U um cos wt что за формула
Перейти к содержимому

U um cos wt что за формула

  • автор:

«Колебания и волны»

Гармонические колебания ( механические и электромагнитные, примеры ) и их характеристики: Колебаниями называются, движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением: x(t) = Acоs( wt + φ0 ). Физический маятник — твердое тело, которое мо­жет совершать колебательное движение около некоторой оси, не проходящей через его центр тяжести. Математическим маятником называется модель, которая описывает поведение системы, представ­ляющей собой точечную массу m на невесомом стержне длиной L, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через один из ее концов. Уравнение математического маятника: φ + w0 2 sinφ = 0, w0 = √g / L. Колебания математического маятника не являются гармоническими, так как вынуждающая сила пропор­циональна синусу угла отклонения , а не углу. При малых отклонениях нити от вертикали колеба­ния математического маятника можно считать гармо­ническими, описываемыми следующей формулой: φ + w0 2 = 0. Период колебаний математического маятника определяется следующим соотношением: T = 2π√L / g. Период колебаний зависит не от массы, а от дли­ны нити: чем она длиннее, тем больше период. Груз на пружине. Колебания возникают при смещении груза по оси относительно по­ложения равновесия: φ + w0 2 x = 0, w0 = √k / m. Простейший колебательный электрический контур состоит из конденсатора С и индуктивности L, соединенных между собой. Пусть мы, разомкнув контур, зарядили конденса­тор. Между пластинами конденсатора возникнет электрическое поле, обладающее некоторой энергией. Замкнем теперь конденсатор на индуктивность. Конденсатор начнет разряжаться, и его электрическое поле будет уменьшаться. При этом в контуре возникнет электрический ток, а в катушке индуктивности появится магнитное поле. Через время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью, и электрическое поле исчезнет совсем. Но магнитное поле при этом достигнет максимума, т. е. энергия электрического поля перейдет в энергию магнитного поля. Далее магнитное поле будет исчезать, так как нет токов, его поддерживающих. Это исчезающее поле вызовет ток самоиндукции, который поддерживает ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен так же. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться, и между его пластинами появится элек­трическое поле противоположного направления. Через время, равное половине периода колебаний, магнитное поле исчезнет совсем, а электрическое поле достигнет максимума, т. е. энергия магнитного поля вновь превратилась в энергию электрического поля. В дальнейшем конденсатор снова будет разряжаться, и в контуре возникнет ток, направлен­ный противоположно току в предыдущей стадии про­цесса. Через три четверти периода конденсатор вновь разрядится, а энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля, и т. д. Через период колебаний электрическое состояние контура будет таким же, как и в начале колебаний. Процесс периодического изменения напряженности магнитного поля и напряженности электрического поля называется электромагнитными колебаниями. При этом электрическое поле периодически превращается в магнитное, а магнитное опять в электрическое. Сопротивление проводников ≠0, поэтому энергия, запасенная в контуре, расходуется на выделение тепла. Со временем уменьшается и заряд, возникающий в конденсаторе, и электрическое поле, возникающее в конденсатора, и магнитное поле в катушке индуктивности. Следовательно, будет уменьшаться и сила тока в контуре, т. е. колебания будут затухающими. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний и его решение: В цепи, содержащей индуктивность и емкость могут возникать электрические колебания. Эта цепь называется колебательным контуром. Эти колебания и будут свободными и незатухающими. Уравнение: I = dq / dt = q / , IR = φ1 – φ2 + E , R =0, φ1 – φ2 = -q / C , E = -L ( dI / dt )  0 = -q /C – L ( dI / dt )  q // + q / LC = 0 , w0 = 1 / √LC  q // + w0 2 q = 0. Решение: q = qmcos ( w0t + α ) . Таким образом, заряд на обкладках конден­сатора изменяется по гармоническому зако­ну с определенной частотой. Эта частота называется собствен­ной частотой контура. Период определяется формулой Томпсона: T = 2π√LC. Сила тока опережает по фазе напряжение на кон­денсаторе на π/2. В момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот. Um = qm / C , Im = w0qm  Um = Im √ L /C. Энергия гармонических колебаний: Энергия гармонических колебаний является суммой энергий электрического и магнитного поля. Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля, и наоборот. Энергия электрического поля: W = CUm 2 / 2, а магнитного: W = LIm 2 / 2. Электрический колебательный контур: В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания. Поэтому такая цепь называется коле­бательным контуром. Колебания в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индук­тивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Воспользуемся первым способом. Присоединим отключенный от индуктивности конденса­тор к источнику напряжения. Это приведет к возникновению на обкладках разноименных зарядов +q и —q (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого рав­на 1 / 2 (q 2 /C). Если затем отключить источ­ник напряжения и замкнуть конденсатор на индуктивность, ем­кость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возник­нет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна LI 2 / 2. Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается, и, когда заряды на обкладках достигнут первоначального значения q, сила тока станет равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (стадии 4 и 5), после чего система приходит в исходное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

