Найти отношение объемов многогранников на которые плоскость делит пирамиду

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 243 Ларина

а) 1)Соединяем точки Q и P и Q и M (лежат в одной плоскости). Так как Q и P середины, то $$QP\parallel DC$$, тогда построим через М прямую, параллельную DC, пусть она пересекет SC в точке L. То есть $$ML\parallel DC\parallel QP$$, значит QMLP — трапеция

2)Из параллельности ML и DC получаем подобие SML и SDC, тогда, так как DS=CS, то и MD=LC. Так как AD=BC, то их половины QD=PC. $$\angle QDM=\angle PCM$$, тогда треугольники QDM и CPL равны по двум стороным и углу между ними и MQ=PL, то есть тапеция равнобедренная.

б) 1)Разобьем многогранник QDCPLM на четырехугольную пирамиду QDCPM и треугольную MLCP. Пусть объем пирамида SABCD равен V.

2) Если опустить перпендикуляр из точки M к плоскости ABCD, то его длина будет относить к длине перпендикуляра из S к этой плоскости так же, как DM:DS=2:5. При этом площадь QDCP составляет половину от ABCD. Выразим объем QDCPM через V: $$V_=\frac*\fracV=\fracV$$

3) Аналогично рассмотрим пирамиды MLCP и DSCB. Высота первой к высоте второй, опущенный к плоскости SBC будут относиться как SM:SD=3:5. При этом площадь LCP составляет $$\frac$$ от площади SBC, то есть $$\frac$$. Тогда $$V_=\frac*\fracV_=\fracV_$$. Но если рассматривать DSCB как пирамиду с основанием DCB, то очевидно, что $$V_=\fracV$$ и тогда $$V_=\fracV$$

4) В итоге $$V_=\fracV+\fracV=\fracV$$. Тогда оставшаяся часть составим $$V-\fracV=\fracV$$. И отношение частей $$\frac$$

Найти отношение объемов многогранников на которые плоскость делит пирамиду

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD = 8.

26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
Ответ: б) 4

27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Ответ: б) 2/7

28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Ответ: б) 16√6

29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ответ: б) 13/23

30. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA₁=4√2. Точка Q — середина ребра A ₁ B ₁ , а точка P делит ребро B ₁ C ₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C ₁ . Плоскость APQ пересекает ребро CC ₁ в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC ₁ .
б) Найдите расстояние от точки A ₁ до плоскости APQ.

32. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC ₁ =3, а AQ = 4. Плоскость A ₁ PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A ₁ PQ.

33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Ответ: б) √15/5

34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 4√2

35. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB ₁ . Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Ответ: б) 26

36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите соотношение объемов.
Ответ: б) 2/7

37. Основание прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA ₁ B ₁ B и BB ₁ C ₁ C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.
а) Докажите, что треугольник A ₁ C ₁ B – прямоугольный.
б) Найти объем пирамиды AA ₁ C ₁ B.
Ответ: б) 20√14

38. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC ₁ A ₁ является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA ₁ и AB ₁ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA ₁ и AB ₁ , если AC = 4, BC = 7.

39. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA ₁ =3. На ребре B ₁ C ₁ отмечена точка L так, что B ₁ L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и A ₁ C ₁ соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
Ответ: б) 5√3

40. В правильной четырехугольной призме KLMNK ₁ L ₁ M ₁ N ₁ точка E делит боковое ребро KK ₁ в отношении KE:EK ₁ =1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN ₁ в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN ₁ пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK ₁ =4.

43. Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A ₁ P=4.
а) Докажите, что PBDC ₁ — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Ответ: б) √11

44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: б) 3√6

45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 20/3

46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD — диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
Ответ: б) √30

47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Доказать, что угол AHC=90°.
б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.

48. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все рёбра равны 3. На его ребре BB ₁ отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A ₁ B ₁
. б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB ₁ C ₁ C.

ЕГЭ Профиль №14. Объем многогранника

Объем параллелепипеда находится по формуле: \(V = S \cdot H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и \( = + + \) , где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a\,b\,c\) .

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом \(d = a\sqrt 3 \) , \(V = \) , \(>> = 6\,\) , где d – диагональ куба, a – его ребро.

