Как разделить матрицу на число

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Совет 1: Как разделять матрицы

Матричная алгебра – раздел математики, посвященный постижению свойств матриц, их использованию для решения трудных систем уравнений, а также правилам действий над матрицами, включая деление.

Инструкция

1. Существует три действия над матрицами: сложение, вычитание и умножение. Деление матриц, как таковое, действием не является, но его дозволено представить в виде умножения первой матрицы на матрицу, обратную ко 2-й:A/B = A·B^(-1).

2. Следственно операция деления матриц сводится к двум действиям: поиску обратной матрицы и умножению ее на первую. Обратной именуется такая матрица A^(-1), которая при умножении на A дает единичную матрицу.

3. Формула обратной матрицы: A^(-1) = (1/?)•B, где ? – определитель матрицы, тот, что должен быть хорош от нуля. Если это не так, то обратная матрица не существует. B – матрица, состоящая из алгебраических дополнений начальной матрицы А.

4. Скажем, исполните деление заданных матриц.

5. Обнаружьте матрицу, обратную ко 2-й. Для этого вычислите ее определитель и матрицу алгебраических дополнений. Запишите формулу определителя для квадратной матрицы третьего порядка:? = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a31·a22·a13 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32 = 27.

6. Определите алгебраические дополнения по указанным формулам:A11 = a22•a33 – a23•a32 = 1•2 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6;A12 = -(a21•a33 – a23•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A13 = a21•a32 – a22•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A21 = -(a12•a33 – a13•a32) = -((-2)•2 – 1•2) = -(-4 – 2) = 6;A22 = a11•a33 – a13•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A23 = -(a11•a32 – a12•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A31 = a12•a23 – a13•a22 = (-2)•(-2) – 1•1 = 4 – 1 = 3;A32 = -(a11•a23 – a13•a21) = -(2•(-2) – 1•2) = -(-4 – 2) = 6;A33 = a11•a22 – a12•a21 = 2•1 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6.

7. Поделите элементы матрицы алгебраических дополнений на величину определителя, равную 27. Таким образом, вы получили матрицу, обратную ко 2-й. Сейчас задача сводится к умножению первой матрицы на новую.

8. Исполните умножение матриц по формуле C = A*B:c11 = a11•b11 + a12•b21 + a13•b31 = 1/3;c12 = a11•b12 + a12•b22 + a13•b23 = -2/3;c13 = a11•b13 + a12•b23 + a13•b33 = -1;c21 = a21•b11 + a22•b21 + a23•b31 = 4/9;c22 = a21•b12 + a22•b22 + a23•b23 = 2/9;c23 = a21•b13 + a22•b23 + a23•b33 = 5/9;c31 = a31•b11 + a32•b21 + a33•b31 = 7/3;c32 = a31•b12 + a32•b22 + a33•b23 = 1/3;c33 = a31•b13 + a32•b23 + a33•b33 = 0.

Совет 2: Отчего невозможно разделять на ноль

Разделять на ноль невозможно, это вестимо всем школьнику, но многим идеально неясно отчего. Поводы этого правила дозволено узнать только в высшем учебном заведении, и то только если вы будете постигать математику. В реальности, основание того, что на ноль разделять невозможно, не такое уж трудное. Узнать это было бы дюже увлекательно многим школьникам.

Повод того, что невозможно разделять на ноль , лежит в математике. В то время как в арифметике есть четыре основные операции над числами (это сложение, вычитание, умножение и деление), в математике таких только две из них (это сложение и умножение). Именно они включены в определение числа. Дабы определить, что такое вычитание и деление, необходимо воспользоваться сложением и умножением и вывести новые операции из них. Дабы осознать данный момент, благотворно разглядеть несколько примеров. Скажем, операция 10-5, с точки зрения ученика школы, обозначает, что от числа 10 отнимается число 5. Но математика ответила бы на вопрос о том, что тут происходит, напротив. Данная операция была бы сведена к уравнению x+5=10. Незнакомое в данной задаче это x, именно оно и является итогом так называемого вычитания. С делением все происходит подобно. Оно каждого лишь верно также выражается через умножение. При этом, итог – это примитивно подходящее число. Скажем, 10:5 математик записал бы как 5*x=10. Данная задача имеет однозначное решение. Учтя все это, дозволено осознать, отчего невозможно разделять на ноль . Запись 10:0 превратилась бы в 0*x=10. То есть, итогом стало бы число, которое при умножении на 0 дает другое число. Но каждому знаменито правило о том, что всякое число, умноженное на ноль , дает ноль . Это качество включено в представление о том, чем является ноль . Следственно получается, что задача о том, как поделить число на ноль , не имеет решения. Это типичная обстановка, много задач в математике не имеют решения. Но как может показаться, из этого правила есть одно исключение. Да, ни одно число невозможно разделять на ноль , но чай сам ноль дозволено? Скажем, 0*x=0. Это чай правильное равенство. Но загвоздка в том, что на месте x может быть идеально всякое число. Следственно итогом такого уравнения стала бы идеальная неясность. Нет причин выбрать какой-нибудь один итог. Следственно ноль на ноль разделять тоже невозможно. Правда, в математическом обзоре с сходственными неопределенностями умеют справляться. Выясняют, нет ли в задаче дополнительных условий, вследствие которым становится допустимым «раскрыть неясность» – так это именуется. Но в арифметике так не делают.

Видео по теме

Совет 3: Как вычислять матрицу в excel

Для вычисления значений матрицы либо выполнения других математических расчетов используйте программу Microsoft Office Excel. Также вы можете воспользоваться и бесплатными ее аналогами, правило действия тут будет фактически идентичным.

Вам понадобится

• – программа Microsoft Office Excel.

Инструкция

1. Запустите программу Microsoft Office Excel. В меню ввода данных впишите данную вам матрицу для дальнейшего вычисления ее определителя. Выделите одну из незанятых ячеек таблицы, позже чего введите следующую формулу: “=МОПРЕД(ak:fg)”. В данном случае ak будет обозначать координаты, соответствующие левому верхнему углу заданной матрицы, а fg – нижнему правому. Для приобретения определителя нажмите клавишу Enter. Надобное значение будет отображено в выбранной вами пустой ячейке.

2. Используйте функционал Excel для вычисления и других значений. В случае если вы не умеете применять формулы в Microsoft Office Excel, скачайте особую тематическую литературу, и позже прочтения вам будет довольно легко сориентироваться по данной программе.

3. Наблюдательно изучите названия значений формул в данном программном обеспечении, от того что при неправильном их вводе у вас могут испортиться сразу все итоги, в особенности это касается тех, кто исполняет сразу несколько идентичных вычислений по одной формуле единовременно.

4. Время от времени исполняйте проверку полученных в Microsoft Office Excel итогов вычисления. Это связано с тем, что в системе могли случиться какие-нибудь метаморфозы со временем, в частности это относится к тем, кто исполняет работу по образца. Неизменно нелишним будет ненужный раз сверить итоги сразу нескольких нынешних вычислений.

5. Также при работе с формулами будьте весьма осмотрительны и не допускайте происхождения в вашем компьютере вирусов. Даже в случае если операции с формулами в Microsoft Office Excel потребуется вам единоразово, изучите функционал данной программы в большей степени, от того что эти навыки помогут вам в будущем отменнее понимать автоматизацию учета и использовать Excel для выполнения определенных заданий.

Как разделить матрицу на число

Показано, что элементарные преобразования любой прямоугольной матрицы могут быть осуществлены посредством операций умножения (справа или слева) на элементарные матрицы.

Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.

Алгоритмы решения целого ряда задач включают в себя (в качестве составных элементов) элементарные преобразования матриц, к числу которых относятся:

1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;
2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;
3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;
4. прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Пусть R_i (λ) – матрица масштабирования (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка заменой единицы в i-ой строке числом λ):

(1)

Тогда результатом умножения слева матрицы R_i (λ) на матрицу

(2)

является матрица, полученная из исходной матрицы A умножением ее i-ой строки на число λ:

(3)

(4)

Аналогично, чтобы умножить i-ый столбец матрицы A на число λ, достаточно умножить матрицу T _i справа на матрицу A. В частности,

(5)

(6)

Тогда результатом умножения слева матрицы P _{i j} на матрицу

(7)

является матрица, полученная из исходной матрицы A перестановкой местами ее i-ой и j-ой строк:

(8)

Умножение матрицы P _{i j} справа на матрицу

(10)

приводит к матрице

(11)

Чтобы прибавить к i-ой строке матрицы A ее j-ую строку, умноженную на число λ, достаточно умножить матрицу A справа на элементарную неунитарную матрицу.

Как делить матрицы

Матричная алгебра – раздел математики, посвященный изучению свойств матриц, их применению для решения сложных систем уравнений, а также правилам действий над матрицами, включая деление. Существует три действия над матрицами: сложение, вычитание и умножение. Деление матриц, как таковое, действием не является, но его можно представить в виде умножения первой матрицы на матрицу, обратную ко второй:A/B = A·B^(-1). Поэтому операция деления матриц сводится к двум действиям: поиску обратной матрицы и умножению ее на первую. Обратной называется такая матрица A^(-1), которая при умножении на A дает единичную матрицу. Формула обратной матрицы: A^(-1) = (1/∆)•B, где ∆ — определитель матрицы, который должен быть отличен от нуля. Если это не так, то обратная матрица не существует. B – матрица, состоящая из алгебраических дополнений исходной матрицы А. Например, выполните деление заданных матриц. Найдите матрицу, обратную ко второй. Для этого вычислите ее определитель и матрицу алгебраических дополнений. Запишите формулу определителя для квадратной матрицы третьего порядка:∆ = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a31·a22·a13 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32 = 27. Определите алгебраические дополнения по указанным формулам:A11 = a22•a33 — a23•a32 = 1•2 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6;A12 = -(a21•a33 — a23•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A13 = a21•a32 — a22•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A21 = -(a12•a33 — a13•a32) = -((-2)•2 — 1•2) = -(-4 — 2) = 6;A22 = a11•a33 — a13•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A23 = -(a11•a32 — a12•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A31 = a12•a23 — a13•a22 = (-2)•(-2) – 1•1 = 4 – 1 = 3;A32 = -(a11•a23 — a13•a21) = -(2•(-2) — 1•2) = -(-4 — 2) = 6;A33 = a11•a22 — a12•a21 = 2•1 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6. Разделите элементы матрицы алгебраических дополнений на величину определителя, равную 27. Таким образом, вы получили матрицу, обратную ко второй. Теперь задача сводится к умножению первой матрицы на новую. Выполните умножение матриц по формуле C = A*B:c11 = a11•b11 + a12•b21 + a13•b31 = 1/3;c12 = a11•b12 + a12•b22 + a13•b23 = -2/3;c13 = a11•b13 + a12•b23 + a13•b33 = -1;c21 = a21•b11 + a22•b21 + a23•b31 = 4/9;c22 = a21•b12 + a22•b22 + a23•b23 = 2/9;c23 = a21•b13 + a22•b23 + a23•b33 = 5/9;c31 = a31•b11 + a32•b21 + a33•b31 = 7/3;c32 = a31•b12 + a32•b22 + a33•b23 = 1/3;c33 = a31•b13 + a32•b23 + a33•b33 = 0.

Онлайн калькулятор. Умножение матрицы на число

Используя этот онлайн калькулятор для умножения матрицы на число, вы сможете очень просто и быстро найти произведение матрицы и числа. Воспользовавшись онлайн калькулятором для умножения матрицы на число, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач, а также закрепить пройденный материал.

Умножить матрицу на число

Очистить	Размер: ×
Транспонировать	Умножить на
Найти определитель	Возвести в степень
Найти ранг	Обратная матрица: A -1

Ввод данных в калькулятор для умножения матрицы на число

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для умножения матрицы на число

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Теория. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на ненулевое число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

деление матриц

Вы искали деление матриц? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и деление матрицы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «деление матриц».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как деление матриц,деление матрицы,деление матрицы на матрицу,деление матрицы на число,делить матрицу на матрицу,как делить матрицу на матрицу,как делить матрицы,как делить матрицы друг на друга,как матрицу делить на матрицу,как матрицу поделить на матрицу,как матрицу разделить на матрицу,как матрицу разделить на число,как поделить матрицу на матрицу,как разделить матрицу на матрицу,как разделить матрицу на число,как разделить число на матрицу,как число разделить на матрицу,матрицы деление,матрицы как делить. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и деление матриц. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, деление матрицы на матрицу).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же деление матриц Онлайн?

Решить задачу деление матриц вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Как разделить матрицы

Соавтором этой статьи является наша обученная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее точность и полноту. Команда управления контентом wikiHow внимательно следит за работой нашей редакции, чтобы гарантировать, что каждая статья подкреплена достоверными исследованиями и соответствует нашим высоким стандартам качества.

В этой статье цитируется 7 ссылок , которые можно найти внизу страницы.

Эту статью просмотрели 346 575 раз (а).

Если вы знаете, как перемножить две матрицы, вы на правильном пути к «делению» одной матрицы на другую. Это слово заключено в кавычки, потому что матрицы технически нельзя разделить. Вместо этого мы умножаем одну матрицу на инверсию другой матрицы. Эти вычисления обычно используются для решения систем линейных уравнений. [1] Икс Источник исследования

• Обратите внимание, что [A] * [B] -1 и [B] -1 * [A] — разные проблемы. Возможно, вам придется решить оба, чтобы найти все возможные решения.
• Например, вместо ( 13 26 год 39 13 ) ÷ ( 7 4 2 3 ) 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end > \ div <\ begin 7 & 4 \\ 2 & 3 \ end >> , написать ( 13 26 год 39 13 ) * ( 7 4 2 3 ) — 1 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end > * <\ begin 7 & 4 \\ 2 & 3 \ end > ^ > .
  Вам также может потребоваться вычислить ( 7 4 2 3 ) — 1 * ( 13 26 год 39 13 ) 7 & 4 \\ 2 & 3 \ end > ^ * <\ begin 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end >> , у которого может быть другой ответ.

• Термин «матрица делителей» немного растянут, поскольку технически это не проблема деления. Для [A] * [B] -1 это относится к матрице [B]. В нашем примере задачи это ( 7 4 2 3 ) 7 и 4 \\ 2 и 3 \ end >> .
• Матрица, имеющая обратную, называется «обратимой» или «невырожденной». Матрицы без инверсии «сингулярны».

• Например, если [A] представляет собой матрицу 4 x 3 (4 строки, 3 столбца), а [B] — матрица 2 x 2 (2 строки, 2 столбца), решения нет. [A] * [B] -1 не работает с 3 2, а [B] -1 * [A] не работает с 2 4.
• Обратите внимание, что обратная матрица [B] -1 всегда имеет то же количество строк и столбцов, что и исходная матрица [B]. Для выполнения этого шага нет необходимости вычислять обратное.
• В нашем примере задачи обе матрицы имеют размер 2 x 2, поэтому их можно перемножать в любом порядке.

• Матрица 2 x 2: определитель матрицы ( а б c d ) a & b \\ c & d \ end >> это ad — bc. [5] Икс Источник исследования Другими словами, возьмите произведение главной диагонали (верхний левый угол в нижний правый), затем вычтите произведение антидиагонали (верхний правый угол — нижний левый).
• Например, матрица ( 7 4 2 3 ) 7 и 4 \\ 2 и 3 \ end >> имеет определитель (7) (3) — (4) (2) = 21 — 8 = 13. Это ненулевое значение, поэтому можно найти обратное.

• Матрица 3 x 3 : выберите любой элемент и вычеркните строку и столбец, которым он принадлежит. Найдите определитель оставшейся матрицы 2 x 2, умножьте на выбранный элемент и обратитесь к диаграмме знаков матрицы, чтобы определить знак. Повторите это для двух других элементов в той же строке или столбце, что и первый выбранный вами, затем просуммируйте все три детерминанты. Прочтите эту статью, чтобы получить пошаговые инструкции и советы, как это ускорить.
• Матрицы большего размера : рекомендуется использовать графический калькулятор или программное обеспечение. Этот метод аналогичен методу матрицы 3 x 3, но вручную утомителен. [6] Икс Источник исследования Например, чтобы найти определитель матрицы 4 x 4, вам нужно найти определители четырех матриц 3 x 3.

