Какие числа называют составными в математике
Натуральные числа бывают простыми и составными. Если у числа есть только два делителя — единица и само число — то его называют простым. Самое маленькое простое число — это 2. Например, к простым относят также 3, 5 и 7. У 3 есть только два делителя: 1 и 3. У 5 — 1 и 5. У 7 — 1 и 7. Определение 2
Составные числа являются натуральными и имеют больше двух делителей.
Например, 125 делится на 1, 5, 25, 125. Это составное число.
Единица не относится ни к простым, ни к составным натуральным числам.
Делителем числа называют такое число, при делении на которое полученный результат является целым (не имеет остатка). Нельзя назвать самое большое составное число, потому что их бесконечное множество. Но можно определить самое маленькое натуральное составное число — это 4.
Чем отличаются от простых
Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя. С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.
Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел. Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.
Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.
Основная теорема арифметики: Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.
Применение составных чисел
- в природе в виде математических форм: капли, раковины, перья, окрас, снежинки;
- в литературе;
- в современных цифровых технологиях;
- в транспорте, бизнесе, торговле.
Числа позволяют создавать математические модели, с опорой на которые принимаются актуальные решения.
Примеры решения задач
Найдите среди чисел 16, 37, 11, 58 и 13 составные.
По определению, число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя.
- Проверить, есть ли число в таблице простых чисел.
- Если нет, разложить на множители.
16 делится нацело, например, на 2 и 8, значит, 16 является составным.
37 можно найти в таблице простых чисел.
| 2 | 79 | 191 | 311 | 439 | 577 | 709 | 857 |
| 3 | 83 | 193 | 313 | 443 | 587 | 719 | 859 |
| 5 | 89 | 197 | 317 | 449 | 593 | 727 | 863 |
| 7 | 97 | 199 | 331 | 457 | 599 | 733 | 877 |
| 11 | 101 | 211 | 337 | 461 | 601 | 739 | 881 |
| 13 | 103 | 223 | 347 | 463 | 607 | 743 | 883 |
| 17 | 107 | 227 | 349 | 467 | 613 | 751 | 887 |
| 19 | 109 | 229 | 353 | 479 | 617 | 757 | 907 |
| 23 | 113 | 233 | 359 | 487 | 619 | 761 | 911 |
| 29 | 127 | 239 | 367 | 491 | 631 | 769 | 919 |
| 31 | 131 | 241 | 373 | 499 | 641 | 773 | 929 |
| 37 | 137 | 251 | 379 | 503 | 643 | 787 | 937 |
| 41 | 139 | 257 | 383 | 509 | 647 | 797 | 941 |
| 43 | 149 | 263 | 389 | 521 | 653 | 809 | 947 |
| 47 | 151 | 269 | 397 | 523 | 659 | 811 | 953 |
| 53 | 157 | 271 | 401 | 541 | 661 | 821 | 967 |
| 59 | 163 | 277 | 409 | 547 | 673 | 823 | 971 |
| 61 | 167 | 281 | 419 | 557 | 677 | 827 | 977 |
| 67 | 173 | 283 | 421 | 563 | 683 | 829 | 983 |
| 71 | 179 | 293 | 431 | 569 | 691 | 839 | 991 |
| 73 | 181 | 307 | 433 | 571 | 701 | 853 | 997 |
Число 11 также найдем в таблице простых чисел.
58 можно разделить на 2, так как по признаку делимости, если число оканчивается четной цифрой, то оно делится нацело на 2. Значит, число имеет делитель, который отличается от 1 и 58. Следовательно, 58 — составное.
13 находим в таблице простых чисел.
Докажите, что число 296 является составным.
Число является составным, если у него есть хотя бы один делитель, кроме единицы и самого себя.
Для нахождения делителя, используем признаки делимости.
296 заканчивается на 6. Цифра 6 — четная, значит, по признаку делимости число делится без остатка на 2. И, если у него есть хотя бы один делитель, кроме 1 и 296 (в данном случае это 2), то оно является составным.
Что и требовалось доказать.
Можно ли говорить о том, что все четные числа являются составными?
Ответ: нет, так как, например, число 2 является четным, но при этом простым, потому что имеет только два делителя — 1 и 2.
Приведите примеры четырех составных чисел, кратных 3.
Числа, которые кратны трем, делятся на 3 нацело.
Вспоминаем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться нацело на 3.
Тогда нужными нам примерами могут быть: 27, 126, 45 и 99.
27: составное число, так как имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя — это 3. Сумма цифр числа равняется 9. Девять кратно 3.
126: составное, так как делится нацело на 2 — в разряде единиц стоит четная цифра 6. Сумма цифр — 1 + 2 + 6 = 9— 9 кратно 3.
