Докажите что число является рациональным
Перейти к содержимому

Докажите что число является рациональным

  • автор:

Что такое Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

m/n

Это число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

  • 1,15 — рациональное число т. к. его можно представить как 115/100;
  • 0,5 — рациональное число т. к. это 1/2;
  • 0 — рациональное число т. к. это 0/1;
  • 3 — рациональное число т. к. это 3/1;
  • 1 — рациональное число т. к. это 1/1;
  • 0,33333. — рациональное число т. к. это 1/3;
  • –5,4 — рациональное число т. к. это –54/10 = –27/5.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово «рациональный» произошло от латыни «ratio», которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Свойства рациональных чисел

Допустим а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительные и сочетательные законы

а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;

а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;

а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2

a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2

а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1

а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0

а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

+ b) × с = ас + bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4

b) × с = ас bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

  • число Пи = 3,14159. его можно записать как 22/7, но это будет лишь приблизительно и далеко не точно ( 22/7 = 3,142857..);
  • √2 и √99 — иррациональные, т. к. их невозможно записать дробью (корни часто иррациональные, но не всегда);
  • e (число) = 2,72 — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью;
  • золотое сечение φ=1,618. — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр («у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках»), поэтому нуль не входит в натуральные числа.

Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

3,4 = 3,4;

2,19 = 2,19;

0,561 = 0,561.

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159. ) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

  • √2 = 1,414214. — иррациональное;
  • √3 = 1,732050. — иррациональное;
  • ∛7 = 1,912931. — иррациональное;
  • √4 = 2 — рациональное (2 = 2/1);
  • √9 = 3 — рациональное (3 = 3/1).

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Дата обновления 03/09/2020.

Рациональные числа, понятие и примеры.

Рациональные числа вы с ними уже знакомы, осталось только обобщить и сформулировать правила. Так какие числа называются рациональными числами? Рассмотрим подробно в этой теме урока.

Понятие рациональных чисел.

Определение:
Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac\), где m – целое число, а n – натуральное число.

Другими словами, можно сказать:

Рациональные числа – это все натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Разберем каждый пункт подробно.

  1. Любое натуральное число можно представить в виде дроби, например, число 5=\(\frac\).
  2. Любое целое число можно представить в виде дроби, например, числа 4, 0 и -2. Получаем 4=\(\frac\), 0=\(\frac\) и -2=\(\frac\).
  3. Обыкновенные дроби уже записаны в рациональном виде, например, \(\frac\) и \(\frac\).
  4. Бесконечные периодические дроби, например, 0,8(3)=\(\frac\).
  5. Конечные десятичные дроби, например, 0,5=\(\frac=\frac\).

Множество рациональных чисел.

Вспомним, что множество натуральны чисел обозначается латинской буквой N.
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
А множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел в этом и заключается смысл рациональных чисел.

На рисунке можно показать множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел

Но не все числа являются рациональными. Бывают еще множества различных чисел, которые в дальнейшем вы будите изучать.
Бесконечные непрериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел.
Например, число е, \(\sqrt\) или число \(\pi\) (читается число пи) не являются рациональными числами.

Вопросы по теме «Рациональные числа»:
Какое выражение является рациональным числом из чисел \(\sqrt, -0.(3), 15, \frac, \sqrt\) ?
Ответ:
Корень из 5 это выражение нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому это число не рациональное.
Бесконечная десятичная периодическая дробь -0,(3)=\(-\frac\) можно представить в виде дроби, поэтому это рациональное число.
Число 15 можно представить в виде дроби \(\frac\), поэтому это рациональное число.
Дробь \(\frac\) это рациональное число.
Корень из 6 это выражение нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому это число не рациональное.

Записать число 1 в виде рационального числа?
Ответ: чтобы записать в виде рационального число 1 нужно представить его в виде дроби 1=\(\frac\).

Докажите, что число \(\sqrt\) является рациональным?
Доказательство: \(\sqrt=0,07\)

Является ли простое число под корнем рациональным числом?
Ответ: нет. Например, любое простое число под корнем 2, 3, 5, 7, 11, 13, … не выносится из под корня и его нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому не является рациональным числом.

Рациональные числа: определение, свойства и примеры

Повторяем азы школьной математики и учимся применять их в коде на Python.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Лев Сергеев

Лев Сергеев
Программист, музыкант. Знает Java, C# и Unity3D, но не собирается останавливаться на достигнутом.

Миром правят числа! Так однажды сказал Пифагор, и у нас нет оснований с ним спорить. Вопрос лишь в том, что это за числа. Например, натуральными числами вы никогда не опишете отрицательный баланс на карточке или, скажем, точный показатель скорости света. Здесь нужна артиллерия помощнее — то есть рациональные числа.