Объем призмы находится по формуле: \(V = S \cdot H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \fracS\,H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.

Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).

Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \fracH\left( + + \sqrt \cdot > \,> \right)\) , где H – высота усеченной пирамиды; \(\) и \(\) – площади ее оснований.

1В. В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при ребрах AD и BC равны, AB = BD = DC = AC = 5.

б) Найдите объём пирамиды, если двугранные углы равны при рёбрах AD и BC равны \(\) .

2В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

3В. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

4В. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

5В. Есть правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

6В. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.

б)* Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Задачи на сравнение объемов

В презентации представлен теоретический материал по теме «Сравнение объемов» и разобрано несколько практических задач.

Скачать:

Вложение	Размер
zadachi_na_sravnenie_obemov.ppt	931 КБ

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на сравнение объемов многогранников. Выполнил: Раздобарин Дмитрий, 11ИМ, лицей «Дубна». Учитель: Рычкова Татьяна Викторовна. 2009г. Дубна

Оглавление. Введение. Теоретический материал. Ключевые задачи на сравнение объемов многогранников. Задачи из ЕГЭ части C4. Литература.

2 . Объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам . 1 . Объемы пирамид с общей высотой пропорциональны площадям их оснований : B C D A K S H L A B C D S S 1 H 2 H 1

3 . Если вершины S и T пирамид SA 1 …A n и TA 1 …A n лежат по одну сторону от плоскости A 1 …A n , то эти пирамиды равновелики тогда и только тогда, когда прямая ST параллельна плоскости A 1 …A n . S T T T A 1 A 4 A 3 A 2

4 . Если тетраэдры SABC и SA 1 B 1 C 1 имеют общий трехгранный угол при вершине S, то 5 . Отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия. S A B C C 1 B 1 A 1 A A 1 D C B D 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 B 3 C 3 D 3 A 3 D 2

Ключевые задачи на сравнение объемов.

Задача 1 . Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка F – середина ребра BC. Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DSF. Решение . Поскольку пирамида и части, на которые она разбивается плоскостью сечения, имеют одинаковую высоту, то отношение объемов частей равно отношению площадей оснований: Диагональ квадрата ABCD делит его на два равных треугольника ABD и BDC, а прямая DF делит треугольник BDC на две равновеликие части (высоты треугольников равны CD, основания тоже равны). Следовательно, квадрат ABCD прямой DF делится на части, отношение которых равно 3:1. A B D C S F

∆ COS подобен ∆ CMF Проведем FM ┴ AC. FM = h. Задача 2 . В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середину бокового ребра SC – точку F – и диагональ основания BD проведено сечение. Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду. Решение. Пусть AB = a, OS = H. B C D A F S O a H M

В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию и пересекающая боковые ребра пирамиды? Решение. Исходная и отсекаемая пирамиды подобны с коэффициентом подобия Следовательно, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Две плоскости, параллельные основанию пирамиды, делят ее на три равновеликие части. В каком отношении эти плоскости делят высоту пирамиды? Два сечения делят фигуру на три подобных фигуры с объемами V, 2V, 3V.

Олимпиадные задачи на сравнение объемов многогранников.

C B A S L K M N Решение. Многогранники, на которые делит тетраэдр плоскость KMN, не поддаются стандартной классификации, поэтому хотя бы один из них, например, M KC NLB , разрежем на части: проведем L C и LM , тогда он окажется составленным из двух пирамид — LMNBC и LMKC . Будем сравнивать их объемы с объемом тетраэдра SABC . В треугольно пирамиде SABC проведена плоскость, параллельная ребрам SA и BC. Эта плоскость пересекает ребро AC в точке M так, что AM : MC = 1 : 2. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 1 . LMNBC LABC (имеют общую высоту , ∆ANM подобен ∆АВС ) . 2 . LABC SАВС (имеют общий трехгранный угол при вершине В, основание АВС, высоту, проведенную из вершины С). 3 . LMKC LA SC SABC. Итак, Ответ: 20 /7 .