45: составное, делится нацело на 5 по признаку делимости. Сумма цифр равна 9, девять кратно 3.
99: составное, так как делится нацело на 9 по признаку делимости. Сумма цифр равна 18, а 18 кратно 3.
Ответ: 27, 126, 45 и 99.
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Докажите что число 30239 23930 составное
Пусть ka ≡ kb (mod %)%m, k и m – взаимно просты. Тогда a ≡ b (mod %)%m.
Решение:
Поскольку ka ≡ kb (mod %)%m, то ka – kb = k(a – b) делится на m. Так как k и m взаимно просты, то a – b делится на m, т.е. a ≡ b (mod %)%m.
Задача 86:
Пусть ka ≡ kb (mod kn). Тогда a ≡ b (mod %)%n.
Решение:
ka – kb делится на kn, т.е. k(a – b) = mkn. Следовательно, a – b = mn, ч.т.д.
Задача 87:
Найдите остаток от деления 2¹ºº на 101.
Решение:
Вследствие малой теоремы Ферма, он равен 1.
Задача 88:
Найдите остаток от деления 3¹º² на 101.
Решение:
Так как 101 – простое число, то 3¹ºº ≡ 1 (mod 101). Отсюда 3¹º² ≡ 9 3¹ºº = 9 (mod 101).
Задача 89:
Докажите, что 300³ººº – 1 делится на 1001.
Решение:
300³ººº = (300 500 ) 6 ≡ 1 (mod 7). Аналогично, 300³ººº ≡ 1 (mod 11) и (mod 13). Следовательно, 300³ººº – 1 делится и на 7, и на 11, и на 13, т.е. на 1001.
Задача 90:
Найдите остаток от деления 8 900 на 29.
Решение:
Задача 91:
Докажите, что 7¹²º – 1 делится на 143.
Решение:
Докажем, что 7¹²º – 1 делится на 11 и на 13. Действительно, (7¹²)¹º ≡ 1 (mod 11) и (7¹º)¹² ≡ 1 (mod 13).
Задача 92:
Докажите, что число 30 239 + 239³º – составное.
Решение:
Это число делится на 31.
Задача 93:
Пусть p – простое число. Докажите, что (a + b) p = a p + b p (mod %)%p для любых целых a и b.
Решение:
(a + b) p ≡ (a + b) = a + b ≡ a p + b p (mod p).
Задача 94:
Сумма трех чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a 5 + b 5 + c 5 также делится на 30.
Решение:
Докажите, что для произвольного целого x верно сравнение x 5 ≡ x (mod 30).
Задача 95:
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
а) p q + q p = p + q (mod pq).
б) – четное число, если p, q ≠ 2.
Решение:
Докажите, что p q + q p – p – q делится и на p, и на q.
Задача 96:
Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого ab ≡ 1 (mod p).
Решение:
Положите b = a p – 2 .
Задача 97:
(Теорема Вильсона). Пусть p – простое число. Докажите, что (p – 1)! ≡ – 1 (mod %)%p.
Задача 98:
Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n 8 + 1, либо n 8 – 1 делится на 17.
Решение:
(n 8 + 1)(n 8 – 1) = n 16 – 1 = 0 (mod 17).
Задача 99:
а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111 … 11 (p единиц) не делится на p.
б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 111 … 11 (p – 1 единица) делится на p.
Решение:
а) 111 … 11 (p единиц) = (10 p – 1)/9, а 10 p – 1 не делится на p, так как 10 p – 1 ≡ 10 – 1 = 9 (mod p).
б) 111 … 11 (p – 1 единица) = (10 p – 1 – 1)/9, а 10 p – 1 – 1 делится на p, так как p взаимно просто с 10 и с 9.
Задача 100:
Докажите, что для любого простого p разность 111 … 11222 … 22333 … 33 … 888 … 88999 … 99 – 123456789 (в первом числе каждая ненулевая цифра написана p раз) делится на p.
Решение:
Воспользуйтесь тем, что 10 p ≡ 10 (mod p), 10 2p ≡ 100 (mod p), …, 10 8p ≡ 10 8 (mod p).
| Задачная база >> Разное >> Математический кружок. 2-й год >> Делимость-2 >> Малая теорема Ферма | Убрать решения |
Докажите что число 30239 23930 составное
Докажите, что число 30 239 + 239 30 составное.
Подсказка
Это число делится на 31.
