Что такое сумма чисел
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 456 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
1) $15+17+13$ ; 2) $34+22+16+18$
Решение. По свойствам сложения имеем
Ответ. 1) $15+17+13=45$
При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
1) $1562+13827$ ; 2) $34,71+356,161$
Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:
Ответ. 1) $1562+13827=15389$
Сложение рациональных дробей производится по правилу
Задание. Найти сумму чисел:
Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел
Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим
Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей
Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.
Суммы квадратов, суммы кубов.
Еще в древнем Египте была известна формула для суммы последовательных натуральных чисел: $$ 1+2+\ldots+n=\frac2 $$ (чтобы убедиться в этом, сложите первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т. д.).
Найдите формулу для суммы а) квадратов $1^2+2^2+\ldots+n^2$; б) кубов $1^3+2^3+\ldots+n^3$; в) четвертых степеней $1^4+2^4+\ldots+n^4$.
Подсказка 1
Начните эксперимента: вычислите первые несколько сумм ($1^2+2^2$, $1^2+2^2+3^2$ и т. д. хотя бы до $n=5$). После этого попробуйте найти закономерность.
Подсказка 2
Экспериментальные данные полезно записать в виде таблицы.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| $1^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>$ | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 28 | 35 |
| $1^2+\ldots+n^2$ | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 | 140 |
| $1^3+\ldots+n^3$ | 1 | 9 | 36 | 100 | 225 | 784 | 1225 |
| $1^4+\ldots+n^4$ | 1 | 17 | 98 | 354 | 979 | 2275 | 4676 |
Попробуйте найти связь между числами в (одном столбце, но) разных строках.
Подсказка 3
Если у чисел в двух строках постоянно появляются общие делители (например, 10 и 30 делятся на 10, 15 и 55 на 5, 28 и 91 на 7. ), то полезно изучить отношение этих чисел. Что за последовательности получаются? (Удобно добавить в таблицу соответствующие строки.)
Решение
Как и предлагалось в последнем указании, изучим отношение первых двух строк.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| $1^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>$ | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 |
| $1^2+\ldots+n^2$ | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 | 140 |
| $S_2/S_1$ | 1 | 5/3 | 7/3 | 3 | 11/3 | 13/3 | 5 |
Теперь нетрудно заметить закономерность: с увеличением $n$ на 1 частное увеличивается на $2/3$, т. е. это частное равно $(2n+1)/3$. Вместе с формулой для $1+2+\ldots+n$ это дает (гипотетический) ответ $$ 1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac2\cdot\frac3=\frac6. $$
С суммами кубов дело обстоит даже проще, чем с квадаратами — глядя на таблицу естественно предположить, что $S_3=S_1^2$, т. е. $$ 1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac4. $$
Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11. Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $S_2$ | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 |
| $S_4$ | 1 | 17 | 98 | 354 | 979 | 2275 |
| $S_4/S_2$ | 1 | 17/5 | 7 | 59/5 | 89/5 | 25 |
Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125. Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна. Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30. — закономерность сразу видна!
Итак, стало понятно, какие должны быть ответы, но как их доказать?
Задумаемся над тем, что вообще значит, что какое-то выражение $P(n)$ дает формулу для суммы $1^2+\ldots+n^2$? Это значит, что $P(1)=1$, $P(2)=P(1)+2^2$ и т. д., $P(n)=P(n-1)+n^2$. То есть все сводится к быть может утомительному, но прямолинейному вычислению: $$\begin \frac6+n^2&=&\frac6=\\ &=&\frac6=\frac6. \end$$ Аналогичным образом (говоря формально, «по индукции») можно доказать найденные выше формулы для $S_3(n)$ и $S_4(n)$.