P B L A C M N E T K В пирамиде TABC AB : BC = 3 : 5, точка K – середина ребра TA, точка M расположена на ребре AC, AM : MC = 3 : 1. Плоскость проходит через точки K и M параллельно биссектрисе BE треугольника ABC и делит пирамиду на две части. Вычислите отношение их объемов. A E C N B P 3b 5b 3a 2a 3a P B A T K L 1. Многогранник B LNAKM удобно рассматривать как часть тетраэдра PAKM с «отколотым куском» — тетраэдром PBLN. (Тетраэдры имеют общий трехгранный угол при вершине P, значит, надо найти отношения отрезков PL : PK, P B : PA и PN : PM ). 2 . Тетраэдры PAKM и TABC имеют общий трехгранный угол при вершине Р, поэтому нужно знать отношение АК:АТ, АМ:АС и АВ:АР. AE = 3a EC = 5a, AC = 8a. MC = 2a, EM = 3a. следовательно, Далее: тогда В итоге Ответ: 11 /9.

S C B Y X A M L J D N K C X D B M A Y В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Через середину ребер AB, AD и SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду. 1 . Многогранник MNJKLBCD представляет собой часть тетраэдра с отколотыми кусками XJDN и YMBL в форме тетраэдров (Тетраэдры имеют с ним по общему трехгранному углу, нужно вычислить XJ : XK, XD : XC, XN : XY, YL : YK, YB : YC, YM, YX). 2 . Тетраэдр CXKY имеет общий трехгранный угол с тетраэдром CSBD, объем которого равен половину объема пирамиды SABCD ( Нужно вычислить CX : CD, CY : CB, CK : CS). XD : XC = 1:3, CX : CD = 3 : 2, YB : YC = 1 : 3, CY : CB = 3 : 2 Y B T K S L C a 2a YB = a, YC = 3a, BC = 2a, YL : YK = 1 : 2. Аналогично , XJ: XK = 1 : 2. BT = TC = a. Ответ: 1.

Задачи из ЕГЭ части C4.

В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 60°, AC = 14, BC = 8. Боковые грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания, а ребро AD = 4 √ 3 . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке C. Найдите объем второй пирамиды. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 30°, AC = 20, BC = 8/√ 3 . Боковое ребро AD равно 6 √ 3 и перпендикулярно плоскости ABC. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T – основание высоты BT треугольника ABC. Найдите объем второй пирамиды. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . На его боковых ребрах AA 1 и BB 1 лежат точки M и N соответственно так, что AM : MA 1 = 8 : 11, B 1 P : PB = 2 : 1. Во сколько раз объем данного параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной в точке P, основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD 1

Основанием пирамиды является треугольник АВС , в котором АВ = 4, АС =6 и угол АВС =90 ° Ребро AF перпендикулярно АВС и равно 12. Отрезок АL является биссектрисой треугольника FАВ, а отрезок АN является высотой треугольника FАС. Найдите объем пирамиды АLNC. A C B N L F 1 . Заметим, что пирамиды ALNC и ALNF имеют общую высоту из вершины L, поэтому отношение объемов этих пирамид равно отношению их граней ANC и ANF: Отношение площадей треугольников ANC и ANF равно отношению отрезков NC и NF ( высота треугольников из вершины A является общей): Таким образом: Аналогично: Перемножая (1) и (2) получаем: 2. Найдем отношения Так как AL – биссектриса треугольника AFB, то По условию AF = 12, AB = 4 FL = 3BL Так как AN – высота к гипотенузе прямоугольного треугольника AFC, то Воспользовавшись (3) получим: Ответ: 2 ,4√5.

Литература. Туманов С. И. «Поиски решения задач». Зеленский А. С. «Сборник конкурсных задач по математике». Куланин Е. Д., Федин С. Н., Федяев О. И. «Геометрия 10-11 класс». Шарыгин И. Ф., Голубев В. И., «Решение задач. 11 класс». Готман Э. Г., Скопец З. А. «Задача одна – решения разные: Геометрические задачи. Книга для учащихся». Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев «Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений». Погорелов А. В. «Геометрия: учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений». Потоскуев Е. В. Звавич Л. И. «Геометрия 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики». В. И. Мусатов «Сборник задач по геометрии. Стереометрия. Для 10 — 11-х классов ФМШ». Судаков Д. А. «Методическое пособие». Шарыгин И.Ф., Гордин Р. К. «Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений.