Please verify you are a human
Access to this page has been denied because we believe you are using automation tools to browse the website.
This may happen as a result of the following:
- Javascript is disabled or blocked by an extension (ad blockers for example)
- Your browser does not support cookies
Please make sure that Javascript and cookies are enabled on your browser and that you are not blocking them from loading.
Reference ID: #837a9f99-0714-11ef-9e01-12e3ac10a92c
Powered by PerimeterX , Inc.
MATLAB — алгебра
До сих пор мы видели, что все примеры работают как в MATLAB, так и в его GNU, альтернативно называемом Octave. Но для решения основных алгебраических уравнений и MATLAB, и Octave немного отличаются, поэтому мы постараемся охватить MATLAB и Octave в отдельных разделах.
Мы также обсудим факторизацию и упрощение алгебраических выражений.
Решение основных алгебраических уравнений в MATLAB
Функция решения используется для решения алгебраических уравнений. В простейшем виде функция решения принимает в качестве аргумента уравнение, заключенное в кавычки.
Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0
solve('x-5=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как —
y = solve('x-5 = 0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Вы можете даже не включать правую часть уравнения —
solve('x-5')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Если в уравнение входит несколько символов, то по умолчанию MATLAB предполагает, что вы решаете для x, однако функция решения имеет другую форму —
solve(equation, variable)
где вы также можете упомянуть переменную.
Например, давайте решим уравнение v — u — 3t 2 = 0, для v. В этом случае мы должны написать —
solve('v-u-3*t^2=0', 'v')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3*t^2 + u
Решение основных алгебраических уравнений в октаве
Функция корней используется для решения алгебраических уравнений в Octave, и вы можете написать приведенные выше примеры следующим образом:
Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0
roots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как —
y = roots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Решение квадратичных уравнений в MATLAB
Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Он часто используется для решения квадратных уравнений. Функция возвращает корни уравнения в массиве.
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0. Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
The first root is: 3 The second root is: 4
Решение квадратичных уравнений в октаве
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0 в октаве. Создайте файл сценария и введите следующий код —
s = roots([1, -7, 12]); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
The first root is: 4 The second root is: 3
Решение уравнений высшего порядка в MATLAB
Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Например, давайте решим кубическое уравнение как (x-3) 2 (x-7) = 0
solve('(x-3)^2*(x-7)=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3 3 7
В случае уравнений более высокого порядка корни длинные, содержащие много членов. Вы можете получить числовое значение таких корней, преобразовав их в двойные. В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2)); disp('The third root is: '), disp(s(3)); disp('The fourth root is: '), disp(s(4)); % converting the roots to double type disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
The first root is: 6.630396332390718431485053218985 The second root is: 1.0597804633025896291682772499885 The third root is: - 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i The fourth root is: - 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root 1.0598 Numeric value of third root -0.3451 - 1.0778i Numeric value of fourth root -0.3451 + 1.0778i
Обратите внимание, что последние два корня являются комплексными числами.
Решение уравнений высшего порядка в октаве
В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
v = [1, -7, 3, -5, 9]; s = roots(v); % converting the roots to double type disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root -0.34509 + 1.07784i Numeric value of third root -0.34509 - 1.07784i Numeric value of fourth root 1.0598
Решение системы уравнений в MATLAB
Функция решения также может быть использована для генерации решений систем уравнений, включающих более одной переменной. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
Создайте файл сценария и введите следующий код —
s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4'); s.x s.y
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = 22/19 ans = -5/57
Таким же образом вы можете решать большие линейные системы. Рассмотрим следующую систему уравнений —
Решающая система уравнений в октаве
У нас есть немного другой подход к решению системы ‘n’ линейных уравнений с ‘n’ неизвестными. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
Такая система линейных уравнений может быть записана в виде единого матричного уравнения Ax = b, где A — матрица коэффициентов, b — вектор столбцов, содержащий правую часть линейных уравнений, а x — вектор столбцов, представляющий решение как показано в программе ниже —
Создайте файл сценария и введите следующий код —
A = [5, 9; 3, -6]; b = [5;4]; A \ b
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = 1.157895 -0.087719
Таким же образом, вы можете решить большие линейные системы, как указано ниже —
Разложение и сбор уравнений в MATLAB
Функция расширения и сбора расширяет и собирает уравнение соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —
Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x %symbolic variable x syms y %symbolic variable x % expanding equations expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(sin(2*x)) expand(cos(x+y)) % collecting equations collect(x^3 *(x-7)) collect(x^4*(x-3)*(x-5))
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = x^2 + 4*x - 45 ans = x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210 ans = 2*cos(x)*sin(x) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) ans = x^4 - 7*x^3 ans = x^6 - 8*x^5 + 15*x^4
Расширяя и собирая уравнения в октаве
Вам нужно иметь символьный пакет, который обеспечивает расширение и функцию сбора для расширения и сбора уравнения, соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —
Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими, но у Octave другой подход к определению символических переменных. Обратите внимание на использование Sin и Cos , которые также определены в символической упаковке.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
% first of all load the package, make sure its installed. pkg load symbolic % make symbols module available symbols % define symbolic variables x = sym ('x'); y = sym ('y'); z = sym ('z'); % expanding equations expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(Sin(2*x)) expand(Cos(x+y)) % collecting equations collect(x^3 *(x-7), z) collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = -45.0+x^2+(4.0)*x ans = 210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x ans = sin((2.0)*x) ans = cos(y+x) ans = x^(3.0)*(-7.0+x) ans = (-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)
Факторизация и упрощение алгебраических выражений
Факторная функция разлагает выражение, а функция упрощения упрощает выражение. Следующий пример демонстрирует концепцию —
пример
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x syms y factor(x^3 - y^3) factor([x^2-y^2,x^3+y^3]) simplify((x^4-16)/(x^2-4))
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
Матлаб решение системы линейных уравнений – MATLAB
Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.
Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.
В традициях нашего сайта разберём на примере:
Решить систему линейных уравнений:
4*a + b — c = 6
a — b + c = 4
2*a — 3*b — 3*c = 4
Метод обратной матрицы в Matlab
Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.
В итоге у нас получится 2 матрицы:
A=[4 1 -1; 1 -1 1; 2 -3 -3]; % коэффициенты B=[6; 4; 4];
Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:
det(A) Вывод: 30
После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv .
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:
x=inv(A)*B Вывод: 2 -1 1
Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1 . Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.
Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.
Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.
Метод Гаусса
Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) — левое деление.
При следующей записи:
x = A\B Вывод: 2 -1 1
Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.
Метод разложения матрицы
Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.
Возможны следующие разложения:
- разложение Холецкого
- LU разложение
- QR разложение
Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.
Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.
LU разложение
Решим выше предложенную задачу через LU разложение:
[L, U] = lu(A); Вывод: L = 1 0 0 0.25 1 0 0.5 2.8 1 U = 4 1 -1 0 -1.25 1.25 0 0 -5 Затем: y = L\B; x = U\y Вывод: 2 -1 1
QR разложение
И через QR разложение соответственно:
[Q, R] = qr(A); x = R\(Q'*B) Вывод: 2.0000 -1.0000 1.0000
Отметим, что апостроф ( ‘ ) после Q означает транспонирование.
Стандартные функции Matlab
Так же Matlab предлагает функцию linsolve , с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:
x = linsolve(A,B) Вывод: 2 -1 1
Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.
Повторение
Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:
Решить систему линейных уравнений:
6*a — b — c = 0
a — 2*b + 3*d = 0
3*a — 4*b — 4*c = -1
A=[6 -1 -1; 1 -2 3; 3 -4 -4]; B=[0; 0; -1];
- Методом обратной матрицы:
x=inv(A)*B Вывод: 0.0476 0.1810 0.1048
x = A\B Вывод: 0.0476 0.1810 0.1048
[L, U] = lu(A); y = L\B; x = U\y Вывод: 0.0476 0.1810 0.1048
[Q, R] = qr(A); x = R\(Q'*B) Вывод: 0.0476 0.1810 0.1048
На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.