Сегодня мы узнаем, что это за числа такие, зачем они нужны и как появились. Статья будет полезна не только студентам, штудирующим базу перед экзаменами, но и новичкам в IT — в конце мы посмотрим, как работать с рациональными числами на языке Python.

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое рациональные числа;
  • чем они отличаются от остальных;
  • какие у них есть свойства;
  • как работать с рациональными числами в Python;
  • резюме: что нужно запомнить.

Что такое рациональные числа

Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где числитель m — это целое число, а знаменатель n — натуральное. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Например, число 0,5 можно представить как дробь 5/10 или ½, а значит, оно является рациональным. Математически это записывается как 0,5 ∈ Q.

Любое целое число тоже можно считать рациональным — ведь мы можем представить его в виде дроби. Например, число 5 можно записать как 5/1. Технически это будет неотличимо от деления 5 на 1, в результате которого получится та же самая пятёрка.

Ноль также относится к рациональным числам, потому что его мы тоже можем представить в виде дроби. Так как на ноль делить крайне не рекомендуется, знаменатель у ноля тоже не может быть меньше единицы. Проиллюстрировать это можно на примере пиццы: сначала у нас было 7 из 8 кусков, то есть дробь 7/8, а когда всё съели — стало 0/8:

Бесконечные периодические дроби также относятся к рациональным числам. Например, если мы возьмём дробь 1/7 и попытаемся перевести её в обычный вид — то есть разделим 1 на 7, — то получим 0,14285714285714… Последовательность после запятой (период) 142857 будет повторяться до бесконечности, но при обратной операции мы снова получим дробь 1/7, а значит, это также относится к рациональному множеству.

Если после запятой у дроби нет никакой повторяющейся последовательности, то число уже называется иррациональным. Например √2 = 1,41421356237… Ещё один пример — знаменитое число π («пи») — 3,1415926535…

Примеры рациональных чисел:

  • Целое положительное натуральное число 1 — это 1/1.
  • Целое число 0 — это 0/1.
  • Целое отрицательное число −5 — это −5/1.
  • Десятичная дробь 0,25 — это 25/100.
  • Отрицательная десятичная дробь −0,75 — это −75/100.
  • Смешанное число 3,25 — это 13/4.
  • Бесконечная периодическая дробь 0,333… — это 1/3.

Чем рациональные числа отличаются от остальных

Чтобы лучше разобраться в специфике рациональных чисел — краткий ликбез по математическим множествам.

Начнём с натуральных чисел. К ним относятся все положительные числа: от 1 до бесконечности — ноль в этот список не входит. Натуральные числа мы используем, чтобы посчитать что-то материальное: одна монета, два фломастера, пять машин. Этот вид чисел — самый древний, его использовали для расчётов ещё первобытные племена.

Целые числа — все натуральные числа, противоположные им (то есть отрицательные), а также ноль. Считается, что такие числа впервые стали использовать в Древнем Китае и Древней Индии для математического обозначения долга.

Следующее множество — рациональные числа. Это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические. Периодические — это такие дроби, где одна или группа цифр после запятой повторяются, например 0,161616… Если этого повтора нет, то число уже зовётся иррациональным.

Иррациональные и рациональные числа, в свою очередь, образуют новое множество — вещественные числа. Визуально это можно представить так:

Свойства рациональных чисел

Как и у любых других объектов в математике, у рациональных чисел есть свои свойства. Во всех примерах ниже a, b и c являются рациональными числами.

Свойства сложения

1️⃣ Переместительное свойство. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:

2️⃣ Сочетательное свойство. Чтобы к рациональному числу прибавить сумму двух чисел, нужно к первому числу прибавить и первое, и второе число:

3️⃣ Ноль — нейтральный элемент. Сложение нуля с рациональным числом не изменит это число:

4️⃣ Наличие противоположного числа. У каждого рационального числа есть противоположное, а при их сложении мы получим 0:

Чтобы лучше запомнить эти свойства, сохраните себе такую шпаргалку:

Свойства умножения с положительными множителями

Здесь всё практически идентично.

1️⃣ Переместительное свойство. От перемены мест множителей произведение не меняется:

2️⃣ Сочетательное свойство. Чтобы умножить рациональное число на произведение двух чисел, нужно первое число умножить сначала на первый, а потом на второй множитель:

3️⃣ Свойство умножения на 1. При умножении рационального числа на 1 мы получим то же число:

4️⃣ Свойство умножения на 0. При умножении рационального числа на 0 мы получим 0:

5️⃣ Свойство умножения на дробь. При умножении рационального числа на дробь, в числителе которой 1, а в знаменателе это же рациональное число, получится 1:

6️⃣ Распределительное свойство. При умножении суммы на рациональное число, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно, а потом эти значения сложить. Это же правило работает и с вычитанием:

Свойства умножения с отрицательными множителями

1️⃣Умножение чисел с разными знаками. Если есть хотя бы один отрицательный множитель, то всё произведение будет отрицательным (плюс на минус даёт минус, и минус на плюс даёт минус):

2️⃣Умножение отрицательных чисел: если мы умножаем оба отрицательных множителя, то произведение получится положительным (минус на минус даёт плюс):

Свойства вычитания и деления

Свойства вычитания рациональных чисел можно описать по аналогии со свойствами сложения, главное — не запутаться с минусом. Например, a − b = −b + a:

А свойства деления рациональных чисел обратны свойствам умножения:

Рациональные числа в Python

Рассмотрим примеры рациональных чисел и их свойств на языке Python. В питоне есть специальный модуль fractions, который позволяет нам работать с рациональными числами, а в нём класс Fraction, являющийся реализацией дробного значения.

Ну что ж, за дело. Для начала импортируем класс Fraction из модуля fractions, чтобы мы могли им пользоваться:

from fractions import Fraction

Теперь разберём, как работает этот класс. При создании объекта Fraction в конструктор можно передать:

  • два значения, где первое — это числитель, а второе — знаменатель (переменная a);
  • дробное значение в виде строки (переменная b);
  • вещественное значение (переменная c);
  • другой Fraction, так как Fraction и является реализацией рационального дробного значения (переменная d).
a = Fraction(1, 2) b = Fraction('1/2') c = Fraction(0.5) d = Fraction(a) print(a, b, c, d) print(float(a), float(b), float(c), float(d)) 1/2 1/2 1/2 1/2 0.5 0.5 0.5 0.5

Видно, что значение переменных Fraction при выводе показывает дробный вид рационального числа 0,5, а во второй строке вывода при приведении значения ½ к float, получим его вещественное представление .

Поменяем значения переменных и пройдёмся по свойствам рациональных чисел, взяв отрицательную дробь -¾, дробь ⅔ (с бесконечным периодом) и целое число 10:

a = Fraction(-3, 4) b = Fraction(2, 3) c = Fraction(10)

Возьмём сочетательное свойство сложения и применим формулу (a + b) + c = a + (b + c), дабы убедиться, что значения будут равны, а также приведём вид дробей к float:

print((a + b) + c, '=', a + (b + c)) print(float((a + b) + c), '=', float(a + (b + c))) 119/12 = 119/12 9.916666666666666 = 9.916666666666666

Как можно заметить, значения одинаковые, а при выводе в вещественном виде у нас получается число с бесконечным периодом 6. А как мы уже говорили выше, такие числа также относятся к рациональным.

Проделаем ту же операцию по формуле распределительного свойства умножения:

print((a + b) * c, '=', a * c + b * c) print(float((a + b) * c), '=', float(a * c + b * c)) -5/6 = -5/6 -0.8333333333333334 = -0.8333333333333334

Значения получились равные, но можно заметить, что при приведении к вещественному виду период рационального числа нарушается — 3 в конце заменяется на 4. Это происходит в силу особенностей вычислений в языке Python. Если мы на листе бумаги разделим 5 на 6, то получим 0,8333…, где 3 будет повторяться до бесконечности.

И напоследок разберём случай с делением рациональных чисел с использованием переместительного свойства. Для начала разделим a на b. Теперь поменяем операнды местами и посмотрим, что получится. Для этого умножаем a на дробь 1/b, подставив в качестве второго операнда класс Fraction, который и реализует эту дробь. Вуаля:

print(a / b, '=', a * Fraction(1, b)) print(float(a / b), '=', float(a * Fraction(1, b))) -9/8 = -9/8 -1.125 = -1.125

Резюме: повторим изученное

Из этой статьи мы узнали, что такое рациональные числа, чем они отличаются от других видов чисел и какие у них есть свойства. Давайте пройдёмся по основным моментам, дабы закрепить знания.

  • Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное.
  • Рациональные числа — это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические.
  • Бесконечные периодические дроби — это такие дроби, где есть повторяющаяся последовательность после запятой. Например, 1,16161616… Если дробь бесконечная, а такой последовательности нет, число называется иррациональным.
  • У рациональных чисел есть математические свойства: переместительное, сочетательное, распределительное и так далее.
  • С рациональными числами можно проводить любые математические операции, такие как сложение, вычитание, деление, умножение и другие.

Больше интересного про код — в нашем телеграм-канале. Подписывайтесь!