  1. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных, примеры) и его решение. Логарифмический декремент и коэффициент затухания. Добротность колебательного контура. Апериодический процесс.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение:Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение: IR = -q /C – L ( dI / dt ) Разделим все на L. Пусть q// = dI / dt , I = dq / dt = q/ , β = R / 2L, w0 = 1 / √LC  q// + Rq/ / L + w02q = 0  q// + 2βq/ + w02q = 0 . Решение: q = qme-βt cos ( wt + α ) . Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты. При наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем в на π / 2. При R = 0, опережение составляет π / 2.

Логарифмический декремент и коэффициент затухания: Если A(t), A(t+T), амплитуды двух последовательных колебаний то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент обратен числу колебаний, совершаемых за время, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз. Он является характеристикой контура. Также существует и коэффициент затухания . Он определяет во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за единицу времени.

Добротность колебательного контура:

Добротность определяется как величина, обратно-пропорциональная логарифмическому декременту затухания. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. В случае слабого колебания: Q = ( 1 / R ) * √ LC. Добротность контура показывает во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Апериодический процесс: При увеличении коэффициента затухания  период затухающих колебаний растёт и при =0 обращается в бесконечность, т.е. движение перестаёт быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю когда t . Процесс называется апериодическим.

  1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Векторная диаграмма. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

Векторная диаграмма:Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длиной х0, образующий с осью угол φ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью w0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от -х0 до +х0, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону x = x0cos( w0t + φ0 ). Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой чаете той, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быт задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фаз колебания.

Биения: Периодические изменения амплитуды колебаний возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями. X = x1 + x2 =[ 2x0cos ( Δwt / 2 )] cos wt. A = | 2x0cos ( Δwt / 2 ) |

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

  1. Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Уравнение плоской волны. Длина волны и волновое число. Волновой вектор. Волновое уравнение.

Механизм образования механических волн в упругой среде: Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Продольные и поперечные волны: В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой, и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Уравнение плоской волны: Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени. Она должна быть периодической как по времени, так и по координатам.

Длина волны и волновое число: Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Тогда λ = UT, T—период колебаний. Длину волны можно определить также, как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π. Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину К, которая называется волновым числом. Волновой вектор: Выразим L через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n номали к волновой поверхности. Скалярное произведение n на радиус-вектор любой из точек поверхности равно L. nr = r*cosφ = L , вектор K = kn равный по модулю волновому числу k = 2π / λ и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Волновое уравнение:Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. , где Δ—не дельта, а оператор Лапласа.

  1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Резонансные кривые колебательного контура.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение: Колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы называются вынужденными колебаниями. . Уравнение: IR = -q /C – L ( dI / dt ) + Umcos ( wt ). После преобразований: разделим все на L. Пусть q// = dI / dt , I = dq / dt = q/ , β = R / 2L, w0 = 1 / √LC  q// + Rq/ / L + w02q = 0  q// + 2βq/ + w02q = (Um / L ) * cos( wt ). . Решение: q = qm cos (wt-ψ) + qme-βt cos (wt+α ) . Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна приложенному напряжению.

Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π / 2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π / 2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по фазе с током.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний: Амплитуда и фаза вынужденных колебаний задается с помощь прибора, подающего напряжение. Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π / 2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π / 2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по фазе с током.

Резонанс.Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте рез называется резонансом. Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Такой процесс осуществляется в радиоприемнике.

Резонансные кривые колебательного контура:Для наглядного отображения зависимости силы тока, или напряжения от частоты применяются резонансные кривые. По резонансным кривым можно определьть значение добротности контура. Она определяется: Q = w0 / Δw, где w0 –частота резонанса, Δw—значение резонансной кривой на высоте Im или Um равной √2. Однако эта формула верна лишь при больших значениях добротности, то есть, когда затухание свободных колебаний в контуре мало.

Гармонические колебания физика 10-11 класс

1. Сила тока на катушке в цепи переменного тока изменяется по закону i = Imах ∙ sin ωt. По какому закону изменяется при этом напряжение в цепи?
2. Напряжение на конденсаторе в цепи переменного тока изменяется по закону u = Umax ∙ cos ωt. По какому закону изменяется при этом сила тока в цепи? *

Лучший ответ
1.i = Imах ∙ sin ωt; u=Um*sin(ωt +pi/2)
2. u = Umax ∙ cos ωt; i=Im*cos(ωt +pi/2)
Остальные ответы

Не вижу вариантов ответа. Но по идее напряжение изменяется по закону U=Umcoswt
А во втором задании по идее
I=-Imsinwt. Если нет варианта с минусом выбирай без минуса.

Дарья РомановаУченик (66) 4 года назад
Хорошо, спасибо Вам большое)

Я стану водопадом Падением с высоты Мастер (1811) Надеюсь правильно. Не за что. Можно и на ты я не особо тебя старше))

Точно по тому же закону, только напряжение на индуктивности опережает ток, а на конденсаторе отстаёт от тока.
Углы будут разные.

Пример решения контрольной по электротехнике — 2

На рисунке, изображён магнитопровод с воздушным зазором. Материал сердечника — эле к тротехническая сталь. Размеры сердечника по средней магнитной линии в мм : ℓ 1 =280 мм ; ℓ 2 =330 мм ; ℓ 3 =370 мм ; ℓ 0 =2 мм. Толщина сердечника 50 мм. В сердечнике требуется создать магнитный поток Ф=0,0048 Вб. Определить ток, который должен проходить по обмотке к а тушки, если она имеет w = 800 витков. Вычислить, также ток катушки, для создания заданн о го магнитного потока, если в сердечнике будет отсутствовать воздушный зазор.

Дано : ℓ 1 = 280 мм ; ℓ 2 =330 мм ; ℓ 3 =370 мм ; ℓ 0 =2 мм ; d =50 мм ; w =800 ; Ф=0,0048 Вб.

1. Начертим схему замещения магнитной цепи.

Цепь содержит три участка : первый состоит из одного участка – электротехнической стали ; второй из одного участка – электротехнической стали ; третий из двух участков — электр о технической стали и воздушного зазора.

Найдём длины и площади сечения участков.

Первый участок : S 1 =0.05 × 0. 1 = 5× 10 -3 м 2 ; ℓ 1 = 280 мм=0, 28 м

Второй участок : S 2 =0.05 × 0.0 8 = 4× 10 -3 м 2 ; ℓ 2 = 330 мм=0, 33 м ;

Третий участок : S 3 =0. 05 × 0.0 8 = 4× 10 -3 м 2 ; ℓ 3 = 370 мм=0, 37 м.

2. Составим для магнитной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

По второму закону Кирхгофа составляем одно уравнение.