Решение
30 239 + 239 30 ≡ (–1) 239 + 1 = 0 (mod 31).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: «АСА» |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Делимость-2 |
| Тема | Теория чисел. Делимость |
| задача | |
| Номер | 092 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 4 |
| Название | Арифметика остатков |
| Тема | Деление с остатком. Арифметика остатков |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Теоремы Ферма и Эйлера |
| Тема | Малая теорема Ферма |
| задача | |
| Номер | 04.119 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Теория чисел из книги Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел.
Глава 3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 1. Простые числа Определение. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. По соглашению, 1 не является простым числом. Остальные числа. Показать больше
Глава 3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 1. Простые числа Определение. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. По соглашению, 1 не является простым числом. Остальные числа, имеющие три и более делителей, называются составными. 3.1. Теорема Евклида. Докажите, что простых чисел бесконечно много. 3.2. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17. 3.3. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 — простое число. 3.4. Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число. 3.5. Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство p2 − 2q2 = 1. 3.6. Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 — простое число. 3.7. Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно. (См. также 4.127.) 3.8. Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно. (См. также 4.128.) 3.9. Докажите, что составное число n всегда имеет Спрятать
- Похожие публикации
- Поделиться
- Код вставки
- Добавить в избранное
- Комментарии
Механизм творчества решения нестандартных задач
Книга знакомит читателя с идеями и механизмом усовершенствования аппарата творчества, необходимого для решения нестандартных задач. Дает представление о новом подходе к обучению и рассказывает о методике достижения значимых результатов в этом процессе. На достаточно большом объеме олимпиадных задач показаны различные приемы решений, при этом вычленены и обобщены их особенности.Для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений, студентов педагогических университетов и учителей математики.
Составные и простые числа
Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы определить, является ли указанное вами число составным или простым. Пожалуйста, введите целое положительное число в поле ниже.
Подробнее об этом калькуляторе составных и простых чисел
Данный калькулятор позволяет оценить, является ли данное число составным или простым, на основе его факторов. Заданное число должно быть действительным целым положительным числом. Например, вы можете ввести число ‘3’, ‘9’ и т.д.
После ввода действительного целого положительного числа нужно нажать кнопку «Вычислить», после чего будет получен ответ и шаги.
Процесс основан на нахождение коэффициентов заданного числа для того, чтобы сделать заключение о том, является ли число составным или простым.
Является ли число составным или простым?
Составное число таково, что оно имеет факторы, отличные от 1 и самого себя. С другой стороны, простое число имеет в качестве факторов только 1 и себя. Например, 4 не является простым числом (поэтому оно составное), поскольку \(4 = 2 \cdot 2\), что означает, что 2 является фактором, а 2 — это не 1 и не 4. С другой стороны, 5 — простое число, потому что его единственными факторами являются 1 и 5.
Каковы этапы оценки того, является ли число составным или простым
- Шаг 1: Определите число, которое вы хотите проанализировать. Продолжайте процесс, только если оно является целым положительным числом. Назовите число ‘n’
- Шаг 2: Найдите коэффициенты числа ‘n’
- Шаг 3: Если существует фактор, который не является ни 1, ни «n», то число является составным \
- Шаг 4: Если единственными факторами являются 1 и ‘n’, то число является простым
Почему вас интересуют составные и простые числа?
Часто бывает, что вы хотите сокращать дробь или же упрощать алгебраические выражения в этом случае полезно иметь возможность определить, являются ли числа составными или нет, чтобы попытаться упростить их.
Пример: факторы числа
Вычислите коэффициенты 23. Является ли 23 простым или составным?
Отвечать: Проверив все возможные простые делители числа \(n = 23\), мы обнаружим, что нет никаких коэффициентов, кроме 1 и 23, следовательно, число \(n = 23\) простое, а простое разложение числа \(n = 23\) является самим собой.
Пример: составные числа
Является ли n = 10 составным или простым?
Отвечать: Во-первых, необходимо определить, имеет ли \(n = 10\) какие-либо простые делители. В этом случае обнаруживается, что
Поскольку \(n = 10\) имеет по крайней мере один фактор, который не является ни 1, ни самим собой, делается вывод, что \(n = 10\) является составным.
Пример: композит против прайма
Является ли n = 47 простым или составным? Как вы узнаете?
Отвечать: Проверив все возможные простые делители числа \(n = 47\), мы обнаружим, что оно не имеет коэффициентов, кроме 1 и \(47\), а значит, число \(n = 47\) простое, и простое разложение \(n = 47\) является самим собой.
Больше калькуляторов по алгебре
Расчет простое разложение числа это важнейшее свойство, которым обладают числа, и оно имеет множество применений, включая то, которое используется этим калькулятором в процессе оценки того, является ли число составным или простым.
Действительно, знание того, является ли число составным или простым, может помочь в вычислении числа наибольший общий делитель (GCD), а также наименьшее общее кратное (LCM).