Послесловие
Видимо наиболее наглядный способ вычислить сумму $1+2+\ldots+n$ — геометрический: об этой сумме можно думать как о треугольном числе, т. е. площади «пиксельного» (составленного из единичных квадратиков) равнобедренного прямоугольного «треугольника» со стороной $n$. Из двух таких треугольников легко составить прямоугольник размера $n\times(n+1)$, откуда и получается ответ $n(n+1)/2$ (половина площади прямоугольника).
Подобным образом можно вычислить и сумму $1^2+2^2+\ldots+n^2$: ее можно проинтерпретировать как объем пирамиды из кубиков (нижний слой которой состоит из $n^2$ кубиков, следующий из $(n-1)^2$ кубиков и т. д.), после чего сложить из 6 таких пирамид параллелепипед $n\times(n+1)\times(2n+1)$. Как это сделать, можно посмотреть на сайте «Математические этюды».
Есть геометрические доказательства и у позволяющего вычислить сумму кубов замечательного равенства $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2$. Одно из них можно посмотреть на youtube-канале Think Twice, см. также подборку «доказательств без слов» в Кванте №11 за 2017 год.
Заметим, однако, что формула для суммы четвертых степеней не раскладывается (в отличие от предыдущих) на простые линейные множители. Видимо из-за этого ее не получается найти методами геометрического суммирования и открыта она была примерно на 1 000 лет позже, чем формула для суммы кубов (известная уже в античности).
Чтобы продвинуться дальше, полезно задуматься, что мы вообще надеемся увидеть в качестве ответа. Не любое алгебраическое выражение можно разложить на достаточно простые множители, но всегда можно, наоборот, раскрыть все скобки и привести подобные. В изученных нами случаях получаются следующие многочлены от $n$: $$\begin 1^<\phantom1>+2^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>&=&\frac12n^2+\frac12n;\\ 1^2+2^2+\ldots+n^2&=&\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n;\\ 1^3+2^3+\ldots+n^3&=&\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2;\\ 1^4+2^4+\ldots+n^4&=&\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3-\frac1n.\\ \end$$ Практически сразу возникает гипотеза, что вообще для любого $k$ сумма $1^k+2^k+\ldots+n^k$ равна многочлену от $n$, который начинается с $\frac1n^$ (в этом выражении изучавшие анализ сразу узнают первообразную того, что мы суммируем), дальше идет $\frac12n^k$ и члены еще меньших степеней.
С алгебраической точки зрения это очень естественный переход — но самого языка алгебры, «выражений с буквами» и преобразования таких выражений, не существовало до работ Франсуа Виета (конца 16 века)! А до появления такого языка гипотезу выше практически невозможно не то что доказать — сформулировать.
В первой половине 17 века Иоганн Фаульхабер смог найти формулы для сумм $1^k+2^k+\ldots+n^k$ до $k=17$ (интересную попытку реконструкции рассуждений Фаульхабера опубликовал Дональд Кнут). Вот несколько из таких формул: $$\begin S_2(n)&=&\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n;\\ S_3(n)&=&\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2;\\ S_4(n)&=&\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3&-&\frac1n;\\ S_5(n)&=&\frac16n^6+\frac12n^5+\frac5n^4&-&\frac1n^2;\\ S_6(n)&=&\frac17n^7+\frac12n^6+\frac12n^5&-&\frac16n^3&+&\frac1n;\\ S_7(n)&=&\frac18n^8+\frac12n^7+\frac7n^6&-&\frac7n^4&+&\frac1n^2. \end$$ Коэффициенты при $n^$ и при $n^k$ обсуждались выше. Подумав некоторое время вы наверняка угадаете формулу для коэффициентов при $n^$ и $n^$, а быть может, и для коэффициента при $n^$.
фрагмент «Ars Conjectandi» Я. Бернулли
Возникает надежда на общую (работающую для произвольного $k$) формулу для $S_k(n)$. И такую формулу нашел в конце 17 века Якоб Бернулли. В нее входит последовательность так называемых чисел Бернулли ($B^0=1$, $B^1=1/2$, $B^2=1/6$. ), а саму формулу можно записать символически очень коротко: $$ S_k(n)=\frac-B^>. $$ Понимать эту запись следует следующим образом. Нужно раскрыть формально в выражении $(n+B)^$ скобки, после чего начать воспринимать $B^m$ не как степень переменной $B$, а как $m$-е число Бернулли. Например: $$\begin S_2(n)&=&\frac3=\\ &=&\frac3= \frac13\left(n^3+\frac32n^2+\frac36n\right). \end$$ Если поверить в эту (крайне странную, на первый взгляд) процедуру, то будет ясно и как вычислять числа Бернулли: при подстановке $n=1$ получается равенство $1=\frac<(1+B)^-B^>$, позволяющее найти $B^k$, если числа Бернулли с меньшими номерами уже известны. В таблице ниже приведены несколько первых чисел Бернулли.
Замечательным образом те же самые числа Бернулли возникают и в квадратурных формулах для вычисления приближенных значений интегралов, и при вычислении бесконечных сумм типа $1+\frac14+\frac19+\frac1+\ldots=\frac<\pi^2>6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии.
Литература
- Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm https://mathedu.ru/text/poya_matematika_i_pravdopodobnye_rassuzhdeniya_1975
Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу . Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги. - Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное). - В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, 22–25
http://kvant.mccme.ru/1973/05/summy_odinakovyh_stepenej_natu.htm
Можно прочитать доказательство формулы для суммы степеней (из конца послесловия), использующее, по сути, только бином Ньютона. - Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Матем. просв., сер. 3, вып. 21 (2017), 104–118.
https://mccme.ru/free-books/matpros_21.html
Можно прочитать больше о разных взглядах на задачу о суммировании степеней. - Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика (М.: Мир, 1998)
В учебнике, написанном по лекциям знаменитого Дональда Кнута, обсуждается и задача о суммировании степеней и числа Бернулли.
Из чего состоит сумма
Часовой пояс: UTC + 3 часа
Из чего состоит сумма для элемента затрат в CK13N
| Страница 1 из 1 | [ 1 сообщение ] |
Заголовок сообщения: Из чего состоит сумма для элемента затрат в CK13N
Добавлено: Ср, апр 14 2021, 15:37
| Начинающий |
Как узнать, из чего сложились эти суммы для материала в элементах затрат в тр CK13N
Где можно посмотреть подробно, из каких сумм для элемента затрат
| Страница 1 из 1 | [ 1 сообщение ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Русская поддержка phpBB
SAP форум.RU © 2000-. Михаил Вершков
Логотип © 2006 Андрей Горшков
Из чего состоит сумма
Просмотров: 40846
Комментарии
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 14.05.2020, 19:29
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 24.10.2021, 14:09
ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Admin 24.10.2021, 22:10
Anonymous: ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Admin: произведение — результат умножения
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 03.03.2022, 15:13
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 31.03.2022, 13:48
Anonymous: Вы дураки!?
Они как бы правы, а вот ты дурак оскорблять сайт каторый сделал всё правельно
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 31.03.2022, 13:48
Anonymous: ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
там всё написано
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 23.01.2023, 21:52
Слагаемое+ слагаемое = слаженное
Суммируемое + суммируемое = сумма
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 24.01.2023, 06:28
Спасибо , я пипец как это забыла
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 28.01.2023, 10:08
Re: Что такое разность, произведение, сумма, частное?
Anonymous 29.01.2023, 18:07
Anonymous: Вы дураки!?
Ответов: 3 • Страница 1 из 1
Быстрые ссылки
Мои реквизиты
R426443544810
Z120914141775
E305902557268
41001660518076
4276 3801 1317 5751
Copyright 2005- 2024 Likbezz.ru — All rights reserved. 16+
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Pg.t: 0.025s | Db.q: 18 | Gz: Off | Mu.m: 3.05 МБ