Ф( R м1 + R м2 + R м3 + R 0 )= F ( 1 )

Найдём магнитные индукции на каждом участке : B 1 = Ф/ S 1 =0.0048/0.005=0.96 Тл ;

B 2 = B 3 = B 0 = Ф/ S 2 = Ф/ S 3 =0.0048/0.004=1.2 Тл

Найдём напряжённости магнитного поля на каждом участке : на участках из электротехн и ческой стали напряжённость поля находим по кривой намагничивания

H 1 =600 А/м ; H 2 = H 3 =1400 А/м.

Напряжённость магнитного поля находим по формуле : H 0 = B 0 / μ 0 =1.2/(4 π ×10 -7 )=9.6×10 5 А/м

(где μ 0 =4 π ×10 -7 Гн/м – магнитная постоянная).

Запишем уравнение (1) :

F = Iw = H 1 ℓ 1 + H 2 ℓ 2 + H 3 ℓ 3 + H 0 ℓ 0 =600×0.28+1400×0.33+1400×0.37+ 9.6×10 5 ×0.002=3068 А

Откуда находим ток, который должен проходить по обмотке : I =3068/800=3.8 А

Найдём ток в обмотке катушки, необходимый для создания магнитного потока Ф=0,0048 Вб, если воздушный зазор отсутсвует.

F = Iw = H 1 ℓ 1 + H 2 ℓ 2 + H 3 ( ℓ 3 + ℓ 0 )=600×0.28+1400×(0.33+0.37+0.002)=1150.8

Откуда ток катушки : I =1150.8/800=1.4 А

Ответ : 1) I=3.8 A ; 2) I=1.4 A .

К переменному напряжению U =150 В частотой f =50 Гц подключены последовательно с о единённые резистор и конденсатор. По цепи проходит ток I = 3 А, при этом на резисторе во з никает падение напряжения U a =90 В. Начертить схему цепи. Определить полное сопроти в ление цепи z , сопротивление резистора R , сопротивление X C и ёмкость С конденсатора, к о эффициент мощности cos φ , напряжение U C на ёмкостном сопротивлении. Построить в ма с штабе m u =20 В/см векторную диаграмму напряжений , отложив горизонтально вектор тока.

Дано : U =150 В ; f =50 Гц ; I =3 А ; U a =90 В.

Найти : z , R , X C , C , cos φ , U C .

Находим полное сопротивление цепи : z = U / I =150/3=50 Ом.

Сопротивление резистора : R = U a / I =90/3=30 Ом.

Находим сопротивление X C : X C = =40 Ом.

Находим ёмкость конденсатора : C =1/(2 π fX C )=1/(2×50×3.14×40)=79.6×10 -6 Ф=79,6 мк Ф.

Находим коэффициент мощности цепи : cos φ = R / z =30/50= 0.6

Находим напряжение на ёмкости : U C = IX C =3×40=1 20 В.

Для построения векторной диаграммы, найдём длины векторов : ℓ Ua = U a / m u =90/20=4.5 см ;

ℓ Uc = U C / m u =120/20=6 см.

Построение векторной диаграммы начинаем с построения вектора тока I , который отклад ы ваем горизонтально. Вектор напряжения U a откладываем параллельно вектору тока I . От конца вектора U a откладываем вектор напряжения U C перпендикулярно вектору тока I , в ст о рону его опережения. Геометрическая сумма векторов U a и U C даёт вектор U .

Схема цепи и векторная диаграмма построены на рисунке.

Ответ : z =50 Ом ; R =30 Ом ; X C =40 Ом ; C = 79,6 мкФ ; cos φ =0.6 ; U C =120 В.

Последовательно с катушкой, активное сопротивление которой R =5 Ом и индуктивное X L =

=26 Ом, включен конденсатор, ёмкостное сопротивление которого X C =14 Ом. Ток в цепи I =12 А, частота f =50 Гц. Начертить схему цепи. Определить полное сопротивление цепи z ; коэффициент мощности cos φ и напряжение на зажимах цепи U . Вычислить индуктивность катушки L 0 , при которой в цепи наступает резонанс напряжений. Для режима резонанса напряжений определить полное сопротивление цепи z 0 ; ток I 0 ; падение напряжения на а к тивном U a 0 и ёмкостном U C 0 сопротивлениях ; коэффициент мощности цепи cos φ 0 ; полную S , активную P и реактивную Q мощности цепи. Построить в масштабе m u = 50 В/см векто р ную диаграмму напряжений для режима резонанса, отложив горизонтально вектор тока.

Дано : R =5 Ом ; X L =260 Ом ; X C =14 Ом ; I=12 A ; f=50 Гц .

Найти : z ; cos φ ; U ; L 0 ; z 0 ; I 0 ; U a0 ; U C0 ; c os φ 0 ; S ; P ; Q .

Схема цепи приведена на рисунке.

Полное сопротивление цепи : z = = 13 Ом

Коэффициент мощности цепи : cos φ = R / z =5/13=0,38

Напряжение, приложенное к цепи : U = Iz =12 ×13=156 В

Найдём индуктивность катушки, которую нужно включить в сеть с конденсатором, чтобы в цепи возник резонанс напряжений. Условие резонанса :

X L 0 = X C =14 Ом

Индуктивность катушки : L 0 = X L 0 /(2 π f )=14/(2×3.14×50)=0.045 Гн=45 мГн.

Полное сопротивление цепи в режиме резонанса напряжений равно активному сопротивл е нию : z 0 = R =5 Ом.

Ток в цепи в режиме резонанса напряжений : I 0 = U / z 0 =156/5=31,2 А.

Падение напряжения на активном сопротивлении в режиме резонанса напряжений : U a 0 = I 0 R =31.2×5=156 В.

Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении в режиме резонанса напряжений :

U C 0 = I 0 X C =31.2×14=436.8 В.

Коэффициент мощности цепи в режиме резонанса напряжений : cos φ 0 = R / z 0 =5/5=1

Активная P , реактивная Q и полная S мощности цепи в резонансе напряжений :

P=I 0 2 R=31.2 2 ×5=4867.2 Вт ; Q=0 ; S=P=4867.2 В ∙ А .

Для построения векторной диаграммы найдём длины векторов : ℓ Ua =156/50=3.1 см ;

ℓ Uc 0 =436.8/50=8.7 см.

Построение векторной диаграммы начинаем с построения вектора тока I , который отклад ы ваем горизонтально. Вектор напряжения U a 0 откладываем параллельно вектору тока I . От конца вектора U a 0 откладываем вектор напряжение U C 0 перпендикулярно вектору тока I в сторону отставания от него. От конца вектора U C 0 откладываем вектор напряжения U L 0 пе р пендикулярно вектору тока I в сторону его опережения (по модулю вектора U C 0 и U L 0 равны).

Геометрическая сумма векторов U a 0 , U C 0 и U L 0 даёт вектор напряжения U , приложенного к цепи ( U = U a 0 ) .

Ответ : z =13 Ом ; cos φ =0.38 ; U =156 В ; L 0 =45 мГн ; z 0 =5 Ом ; I 0 =31.2 A ; U a 0 =156 В ; U C 0 =

=436.8 В ; cos φ 0 =1 ; P =4867.2 Вт ; Q =0 ; S =4867.2 В ∙ А .

Цепь переменного тока состоит из двух параллельных ветвей. В первую ветвь включены последовательно активное и индуктивное сопротивления : R 1 =12 Ом ; X L =9 Ом. Вторая ветвь состоит из последовательно соединённых активного и ёмкостного сопротивлений : R 2 =12 Ом ; X C =16 Ом. Напряжение на зажимах цепи U =220 В. Начертить схему цепи. Определить токи I 1 , I 2 в параллельных ветвях и ток I в неразветвленной части цепи ; коэффициент мощности всей цепи ; активную P , реактивную Q и полную S мощности цепи. Задачу решить методом разложения токов на активные и реактивные составляющие. Построить векторную диагра м му токов в масштабе m i =2 А/см. Вычислить активную g и реактивную b c проводимости вт о рой ветви.