Продолжайте. Если ваша матрица не квадратная или ее определитель равен нулю, напишите «нет уникального решения». Проблема полная. Если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю, перейдите к следующему разделу для следующего шага: нахождения обратного.

• ( 7 4 2 3 ) 7 и 4 \\ 2 и 3 \ end >> → ( 3 4 2 7 ) 3 & 4 \\ 2 & 7 \ end >>
• Примечание. Большинство людей используют калькуляторы, чтобы найти обратную матрицу 3 x 3 или больше. Если вы хотите рассчитать это вручную, обратитесь к концу этого раздела.

• ( 3 4 2 7 ) 3 & 4 \\ 2 & 7 \ end >> → ( 3 — 4 — 2 7 ) 3 & -4 \\ — 2 & 7 \ end >>

• В нашем примере определитель равен 13. Обратной величиной является 1 13 >> .

• 1 13 * ( 3 — 4 — 2 7 ) > * 3 & -4 \\ — 2 & 7 \ end >>
  знак равно ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) <\ displaystyle > и > \\ > и > \ end >>

• Для примера задачи умножьте ( 7 4 2 3 ) * ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) знак равно ( 1 0 0 1 ) 7 & 4 \\ 2 & 3 \ end > * <\ begin > & > \\ > & > \ end > = <\ begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end >> .
• Вот напоминание о том, как умножать матрицы.
• Примечание: умножение матриц не коммутативно: порядок множителей имеет значение. Однако при умножении матрицы на ее инверсию оба варианта приведут к единичной матрице. [8] Икс Источник исследования

• Присоедините единичную матрицу I к правой стороне вашей матрицы. Например, [B] → [B | I]. Единичная матрица имеет «1» элементов по главной диагонали и «0» элементов во всех остальных позициях.
• Выполните операции со строками, чтобы уменьшить матрицу до тех пор, пока левая сторона не будет в форме эшелона строк, затем продолжайте сокращение, пока левая часть не станет единичной матрицей.
• После завершения операции ваша матрица будет иметь вид [I | В -1 ]. Другими словами, правая часть будет обратной по отношению к исходной матрице.

• [A] * [B] -1 — решение x задачи x [B] = [A].
• [B] -1 * [A] — решение x задачи [B] x = [A].
• Если это часть уравнения, убедитесь, что вы выполняете одну и ту же операцию с обеих сторон. Если [A] = [C], то [B] -1 [A] не равно [C] [B] -1 , потому что [B] -1 находится слева от [A], но справа ». из [C]. [11] Икс Источник исследования

• Возвращаясь к нашему исходному примеру, оба ( 13 26 год 39 13 ) 13 и 26 \\ 39 и 13 \ end >> а также ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) > и > \\ > и > \ end >> — это матрицы 2 x 2, поэтому размер ответа также будет 2 x 2.
• Рассмотрим более сложный пример: если [A] — это матрица 4 x 3, а [B] -1 — это матрица 3 x 3 , то матрица [A] * [B] -1 имеет размеры 4 x 3.

• Чтобы найти строку 1, столбец 1 [A] [B] -1 , найдите скалярное произведение [A] строки 1 и [B] -1 столбца 1. То есть для матрицы 2 x 2 вычислите а 1 , 1 * б 1 , 1 + а 1 , 2 * б 2 , 1 * b_ + a_ * b_ > .
• В нашем примере ( 13 26 год 39 13 ) * ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end > * <\ begin > & > \\ > и > \ end >> , строка 1, столбец 1 нашего ответа:
  ( 13 * 3 13 ) + ( 26 год * — 2 13 ) <\ displaystyle (13 * >) + (26 * >)>
  знак равно 3 + — 4
  знак равно — 1

• ( 13 26 год 39 13 ) * ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) знак равно ( — 1 10 7 — 5 ) 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end > * <\ begin > & > \\ > & > \ end > = <\ begin -1 & 10 \\ 7 & -5 \ end >>
• Если вам нужно найти другое решение, ( 3 13 — 4 13 — 2 13 7 13 ) * ( 13 26 год 39 13 ) знак равно ( — 9 2 19 3 ) > и > \\ > и > \ end > * <\ begin 13 & 26 \\ 39 & 13 \ end > = <\ begin -9 & 2 \\ 19 & 3 \ end >>