Поделиться ссылкой:
Похожее
3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab
Для решения систем линейных уравнений и связанных с ними матричных операций применяются операторы: сложения (+), вычитания (), умножения (
*), деления справа (/), деления слева (\), возведения в степень (^), транспонирования (), действие которых определяется правилами линейной алгебры.
Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
. (3.61)
Система уравнений (1) в матричной форме представляется следующим образом:
где А – квадратная матрица коэффициентов, размером n n строк и столбцов;
Х – вектор-столбец неизвестных;
В – вектор-столбец правых частей.
Систему уравнений (2) можно решить различными методами. Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невырожденными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.
Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса не пригоден для решения больших систем уравнений.
В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений (2). Для этого применяются следующие операторы
возведение в степень –1;
inv(A)
обращение матрицы А.
Выражения
Х=В’/A’
Х=В’* (А^ 1)’
Х=В’* inv(A’)
Х=A\В
дают решения ряда систем линейных уравнений АХ = В, где А – матрица размером m n, В – матрица размером m к. Более сложные случаи решения систем уравнений (2) с плохо обусловленной матрицей А требуют применения специальных методов решения.
Для решения системы линейных уравнений вида
Ax=b,
где A матрица коэффициентов при неизвестных, x вектор-столбец неизвестных, b вектор-столбец свободных членов, в пакете MATLAB достаточно выполнить следующую команду:
Решить систему 4-х линейных уравнений:
Протокол программы (в скрипт-файле)
a= [1.1161 0.1397 0.1254 0.1490 ;
0.1582 0.1768 1.1675 0.1871 ;
0.1968 1.2168 0.2071 0.2271 ;
0.2368 0.2568 0.2471 1.2671] ;
b= [1.5471 ; 1.6471 ; 1.7471 ; 1.8471] ;
Х4 = а \ b
Рис.1 Скрипт-файл решения СЛАУ с помощью оператора Х=A\В
в окне редактора-отладчика
Эта программа выдает решение заданной системы с помощью четвертого оператора в виде матрицы – столбца
X3 = b’*inv(a’)
1.0406 0.9351 0.9870 0.8813
1.0406 0.9351 0.9870 0.8813
1.0406 0.9351 0.9870 0.8813
Отметим, что сравнение скорости решения системы линейных уравнений с помощью средств матричной алгебры пакета MATLAB и функции Zeidel( ), листинг которой приведен в предыдущем разделе свидетельствует о неоспоримом преимуществе первых.
Данное обстоятельство обусловлено тем, что в пакете MATLAB, который изначально разрабатывался для проведения матричных вычислений, используются специальные быстрые алгоритмы для выполнения арифметических операций с матрицами. Поэтому при решении каких-либо прикладных задач, в ходе которого возникает необходимость решения систем линейных уравнений, целесообразнее использовать встроенные возможности пакета MATLAB.
Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB
Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB
Ранее » Возможности MATLAB ‣ левостороннее деление › x = Ab ‣ обратная матрица › x = inv(A)*b 2/13/2018 2
Небольшие системы уравнений » Небольшая система содержит, как привило, не более трех уравнений » Решение, чаще всего, может не требовать компьютера » Методы ‣ графический ‣ Крамера ‣ исключения неизвестных 2/13/2018 3
Графический метод » 2/13/2018 4
Сложные случаи решений » Три случая 1. 2. 3. Параллельные линии › нет решения Совпадающие линии › множество решений Близкие линии › трудно определить точку пересечения » Системы в 1 и 2 случае называются – вырожденными (особыми, сингулярными) » Случай 3 соответствует плохо обусловленной системе ‣ существуют сложности при численном решении 2/13/2018 5
Метод Крамера » 2/13/2018 6
Метод Крамера » 2/13/2018 7
Исключение неизвестных » 2/13/2018 8
Исключение неизвестных » 2/13/2018 9
Метод Гаусса » 2/13/2018 10
Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 11
Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 12
Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 13
Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 14
Метод Гаусса – Обратный ход » 2/13/2018 15
Пример 2/13/2018 16
Метод Гаусса с обратной подстановкой » В рассмотренном варианте метода Гаусса могут возникнуть ситуации когда решение не может быть найдено или иметь существенную погрешность ‣ например, в случае если главный элемент равен 0, при нормализации возникает деление на 0 ‣ также существенно меньшее значение главного элемента по сравнению с остальными может привести к увеличению погрешности вычислений » Решение – выбор главного элемента ‣ частный › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк ‣ полный (применяется редко) › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк и столбцов 2/13/2018 17
Пример – Частный выбор главного элемента » 2/13/2018 18
Пример – Частный выбор главного элемента Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 -3, 33 1099 4 0, 6667 0, 0000 100 5 0, 66667 0, 30000 10 6 0, 666667 0, 330000 1 7 0, 6666667 0, 3330000 0, 1 Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 0, 333 0, 1 4 0, 6667 0, 3333 0, 01 5 0, 66667 0, 33333 0, 001 6 0, 666667 0, 333333 0, 0001 7 0, 6666667 0, 3333333 0, 0000 » 2/13/2018 19
Пример – MATLAB 2/13/2018 20
Расчет определителя матрицы » 2/13/2018 21
Факторизация матриц » В математике факторизация или факторинг — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект » Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам» ‣ Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна » Виды факторизации матриц ‣ LU ‣ Холецкого ‣ QR 2/13/2018 22
LU факторизация » 2/13/2018 23
LU факторизация » 2/13/2018 24
‣ факторизация › выполняется декомпозиция матрицы А на верхнюю U и нижнюю L треугольные матрицы ‣ подстановка › прямая подстановка определяет промежуточный вектор d › обратная подстановка определяет вектор неизвестных x 2/13/2018 прямая обратная 25 подстановка » Два основных шага решения системы факторизация LU факторизация
Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 26
Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 27
Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 28
Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 29
Пример — Проверка » 2/13/2018 30
Пример — Проверка » 2/13/2018 31
Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 32
Пример » 2/13/2018 33
Пример » 2/13/2018 34
LU факторизация с выбором главного элемента » Аналогично методу Гаусса для обеспечения надежности решения при использовании LU факторизации необходимо применять частный выбор главного элемента ‣ одним из способов является использование матрицы перестановки › единичная матрица для взаимной замены строк и столбцов 2/13/2018 35
LU факторизация с выбором главного элемента » 2/13/2018 36
Пример » 2/13/2018 37
Пример » 2/13/2018 38
LU факторизация – MATLAB функции » lu ‣ [L, U] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U и психологическую нижнюю матрицу L (то есть произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что A=L*U ‣ [L, U, P] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и сопряженную (эрмитову) матрицу матрицы перестановок P, так что L*U =P*A 2/13/2018 39
Пример 2/13/2018 40
Факторизация Холецкого » 2/13/2018 41
Пример » 2/13/2018 42
Пример » 2/13/2018 43
Факторизация Холецкого » 2/13/2018 44
Факторизация Холецкого – MATLAB функции » chol ‣ U = chol(A) – для квадратной матрицы A возвращает верхнюю треугольную матрицу U, так что U’*U=A › Разложение Холецкого возможно для действительных и комплексных эрмитовых матриц 2/13/2018 45
Пример 2/13/2018 46
Левостороннее деление MATLAB » При использовании левостороннего деления «» MATLAB выполняет оценку матрицы коэффициентов и применяет оптимальный метод для решения ‣ MATLAB проверяет вид матрицы коэффициентов при неизвестных для возможности нахождения решения без применения полного метода Гаусса › разреженная › треугольная › симметричная ‣ В противном случае применяется для квадратной матрицы применяется метод Гаусса с частным выбором главного элемента 2/13/2018 47
QR факторизация » 2/13/2018 48
QR факторизация – MATLAB функции » qr ‣ [Q, R] = qr(A) – вычисляет верхнюю треугольную матрицу R того же размера, как и у A, и унитарную матрицу Q, так что X=Q*R ‣ [Q, R, P] = qr(A) – вычисляет матрицу перестановок P, верхнюю треугольную матрицу R с убывающими по модулю диагональными элементами и унитарную матрицу Q, так что A*P=Q*R › Матрица перестановок P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается ‣ [Q, R] = qr(A, 0) и [Q, R, P] = qr(A, 0) – вычисляют экономное разложение, в котором P – вектор перестановок, так что Q*R=A(: , P) › Матрица P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается 2/13/2018 49
Пример 2/13/2018 50
Итерационные методы » Итерационные или аппроксимационные методы являются альтернативой ранее рассмотренным методам решения СЛАУ, основанным на исключении неизвестных » Можно выделить два основных этапа ‣ выбор начального приближения ‣ последующее систематическое уточнение » Методы ‣ ‣ ‣ 2/13/2018 Гаусса-Зейделя Якоби релаксации бисопряженных градиентов и др. 51
Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 52
Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 53
Пример » 2/13/2018 54
Пример » 2/13/2018 55
Пример » 2/13/2018 56
Метод Якоби » Метод Гаусса-Зейделя использует найденное значение х сразу же для нахождения следующего х из другого уравнения » Несколько альтернативный подход, называемый методом Якоби, заключается в расчете всех х на основании предыдущей итерации Гаусса-Зейдель 2/13/2018 Якоби 57
Сходимость и диагональное преобладание » 2/13/2018 58
Пример » 2/13/2018 59
Метод релаксации » 2/13/2018 60
Метод релаксации » 2/13/2018 61
Пример » 2/13/2018 62
Пример » 2/13/2018 63
Пример » 2/13/2018 64
1.11 Решение систем линейных уравнений
MATLAB позволяет работать с объектами линейной алгебры, т. е. векторами и матрицами, настолько просто, насколько это вообще возможно.
Яркий пример этому – решение систем линейных уравнений.
Пусть дана система линейных уравнений
Решить систему с применением оператора обратного деления матриц .
В матричной записи система имеет вид Ах = b, где
A = , b = , х =
– соответственно матрица из коэффициентов при незвестных, вектор-столбец из свободных членов и вектор-столбец из неизвестных.
Введем матрицу А и вектор-столбец свободных членов b:
>> А=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 -5]
Известно, что система имеет единственное решение, если определитель матрицы А не равен нулю (│A│ = det(A) ≠ 0). Вычислим определитель матрицы А:
Определитель не равен нулю. Находим решение системы с помощью оператора обратного деления матриц :
Проверим полученное решение x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2 подстановкой в систему уравнений:
В результате проверки получен вектор-столбец свободных членов. Значит, система решена верно.
Найдем теперь решение системы х = A -1 b с помощью обратной матрицы. Вначале вычислим обратную матрицу A -1 :
-2.0000 -3.0000 -3.0000
1.0000 1.0000 1.0000
-0.4000 -0.6000 -0.8000
Находим решение системы:
Отметим, что решение системы с помощью обратной матрицы требует больше времени и памяти, к тому же этот способ может дать большую погрешность решения. Поэтому для решения линейных систем рекомендуется применять оператор обратного деления .
Решить систему линейных уравнений
>> A=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 5]
Как эффективно решить систему уравнений в программе MATLAB
Методы численного анализа являются неотъемлемой частью современной математики и науки. Решение систем уравнений – одна из часто встречающихся задач в различных областях. И одним из наиболее эффективных инструментов для решения систем уравнений является среда программирования MATLAB.
MATLAB – это мощное программное обеспечение, которое предоставляет множество функций и инструментов для численного анализа и научных вычислений. В нем существует несколько способов решения систем уравнений, включая методы прямых и итерационных.
Для начала, необходимо определить систему уравнений. В MATLAB система уравнений обычно задается в виде матрицы коэффициентов и вектора свободных членов. После задания системы уравнений, можно воспользоваться различными функциями для ее решения. Например, функция linsolve позволяет решить линейную систему уравнений, а функция fsolve используется для решения нелинейных систем уравнений.
Помимо этих функций, MATLAB предлагает множество других инструментов для решения систем уравнений, таких как метод Гаусса, метод Зейделя и метод релаксации. Каждый из этих методов имеет свои особенности и применяется в зависимости от конкретной задачи.
Методы решения системы уравнений
Существует несколько методов для решения систем уравнений в MATLAB. Вот некоторые из них:
- Метод Гаусса: Этот метод основывается на постепенном исключении неизвестных из уравнений и приведении системы к треугольному виду. После этого можно последовательно выражать каждую неизвестную в терминах известных и решить систему.
- Метод Жордана-Гаусса: Этот метод является модификацией метода Гаусса, в котором дополнительно проводится обратный ход для получения еще одной треугольной матрицы. Это позволяет получить исходные значения неизвестных.
- Метод Крамера: Этот метод основан на правиле Крамера, которое утверждает, что для системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов можно найти каждую неизвестную как отношение определителя матрицы, в которой заменяется столбец значений на столбец свободных членов, к определителю исходной матрицы.
- Метод простых итераций: Этот метод является итерационным и основан на преобразовании исходной системы до вида, при котором каждая неизвестная выражается через саму себя и предыдущее приближение. Далее система решается путем последовательных итераций до достижения нужной точности.
- Метод Зейделя: Этот метод является видоизмененной версией метода простых итераций. Он позволяет ускорить сходимость итерационного процесса путем непосредственного использования новых значений неизвестных в каждом из уравнений системы.
В каждом конкретном случае выбор метода зависит от размера системы, ее особенностей и требуемой точности решения.
Метод Гаусса-Зейделя
- Решение системы уравнений происходит приближенно и требует задания начального приближения;
- В отличие от метода Гаусса, метод Гаусса-Зейделя может быть применен даже в случае, когда матрица системы не является диагонально преобладающей;
- Метод Гаусса-Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итерации;
- Однако, метод Гаусса-Зейделя может не сходиться для некоторых систем уравнений.
Для реализации метода Гаусса-Зейделя необходимо выполнить следующие шаги:
- Выбрать начальное приближение для неизвестных;
- Провести итерации, на каждой итерации пересчитывая значения неизвестных;
- Остановить итерационный процесс, когда достигнута нужная точность или выполнено определенное количество итераций.
В процессе итераций значения неизвестных на каждой новой итерации рассчитываются на основе значений на предыдущей итерации. Это позволяет уточнить результаты и приблизиться к точному решению системы уравнений. Однако, стоит отметить, что метод Гаусса-Зейделя может не сходиться для некоторых сложных систем уравнений или при плохом выборе начального приближения.
Метод Якоби
Для применения метода Якоби необходимо переписать исходную систему уравнений в виде:
Ax = b
где A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, b — вектор свободных членов.
Метод Якоби заключается в следующем:
- Начальное приближение x^(0) выбирается произвольно.
- Вычисляется новое приближение x^(k+1) по формуле:
x^(k+1) = D^(-1)(b — (L + U)x^(k))
где D — матрица, содержащая диагональные элементы матрицы A, L — нижняя треугольная матрица, содержащая элементы ниже диагонали матрицы A, U — верхняя треугольная матрица, содержащая элементы выше диагонали матрицы A.
Шаги 2-3 повторяются до достижения нужной точности или заданного числа итераций.
Метод Якоби сходится только для некоторых классов матриц, поэтому перед его применением необходимо проверить условия сходимости. Если метод сходится, то найденное решение будет приближенным решением исходной системы уравнений.
Метод LU-разложения
Процедура LU-разложения состоит из следующих шагов:
- Исходная система уравнений записывается в виде матричного уравнения: Ax = b, где A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, b — вектор свободных членов.
- Производится разложение матрицы A на произведение двух матриц: A = LU, где L — нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали, U — верхнетреугольная матрица.
- Систему уравнений можно переписать в виде двух уравнений: LUx = b.
- Сначала решается уравнение Ly = b методом прямого хода.
- Затем решается уравнение Ux = y методом обратного хода, где y — промежуточный вектор неизвестных.
- Полученное решение вектора x является решением исходной системы уравнений.
Преимущества метода LU-разложения заключаются в его эффективности и возможности многократного использования разложенной матрицы для решения систем уравнений с различными векторами свободных членов.
В MATLAB для решения системы уравнений можно воспользоваться функцией lu, которая возвращает две матрицы L и U.
Пример использования метода LU-разложения в MATLAB:
% Задание матрицы системы уравнений
A = [2, 4, 6; 1, 3, 7; 5, 8, 9];
% Задание вектора свободных членов
% Решение системы уравнений
Таким образом, метод LU-разложения является эффективным и удобным численным методом для решения систем линейных уравнений в MATLAB. Он позволяет упростить процесс решения и повысить эффективность вычислений.
Практическое применение решения системы уравнений в MATLAB
Решение системы уравнений в MATLAB имеет множество практических применений в различных областях, таких как физика, математика, инженерия, экономика и др. Программа MATLAB обладает мощными инструментами для работы с матричными операциями, что делает ее идеальным инструментом для решения систем уравнений.
При решении системы уравнений в MATLAB сначала необходимо определить матрицу коэффициентов системы и вектор свободных членов. Для этого используются различные методы, такие как метод Гаусса, метод Крамера, метод Жордана и др. После определения матрицы и вектора, MATLAB может быть использован для решения системы уравнений с помощью функций, таких как inv , linsolve , lsqnonneg и др.
Приведем пример практического применения решения системы уравнений в MATLAB. Предположим, что у нас есть система уравнений, описывающая закон Ома для электрической цепи:
| 10I1 + 5I2 + 3I3 = 25 |
| 2I1 + 10I2 + 4I3 = 17 |
| 3I1 + 6I2 + 12I3 = 18 |
Для решения данной системы уравнений необходимо представить ее в матричной форме, где коэффициенты при переменных I1, I2 и I3 составляют матрицу коэффициентов A, а вектор свободных членов B:
| 10 5 3 | I1 | = | 25 |
| 2 10 4 | I2 | = | 17 |
| 3 6 12 | I3 | = | 18 |
Для решения данной системы уравнений в MATLAB можно использовать функцию linsolve :
A = [10 5 3; 2 10 4; 3 6 12]; B = [25; 17; 18]; solution = linsolve(A, B); disp(solution); При выполнении данного кода, MATLAB выведет решение системы уравнений:
I1 = 1 I2 = 1 I3 = 1 Таким образом, решение системы уравнений в данном примере позволяет найти значения токов I1, I2 и I3 в электрической цепи.
Описанный выше пример является лишь одним из множества практических применений решения систем уравнений в MATLAB. Однако, он иллюстрирует важность и удобство использования MATLAB при решении сложных задач, требующих численных вычислений.
Решение линейных систем уравнений
Линейная система уравнений представляет собой совокупность линейных уравнений, содержащих одни и те же неизвестные. Задача состоит в нахождении значений этих неизвестных, при которых все уравнения системы выполняются одновременно.
Существует несколько методов решения линейных систем уравнений в матлабе, включая метод Гаусса, метод Зейделя и метод Холецкого. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки, и выбор метода зависит от конкретной задачи и ее характеристик.
Метод Гаусса является наиболее распространенным и широко используется для решения линейных систем уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях строк матрицы коэффициентов и позволяет свести систему уравнений к треугольному виду, после чего можно последовательно вычислить значения неизвестных.
Метод Зейделя является итерационным методом, который позволяет приближенно найти решение линейной системы уравнений. Он заключается в последовательном вычислении значений неизвестных на основе предыдущих значений. Метод Зейделя хорошо сходится в случае, когда матрица коэффициентов системы является диагонально доминирующей.
Метод Холецкого используется для решения симметричных положительно определенных систем уравнений. Он основан на факторизации матрицы коэффициентов системы в виде произведения верхней и нижней треугольных матриц, что позволяет эффективно решить систему уравнений.
При решении линейных систем уравнений в матлабе можно воспользоваться встроенными функциями, такими как linsolve или inv. Функция linsolve позволяет решить систему уравнений в обычном виде, когда матрица коэффициентов и вектор правой части задаются явно. Функция inv позволяет найти обратную матрицу системы, а затем решить систему, перемножив обратную матрицу на вектор правой части.
В зависимости от особенностей задачи и требований к точности можно выбрать подходящий метод решения линейной системы уравнений в матлабе. При необходимости можно использовать комбинацию нескольких методов для достижения требуемого результата.
Расчет кратчайшего пути в графе
Для решения задачи о поиске кратчайшего пути между двумя вершинами в графе существуют различные алгоритмы. Один из самых известных и широко используемых алгоритмов — алгоритм Дейкстры. Он базируется на пошаговом просмотре вершин графа и обновлении значений кратчайших путей до каждой вершины.
Алгоритм Дейкстры работает во времени, пропорциональном количеству вершин в графе, и его сложность составляет O(V^2), где V — количество вершин. Однако, существуют и более эффективные алгоритмы, такие как алгоритм Беллмана-Форда и алгоритм Флойда-Уоршелла, которые позволяют решать задачу поиска кратчайшего пути в графе за более короткое время.
Для реализации алгоритмов нахождения кратчайшего пути в графе можно использовать язык программирования Matlab. Возможно использование готовых функций из пакета MATLAB Graph and Network Algorithms (Bioinformatics Toolbox), который предоставляет удобные средства для работы с графами и решения задач на графах.
В результате применения алгоритма кратчайшего пути в графе получается маршрут, состоящий из узлов графа, которые следует пройти от исходной вершины до целевой вершины. Этот маршрут может быть использован в различных приложениях для оптимального достижения целей.
В конечном итоге, расчет кратчайшего пути в графе является важной задачей, которая используется во многих областях. Алгоритмы поиска кратчайшего пути позволяют находить оптимальные решения в различных ситуациях, когда необходимо выбрать наиболее эффективный путь из множества возможных.
Sally-Face.ru — это отличный ресурс для тех, кто ищет свежие вопросы и ответы на самые разные темы. На сайте собрана огромная база знаний, которая поможет вам быстро и легко найти ответы на интересующие вас вопросы.
Одной из главных особенностей сайта является его актуальность. Администрация регулярно обновляет базу данных, добавляя новые вопросы и ответы на самые разные темы. Благодаря этому вы всегда можете быть уверены в том, что найдете на сайте самую актуальную информацию.
Кроме того, на сайте Sally-Face.ru вы можете найти ответы на вопросы, которые вам не удалось найти на других ресурсах. На сайте собраны ответы на самые разные вопросы, начиная от технических и заканчивая медицинскими.
Если вы обнаружили неточность или ошибку в ответе на сайте, вы всегда можете сообщить об этом администрации. Для этого на сайте есть специальная форма обратной связи, которую можно заполнить, чтобы сообщить об ошибке.
В целом, сайт Sally-Face.ru является одним из лучших ресурсов для тех, кто ищет свежие и актуальные ответы на самые разные вопросы. Благодаря его удобному интерфейсу и огромной базе данных вы можете быстро и легко найти ответы на все свои вопросы.