генетических данных

Для этих и других перспективных направлений требуется адаптация интегралов Пуассона к специфике решаемых задач, разработка гибридных методов с использованием интегралов и создание высокопроизводительных программных реализаций.

Актуально исследование возможностей эффективного распараллеливания алгоритмов на основе интегралов Пуассона для современных многоядерных процессоров и графических ускорителей.

Перспективно использование облачных вычислений и технологии функций как сервиса (FaaS) для масштабирования приложений с интегралами Пуассона.

Вместо заключения

В статье мы детально рассмотрели теорию интегралов Пуассона: историю открытия, классические доказательства, связь с другими разделами математики, современное состояние и перспективы развития. Приведен подробный анализ работ С.Д. Пуассона, Г. Шварца, И.П. Натансона — основоположников теории интегралов Пуассона. Также были затронуты вычислительные аспекты и применение в обработке изображений, распознавании речи, анализе временных рядов.

Онлайн Вычислитель интегралов

Wolfram|Alpha является замечательным инструментом для нахождения первообразных и вычисления определенных интегралов, двойных или тройных интегралов, а также несобственных интегралов. Более того, она строит графики, предлагает альтернативные формы ответов, а также другую полезную информацию для развития вашей математической интуиции.

Integral results with plots, alternate forms, series expansions and answers

Рекомендации по составлению запросов

Вводите запросы на обычном английском языке. Использование скобок, в случае необходимости, позволяет избежать неоднозначностей в запросе. Вот некоторые примеры, иллюстрирующие запросы для вычисления интеграла.

Access instant learning tools

Get immediate feedback and guidance with step-by-step solutions for integrals and Wolfram Problem Generator

Step-by-step solutions for integrals with detailed breakdowns and unlimited Wolfram Problem Generator eigenvalue practice problems

  • Пошаговые решения
  • Wolfram Problem Generator

Что такое интегралы?

Интегрирование является важным инструментом математического анализа, который вычисляет первообразную или дает площадь под графиком функции.

Неопределенный интеграл функции f(x), обозначаемый ∫f(x) dx, определяется как первообразная от f(x). Другими словами, производная от ∫f(x) dx равняется f(x). Поскольку производная от постоянной равна нулю, неопределенные интегралы определены с точностью до произвольной постоянной. Например, ∫sin(x) dx=−cos(x)+постоянная, потому что производная от −cos(x)+постоянная равняется sin(x). Определенный интеграл функции f(x) на отрезке от x=a до x=b, обозначаемый ∫baf(x) dx, определяется как суммарная площадь со знаком между кривой f(x) и осью абсцисс на отрезке от x=a до x=b.

Оба типа интегралов связаны друг с другом основной теоремой анализа. Она утверждает, что если функция f(x) является интегрируемой на отрезке [a,b] а F(x) является ее непрерывной первообразной, то ∫baf(x) dx=F(b)−F(a). Таким образом, ∫π0sin(x) dx=(−cos(π))−(−cos(0))=2. Иногда необходимо найти приближенное значение определенного интеграла. Распространенным методом вычисления приближения является размещение тонких прямоугольников под графиком функции и суммирование их площадей со знаком. Wolfram|Alpha может вычислять значения для широкого ряда интегралов.

Как Wolfram|Alpha вычисляет значения интегралов

Wolfram|Alpha находит значения не таким образом, как это делают люди. Она использует команду Integrate системы Mathematica, которая является результатом огромного объема математической и вычислительной научно-исследовательской работы. Команда Integrate вычисляет интегралы не так, как человек. Она использует эффективные и общие алгоритмы, часто включающие в себя сложные математические вычисления. Наиболее часто это происходит одним из двух способов. В первом — интеграл вычисляют в общем виде с неопределенными коэффициентами, результат дифференцируют и решают уравнения для этих коэффициентов так, чтобы получалось конкретное подынтегральное выражение. Даже для достаточно простых интегралов, генерируемые уравнения могут быть очень громоздкими, а для их решения могут требоваться сильные возможности системы Mathematica в алгебраических вычислениях. Другой подход, используемый системой Mathematica для вычисления интегралов, состоит в записи подынтегрального выражения в терминах обобщенных гипергеометрических функций и использовании ряда тождеств между функциями из этого весьма общего класса математических функций.

Несмотря на то, что эти эффективные алгоритмы дают Wolfram|Alpha возможность быстро находить значения интегралов и позволяют ей работать с широким рядом специальных функций, для неё также важно уметь вычислять интегралы так, как это делал бы человек. Поэтому Wolfram|Alpha имеет алгоритмы пошагового интегрирования. Они используют совершенно другую технику интегрирования, имитирующую способ решения интегралов, предпринимаемый людьми. Сюда входит интегрирование методом подстановки, интегрирование по частям, использование тригонометрических подстановок и метод Остроградского.

Калькулятор Интегралов

Калькулятор Интегралов

Вычисление интегралов онлайн
— по шагам и с графиками!

Калькулятор Интегралов позволяет вычислять интегралы и первообразные функций онлайн — совершенно бесплатно!

Наш Калькулятор позволяет проверить решение Ваших математических заданий. Он поможет вам с решением задачи показывая весь ход решения шаг за шагом. Поддерживаются все виды интегрирования включая специальные функции.

Калькулятор Интегралов поддерживает вычисление определённых и неопределённых (первообразных функций) интегралов включая интегрирование функций с несколькими переменными. Кроме этого Вы можете проверить результат своего решения! Интерактивные графики помогут представить и лучше понять функции интегралов.

Чтобы узнать больше о том как пользоваться Калькулятором Интегралов, загляните в раздел «Справка» или ознакомьтесь с примерами.

Ну что ж, теперь — вперед! Успешного интегрирования!

Введите функцию, которую вы хотите проинтегрировать в Калькулятор Интегралов. Не вводите «f(x) =» часть и дифференциал «dx«! Калькулятор Интегралов сразу показывает математическое выражение в графическом виде, прямо в процессе ввода. Убедитесь, что это выражение соответствует тому, что Вы хотели ввести. Используйте скобки если понадобится, например «a/(b+c)«.

В разделе «Примеры», приведены некоторые из функций которые Калькулятор Интегралов способен вычислять.

После того как Вы закончили вводить вашу функцию, нажмите «=» и Калькулятор Интегралов выдаст результат.

В разделе «Настройки» переменная интегрирования и пределы интегрирования могут быть установлены/изменены. Если пределы интегрирования не будут указаны, то будет вычислена только лишь первообразная функция.

Щелчок мышки на примере вводит его в Калькулятор Интегралов. Простое наведение мышки — показывает текст выражения.

Настройте параметры калькулятора:

Переменная интегрирования:
Верхний предел (до): +∞
Нижний предел (от): –∞
Использовать только численное интегрирование?
Упрощать выражения интенсивнее?
Упрощать все корни?
(√ x² станет x, а не |x|)
Использовать комплексные числа (ℂ)?
Использовать числа с запятой вместо дробей?

Генератор заданий для тренировки позволяет сгенерировать сколько угодно различных случайных заданий.

Ниже Вы найдете настройки конфигурации и один из предложенных вариантов задания. Вы можете взяться за его решение (тогда оно будет введено в Калькулятор) или сгенерировать новое.

Вычисляем интеграл: Введите Ваш результат:

Следующее выражение будет вычислено:

Загрузка … пожалуйста подождите!
Это займет несколько секунд.

Это не то, что Вы имели ввиду? Используйте скобки! В случае необходимости, выберите переменную и пределы интегрирования в разделе «Настройки«.

Поддержка

Вам помог мой калькулятор? Расскажите своим друзьям об этом Калькуляторе и Вы тоже сможете мне помочь!

Результаты вычислений

Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки«. Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

Как работает Калькулятор Интегралов

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки » Проверка решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

© David Scherfgen 2024 — all rights reserved.

Перевод сайта: Timur Saitov

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *