Верно ли что всякий равносторонний треугольник является равнобедренным
Определение 7. Равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны.
Две равные стороны называют боковыми, третью – основанием.
Определение 8.Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.
Теорема 18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.
Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника. Углы А и С равны, также высота делит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры.
Также эту теорему можно сформулировать так:
Теорема 18.1. Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, высотой и осью симметрии основания.
Теорема 18.2. Биссектриса равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является высотой, медианой и осью симметрии основания.
Теорема 18.3. Ось симметрии равнобедренного треугольника одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и высотой.
Доказательство этих следствий тоже следует из равенства треугольников, на которые делится равнобедренный треугольник.
Теорема 19. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника, значит соответственные углы равны, т.е. ∠ А= ∠ С
Признаки равнобедренного треугольника идут из теоремы 1 и его следствий и теоремы 2.
Теорема 20. Если две из указанных четырех линий (высота, медиана, биссектриса, ось симметрии) совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии).
Теорема 21. Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т.е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
Теорема 22. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).
Теорема 23. Если две из указанных четырех точек совпадут, то треугольник будет равносторонним и, как следствие, совпадут все четыре названные точки.
Действительно, такой треугольник окажется, по предыдущему, равнобедренным по отношению к любой паре сторон, т.е. равносторонним. Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником. Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами
Рассмотрим эту формулу для равностороннего треугольника, тогда угол альфа будет равен 60 градусов. Тогда формула изменит свой вид на такую:
Теорема d1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC — равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL — его медианы. Тогда треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, стороны AL и BK равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB равны. Но AK и LB — медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.
Теорема d2. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC — равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL — его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB — биссектрисы треугольника ABC — равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC — равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL — его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.
Чем отличается равнобедренный треугольник от равностороннего?
У равнобедренного равны не менее двух сторон, а у равностороннего равны все три стороны между собой. Так что любой равносторонний автоматически является равнобедренным, но не любой равнобедренный будет равносторонним.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Ninaa rc [511K]
8 лет назад
Всякий треугольник, имеющий две равные по длине стороны, называется равнобедренным. В таких треугольниках равные стороны называются боковыми, а третью именуют основанием.
Если в треугольнике равны все три стороны, то такой треугольник называют равносторонним. Причем равносторонний треугольник считается частным видом равнобедренного.
Кстати, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны 60°, а в сумме они составляют 180°. Кроме того, в таком треугольнике совпадают такие точки, как центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей, а также ортоцентр (точка пересечения высот).
Свойства равностороннего треугольника
Если три стороны треугольника имеют одинаковую длину, то треугольник является равносторонним.
Свойства равностороннего треугольника (правильного треугольника)
Рассмотрим признаки равностороннего треугольника:
- 1) все стороны равны;
- 2) углы каждого равностороннего треугольника равны \(60°\) ;
- 3) каждая высота также является медианой и биссектрисой и они равны между собой;
- 4) каждая медиана является также высотой и биссектрисой;
- 5) каждая биссектриса является высотой и медианой;
- 6) точка пересечения высот, биссектрис и медиан разделяется в отношении 2:1;
- 7) площадь равностороннего треугольника:
- 8) высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника равны:
- 9) Радиус описанной окружности \(R\) :
\(\frac
- 10) Радиус вписанной окружности \(r\) :
где \(a\) — сторона треугольника.
Часто задаваемые вопросы:
↪ Да, каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним.
↪ Да, можно. Начертите отрезок, затем с каждого его конца опишите дугу радиусом, равным длине этого отрезка, так чтобы они пересекались. Точка пересечения дуг будет третьей вершиной равностороннего треугольника.
- Свойства равностороннего треугольника (правильного треугольника)
- Часто задаваемые вопросы:
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
Репетиторы
Репетитор по математике- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализация
- Репетитор по алгебре
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
- Английский язык для начинающих
- Репетитор по грамматике английского языка
- Репетитор по разговорному английскому
- Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
Предметы по класам
- 1 класс
- 2 класс
- 3 класс
- 4 класс
- 5 класс
- 6 класс
- 7 класс
- 8 класс
- 9 класс
- 10 класс
- 11 класс
- Не школьник
Равнобедренный и равносторонний треугольники
Здесь стоит вспомнить взаимосвязь углов и сторон в рамках одного треугольника.
Напомню, что напротив большего угла лежит большая сторона. Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Ну и напротив равных углов будут лежать равные стороны. Также верны и обратные факты.
В том числе поэтому можно сказать, что углы при основании должны быть равны.
Б) Медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, также является биссектрисой и высотой.
Достаточно часто в задачах на равнобедренные треугольники имеет смысл просвети данный особый элемент, поскольку он часто позволяет взглянуть по-другому на ту дополнительную информацию, которую вам дадут в условии задачи. Особенно это касается заданий второй части.
Вообще полезно попробовать самому доказать данное свойство.
Попробуйте рассмотреть два треугольника, которые здесь получились. Объясните, почему они равны. Как это поможет доказать, что проведенный отрезок АН будет не только (например) медианой, но и высотой и биссектрисой.
Поверьте, это хорошее упражнение на понимание геометрии.
2) Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник (правильный) — это треугольник, у которого все стороны равны.
Как и в случае с равнобедренным треугольником, мы можем утверждать, что напротив равных сторон лежат равные углы, а значит все углы в этом треугольнике тоже должны быть равны.
Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, значит каждый из них будет по 60.
К особенностям данного треугольника можно отнести то, что:
— любая медиана будет также являться биссектрисой и высотой
— все интересующие нас (с точки зрения распространенных задач экзамена) точки пересечения и центры вписанной и описанной окружностей будут совпадать.