Читайте также:

Рациональные числа

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

  • целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
  • обыкновенные дроби (например , , и т.п.)
  • смешанные числа (например , , и т.п.)
  • десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
  • бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

координатная прямая рисунок 1

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

одна вторая на координатной прямой

Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

координатная прямая от нуля до единицы

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и равна 0,5

А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

четыре восьмых на координатной прямой

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

три вторых на координатной прямой

Значение дроби равно 1,5

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

координатная прямая от единицы до двух

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

координатная прямая от нуля до одной десятой до двух десятых

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

координатная прямая от нуля до нуля одной десятой

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

одна пятидесятая на координатной прямой

Значение дроби равно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число

одна пятидесятая на координатной прямой от 0 до 0,1

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

ноль целых и три в периоде на координатной прямой

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

две целых и одна вторая на координатной прямой

это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь

пять вторых на координатной прямой

Значение дроби равно 2,5

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Пять вторых на координатной прямой от двух до трех

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями и и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

минус одна вторая и одна вторая на координатной прямой

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Мы получили дробь , а должны были получить дробь .

Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:

минус две целых одна вторая

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

правильный перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так

две целых и одна вторая на координатной прямой

то отрицательное смешанное число будет располагаться в левой части симметрично относительное начала координат

Минус две целых одна вторая и две целых и одна вторая на координатной прямой

И если читается как «две целых и одна вторая», то читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число в развёрнутом виде записывается как .

А отрицательное смешанное число записывается как

Теперь мы можем понять, почему смешанное число расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

минус два на координатной прямой

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на шага. А поскольку значение равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

минус два и минус одна вторая на координатной прямой

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

минус две целых и минус одна вторая на координатной прямой

Пример 2. Выделить в неправильной дроби целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби целую часть

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь решение со скобками

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

18 thoughts on “Рациональные числа”

Всеволод :

Было бы лучше, чтоб после каждого шага было много задач. Так как без задач, не возможно закрепление и запоминание темы. Только ни в коем случае «один вопрос и пять вариантов ответа». Человек решая, должен быть уверен, что правильно решил задачу.

Брончик :

К каждому шагу дано более одного примера. Вы можете, прочитав условие, самостоятельно попытаться решить примеры.

Максим :

С большим удовольствием прошёлся по материалу и освежил знания. Жаль нет продолжения. Очень всё доходчиво, спасибо.

Здравствуйте admin! С большим удовольствием повторил математику, скажите пожалуйста какие дальше темы?Очень нужно экспрессом к вышке добраться

Спасибо за сайт с удовольствием изучаю то что пропустил многие годы назад. Но хотелось бы узнать профессию автора и квалификацию и о том дойдет ли админ до разделов высшей математики.

По вашим статьям надо учебники писать. Если бы в у нас в книгах все так понятно писали все бы были отличниками.

Здравствуйте мы продолжаем учится товарищ ленин сказал учиться не поздно а ещё желаю увидеть вышие матиматику в адресе

Very cool site .
Дорабатывать и перерабатывать .
Добавлять примеры . Возможно даже из курса Сканави для школы и тд .
Тогда нужно это преобразовать в различные уровни .
Всего 14 дней объяснений и можно первые 3 класса
пропустить в школе .
Very cool site .

Огромное вам спасибо!
Алексей :

Жаль не понимаю почему если в калькуляторе разделить — 27÷5 то выходит — 5,4 а значит — 5 4/5 а значить ошибка. Тежело понят пока ((

5,4 это десятичная дробь, если ее перевести в обычную, то будет 5 4\10 = 5 2\5, а не 5 4\5
5,4 это означает 5 целое четыре десятых. А если сократить, то получится 5 целое две пятых
Алексей :

Потому что 5,4 это (пять целых четыре десятых), а вы записали (пять целых четыре пятых), пятых не бывает, есть десятые, сотые. Хотя если фантазия есть, тогда по логике можно представить результат деления 27:5 как 5 2/5 (пять целых две пятых)

Хорошо бы отметить ещё тот нюанс, что при сравнении смешанных чисел удобно поменять тот же приём что и при сравнении десятичных дробей, о котором вы пишите. Просто смотрим целую часть смешанной дроби по ней делаем сравнение. Если же целые части дробей равны, то вывод о сравнении смешанных дробей можно сделать по сравнению дробных частей. Перевод в неправильную дробь для сравнения может и имеет право на жизнь для методического понимания, но технически излишен для сравнения смешанных дробей. Кроме того, сравнение описаным обычным способом также дает некоторое понимание сути смешанных дробей.

Автор — умница!
Юличка :

Спасибо огромное! Всё очень понятно! Вот если бы по вашему сайту писали учебники, все знали бы математику на 5. Спасибо огромное.

Казбек :

Почему знаменатель рационального числа может быть только натуральным числом? А целые отрицательные числа, а дробные? Нулём быть не может, это понятно.

Добавить комментарий Отменить ответ

© 2015-2024 Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих.
Копирование материалов и размещение их на других ресурсах строго запрещено.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *