Как разложить вектор по базису трех векторов

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложения вектора по базисным векторам

Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
введите значения базисных векторов;
введите значения вектора, который нужно разложить по базису;
Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Линейной комбинацией векторов
a₁ , . a_n с коэффициентами x ₁, . x_n называется вектор

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Разложение вектора по векторам

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a ₁, . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a ₁, . a_n равна вектору b :

x ₁ a ₁ + . + x_n a_n = b ,

при этом коэффициенты x ₁, . x_n , называются координатами вектора b в базисе a ₁, . a_n .

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Пример 1. Разложить вектор b = < 8; 1 >по базисным векторам p = < 1; 2 >и q = < 3; 1 >.

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

	1 x + 3 y = 8
	2 x + 1 y = 1

из первого уравнения выражаем x

	x = 8 — 3 y
	2 x + y = 1

Подставим x во второе уравнение

	x = 8 — 3 y
	2(8 — 3 y ) + y = 1

	x = 8 — 3 y
	16 — 6 y + y = 1

	x = 8 — 3 y
	5 y = 15

	x = 8 — 3 y
	y = 3

	x = 8 — 3·3
	y = 3

	x = -1
	y = 3

Ответ: b = — p + 3 q .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Как разложить вектор по базису трех векторов

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Разложение вектора по базису

$\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +. +a_{n} \cdot \bar{e}_{n} \ \ \ \ (1)$

то говорят, что вектор является линейной комбинации указанной системы векторов.

Если система векторов является базисом некоторого векторного пространства (то есть векторы – упорядоченная линейно независимая система векторов, и добавление к ней хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой), тогда разложение (1) называется разложением вектора по базису .

Коэффициенты линейной комбинации (1) называются координатами вектора в базисе .

Примеры разложения вектора по базису

Задание	Известно разложение вектора по базису $\left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} \right\}:\ \bar{a}=3\bar{e}_{2} -\bar{e}_{1}$ . Найти координаты вектора в указанном базисе.
Решение	Координатами вектора в базисе будут соответственно коэффициенты при векторах и в разложении этого вектора по базису, то есть имеем:

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор по базису , необходимо найти такие коэффициенты , при которых линейная комбинация базисных векторов равна вектору :

$a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +. +a_{n} \cdot \bar{e}_{n} =\bar{a}$

Задание	Написать разложение вектора по векторам , ,
Решение	Векторы заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:

$\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +a_{3} \cdot \bar{e}_{3}$

Запишем это равенство в векторной форме:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=a_{1} \cdot \left(2;\; 3;\; 1\right)+a_{2} \cdot \left(3;\; 7;\; 2\right)+a_{3} \cdot \left(5;\; 4;\; 3\right)$

При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} ;\; 3a_{1} ;\; a_{1} \right)+\left(3a_{2} ;\; 7a_{2} ;\; 2a_{2} \right)+\left(5a_{3} ;\; 4a_{3} ;\; 3a_{3} \right)$

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:

$\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} ;\; 3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} ;\; a_{1} +2a_{2} +3a_{3} \right)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов разложения:

$\left\{\begin{array}{l} {2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} =1,} \\ {3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} =-1,} \\ {a_{1} +2a_{2} +3a_{3} =2.} \end{array}\right.$

Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 1-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 3\cdot 3=6\ne 0$

Вычислим теперь вспомогательные определители системы:

$\Delta _{1} =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right|=1\cdot 7\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 2-2\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 1-\left(-1\right)\cdot 3\cdot 3=-34;$

$\Delta _{2} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot \left(-1\right)\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+1\cdot 4\cdot 1-1\cdot \left(-1\right)\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 1\cdot 3=8;$

$\Delta _{3} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+3\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 7\cdot 1-2\cdot \left(-1\right)\cdot 2-3\cdot 3\cdot 2=10$

$a_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } =\frac{-34}{6} =-\frac{17}{3} ; a_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } =\frac{8}{6} =\frac{4}{3} ; a_{3} =\frac{\Delta _{3} }{\Delta } =\frac{10}{6} =\frac{5}{3}$

Следовательно, искомое разложение

Как разложить вектор по базису трех векторов

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Инструкция использования калькулятора для разложения вектора по базисным векторам

Ввод данных в калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

Теория. Разложение вектора по базису

Разложение вектора по векторам

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Как разложить вектор по базису трех векторов

Контакты

Разложение вектора по базису

Примеры разложения вектора по базису

Добавить комментарий Отменить ответ