Где находится пи на окружности

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac\) . \(\frac\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac\) . Для этого дробь \(\frac\) переведем в смешанный вид \(\frac\) \(=1\) \(\frac\) , т.е. \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac\) .

Обозначаем числа \(\frac\), \(\frac\), \(\frac\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac\) , \(\frac\) и \(\frac\) .
\(\frac\) – это половина от \(\frac\) (то есть, \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac\) – это половина четверти окружности.

\(\frac\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac\) – это треть от полукруга.

\(\frac\) – это половина \(\frac\) (ведь \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac\) – это половина от расстояния \(\frac\) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac\) ,\(π\), \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)

Обозначим на окружности точку \(\frac\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac\) .

Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-π-\) \(\frac\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac\) .

Нанесем точку \(\frac\) , для этого преобразуем \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=2π-\) \(\frac\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac\) .

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac\) ,\(\frac\), \(-\frac\), \(-\frac\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=3π+\) \(\frac\) \(=2π+π+\) \(\frac\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac\) . Вновь преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=5π+\) \(\frac\) \(=4π+π+\) \(\frac\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) – и мы найдем место точки \(\frac\) .

Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(= -\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-10π-\) \(\frac\) . Значит, место \(-\) \(\frac\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac\) .

Обозначим \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=-5π+\) \(\frac\) \(=-4π-π+\) \(\frac\) . Для обозначение \(-\) \(\frac\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac\) .

Где на окружности находится -2пи и -пи?

2пи — полный оборот (360 градусов дуга) пи — пол оборота -180 градусов дуги.

Дикий ЁЖПросветленный (37506) 6 лет назад

i believe i can fly Ученик (233) спасибо)

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Точки на числовой окружности

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик поймёт тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности. Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O:

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O. За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B:

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C. Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B. Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B. В результате попадём в точку D, которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M. Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM? Правильно, вдвое меньше дуги OC. То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N, P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N, как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L, так что точка S будет лежать между точками O и L, то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

Мы знаем, где на числовой прямой находится точка L, соответствующая числу . Мы также знаем приблизительное значение числа . Тогда, очевидно, число чуть больше 1. Следовательно, точка, которая соответствует числу 1, расположена на числовой окружности чуть ближе к точке O, чем точка L:

Отмеченной точке, как мы уже знаем, соответствуют также числа .

Таким образом, на сегодняшнем уроке мы усвоили, что каждому числу соответствует какая-то точка на числовой окружности, но каждой точке числовой окружности соответствует бесконечное множество чисел. Запомните это, чтобы не путаться в дальнейшем при изучении тригонометрии.

Надеюсь, вы усвоили этот урок. Чтобы убедиться в этом, выполните самостоятельно следующие упражнения. Возникшие вопросы обсудим с вами в комментариях:

• Выделите на числовой окружности дугу, все точки которой удовлетворяют условию:

• Как расположены точки на числовой окружности, соответствующие числам:

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

\((\) \(\frac\) \(;2π)\) — четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой?
Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство \(π\) , то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac\) .
Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac\) , но и углы от \(2π\) до \(\frac\) , и от \(4π\) до \(\frac\) , и от \(6π\) до \(\frac\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

\((0;-\) \(\frac\) \()\) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.