Дано : R 1 =12 Ом ; X L =9 Ом ; R 2 =12 Ом ; X C =16 Ом ; U =220 В.

Найти : I 1 , I 2 , I , cos φ , P , Q , S , g 2 , b c .

Схема цепи изображена на рисунке.

Находим полные сопротивления параллельных ветвей.

Z 1 = =15 Ом ; Z 2 = =20 Ом.

Находим токи в параллельных ветвях : I 1 = U / Z 1 =220/15=14.7 A ; I 2 = U / Z 2 =220/20=11 A

Найдём углы сдвига фаз между токами I 1 и I 2 и напряжением U .

φ 1 = arctg[X L /R 1 ]=arctg[9/12]=37°

φ 2 =arctg[-X C /R 2 ]=arctg[-16/12]=-53°

Находим активные составляющие токов I 1 , I 2 и I .

I a1 =I 1 cos φ 1 =14.7×cos(37°)=11.7 A ; I a2 =I 2 cos φ 2 =11×cos(-53°)=6.6 A ;

I a = I a 1 + I a 2 =11.7+6.6=18.3 A

Находим реактивные составляющие токов I 1 , I 2 и I .

I p1 =I 1 sin φ 1 =14.7×sin(37°)=8.8 4 A ; I p2 =I 2 sin φ 2 =11×sin(-53 °)=-8. 78 A

I p = I p 1 + I p 2 =8.8 4-8.78= 0,06 А

Полный ток в неразветвленной части цепи : I = =18.3 A .

Найдём коэффициент мощности цепи : cos φ = I a / I =18.3/18.3=1

В цепи имеет место резонанс токов.

Найдём активную P , реактивную Q и полную S мощности цепи .

P=I 1 2 R 1 +I 2 2 R 2 =14.7 2 ×12+11 2 ×12=4045.08 Вт

Q= I 1 2 X L -I 2 2 X C =14.7 2 ×9-11 2 ×16=8.8 вар

S=UI=220×18.3=4026 В ∙ А , или S= =4045 В ∙ А .

Вычислим активную g 2 и реактивную b c составляющие второй ветви.

g 2 = R 2 / Z 2 2 =12/ 20 2 =0.05 сим ; b c =- X C / Z 2 2 =-16/20 2 =-0.04 сим.

Для построения векторной диаграммы найдём длины векторов :

ℓ Ia1 =I a1 /m I =11.7/2=5.9 см ; ℓ Ip1 =I p1 /m I =8.84/2=4.4 см ; ℓ I1 =I 1 /m I =14.7/2=7.4 см ;

ℓ Ia2 =I a2 /m I =6.6/2=3.3 см ; ℓ Ip2 =I p2 /m I =8.78/2=4.4 см ; ℓ I2 =I 2 /m I =11/2=5.5 см .

ℓ Ia =I a /m I =18.3/2=9.2 см ; ℓ Ip =I p /m I =0.06/2=0.03 см ; ℓ I =I/m I =18.3/2=9.2 см .

Построение векторной диаграммы начинаем с построения вектора напряжения U , который откладываем горизонтально. Вектор тока I a 1 откладываем параллельно вектору напряжения U . От конца вектора I a 1 откладываем вектор тока I p 1 перпендикулярно вектору U в сторону отставания от него. Геометрическая сумма векторов I a 1 и I p 1 дают вектор I 1 . Вектор тока I a 2 откладываем параллельно вектору напряжения U . От конца вектора I a 2 откладываем вектор тока I p 2 перпендикулярно вектору напряжения U в сторону его опережения. Геометрическая сумма векторов I a 2 и I p 2 дают вектор I 2 . Вектор I строим как геометрическая сумма векторов I 1 и I 2 , или как геометрическую сумму векторов I a и I p .

Ответ : I 1 =14.7 A ; I 2 =11 A ; I=18.3 A ; cos φ =1 ; P=4045 Вт ; Q=8.8 вар ; S=4045 В ∙ А ; g 2 =0.05 сим ; b c =-0.04 сим .

Три одинаковых приёмника с сопротивлениями Z A = Z B = Z C =12+ j 16 Ом, соединены звездой и питаются от трёхфазной сети с линейным напряжением U л =220 В. Начертить схему цепи. Определить фазное напряжение U ф ; фазные I ф и линейные I л токи ; полную S , активную P и реактивную Q мощности ; коэффициент мощности cos φ трёхфазного потребителя. Построить в масштабе m u =40 В/см , m I =2 А/см векторную диаграмму напряжений и токов.

Дано : Z A = Z B = Z C =12+ j 16 Ом ; U л =220 В

Найти : U ф , I ф , I л , S , P , Q , cos φ .

Так как приёмник симметричный, то полное сопротивление фаз :

Z = Z A = Z B = Z C = = =20 Ом.

Фазное напряжение : U ф = U л / =220/ =127 В

Так как приёмник соединён звездой, то фазные и линейные токи равны :

I ф = I л = U ф / Z =127/20=6.35 А.

Коэффициент мощности цепи : cos φ = R / Z =12/20=0.6 ; угол сдвига фаз между током I ф и напряжением U ф : φ = arccos (0.6)= 53°

Активная мощность цепи : P =3 I ф 2 R =3×6.35 2 ×12=1452 Вт.

Реактивная мощность цепи : Q =3 I ф 2 X =3×6.35 2 ×16=1935 вар

Полная мощность цепи : S = =2419 В ∙ А.

Для построения векторной диаграммы найдём длины векторов :

ℓ U ф = U ф / m u =127/40=3.2 см ; ℓ I ф = I ф / m I =6.35/2=3.2 см.

Построение диаграммы начинаем с построения векторов фазных напряжений U A , U B и U C , которые откладываем под углом 120° относительно друг – друга, предварительно отложив вектор U A вдоль вещественной оси.

Вектора фазных токов откладываем под углом φ =53° от соответствующих фазных напр я жений. Соединив концы векторов фазных напряжений, получим треугольник линейных напряжений.

Ответ : U ф =127 В ; I ф =6,35 А ; S =2419 В ∙ А ; P =1452 Вт ; Q =1935 вар ; cos φ =0.6 .

Конденсатор С=30 мкФ, соединённый последовательно с резистором R =0.5 МОм , заряжае т ся от сети с постоянным напряжением U = 220 В. Определить постоянную времени цепи τ и значение разрядного тока и напряжения в конденсаторе для моментов времени t =0, τ , 2 τ , 3 τ , 4 τ , 5 τ . Начертить схему цепи. Построить в масштабе кривые i зар = f ( t ) ; u c = f ( t ) .

Дано : С=30 мкФ ; R =0.5 МОм ; U =220 В.

Найти : τ ; i зар = f ( t ) ; u c = f ( t ).

Постоянная времени цепи : τ = RC =0.5×10 6 ×30×10 -6 =15 c

Напряжение на конденсаторе при заряде : u c = U (1- e — t / τ ) =220(1- e — t / τ ) В

Вычислим значение напряжения на конденсаторе в моменты времени : t =0, τ , 2 τ , 3 τ , 4 τ , 5 τ . Вычисления сведём в таблицу.

Расчетные формулы

Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные волны.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.

Продольные волны распространяются в жидкостях и газах

В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные

вынужденные электрические колебания. Резонанс напряжений и токов

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.

Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1): e (t) = 0 cos ωt,

где 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Вынужденные колебания в контуре

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде uR + uC + uL = e (t) = 0 cos ωt,

где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм.

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Рисунок 2.3.2.Изображение гармонических колебаний A cos (ωt + φ1), B cos (ωt + φ2) и их суммы C cos (ωt + φ) с помощью векторов на векторной диаграмме

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам A и B колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ1 – φ2. Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R, конденсатору с емкостью C и катушки с индуктивностью L. Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

Явление резонанса. Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, может служить колебательным контуром, где возникает процесс колебаний электрической энергии, переходящей из индуктивности в емкость и обратно. В идеальном колебательном контуре эти колебания будут незатухающими. При подсоединении колебательного контура к источнику переменного тока угловая частота источника ? может оказаться равной угловой частоте ?0, с которой происходят колебания электрической энергии в контуре. В этом случае имеет место явление резонанса, т. е. совпадения частоты свободных колебаний ?0, возникающих в какой-либо физической системе, с частотой вынужденных колебаний ?, сообщаемых этой системе внешними силами.

Резонанс в электрической цепи можно получить тремя способами: изменяя угловую частоту ? источника переменного тока, индуктивность L или емкость С. Различают резонанс при последовательном соединении L и С — резонанс напряжений и при параллельном их соединении — резонанс токов. Угловая частота ?0, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

Резонанс напряжений. При резонансе напряжений (рис. 196, а) индуктивное сопротивление XL равно емкостному Хс и полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R:

Z = ?( R2 + [?0L — 1/(?0C)]2 ) = R

В этом случае напряжения на индуктивности UL и емкости Uc равны и находятся в противофазе (рис. 196,б), поэтому при сложении они компенсируют друг друга. Если активное сопротивление цепи R невелико, ток в цепи резко возрастает, так как реактивное сопротивление цепи X = XL—Xс становится равным нулю. При этом ток I совпадает по фазе с напряжением U и I=U/R. Резкое возрастание тока в цепи при резонансе напряжений вызывает такое же возрастание напряжений UL и Uc, причем их значения могут во много раз превышать напряжение U источника, питающего цепь.

Угловая частота ?0, при которой имеют место условия резонанса, определяется из равенства ?oL = 1/(?0С).

Рис. 196. Схема (а) и векторная диаграмма (б) электрической цепи, содержащей R, L и С, при резонансе напряжений

Если плавно изменять угловую частоту ? источника, то полное сопротивление Z сначала начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения при резонансе напряжений (при ?o), а затем увеличивается (рис. 197, а). В соответствии с этим ток I в цепи сначала возрастает, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается.

Резонанс токов. Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис. 198, а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R1=R2 = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость, т. е. ?oL = 1/(?oC). Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части

цепи при резонансе I=U?(G2+(BL-BC)2)= 0. Значения токов в ветвях I1 и I2 будут равны (рис. 198,б), но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток IL в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости I с опережает напряжение U на 90°). Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи IL и Iс, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

Как следует из формулы (74), изменяя значения емкости С или индуктивности L, можно изменять частоту колебаний ?0 электрической энергии и тока в контуре, т. е. осуществлять настройку контура на требуемую частоту. Если бы в ветвях, в которых включены индуктивность и емкость, не было активного сопротивления, этот процесс колебания энергии продолжался бы бесконечно долго, т. е. в контуре возникли бы незатухающие колебания энергии и токов IL и Iс. Однако реальные катушки индуктивности и конденсаторы всегда поглощают электрическую энергию (из-за наличия в катушках активного сопротивления проводов и возникновения

Рис. 197. Зависимость тока I и полного сопротивления Z от ? для последовательной (а) и параллельной (б) цепей переменного тока

Рис. 198. Электрическая схема (а) и векторные диаграммы (б и в) при резонансе токов

в конденсаторах токов смещения, нагревающих диэлектрик), поэтому в реальный контур при резонансе токов поступает от источника некоторая электрическая энергия и по неразветвленной части цепи протекает некоторый ток I.

Условием резонанса в реальном резонансном контуре, содержащем активные сопротивления R1 и R2, будет равенство реактивных проводимостей BL = BC ветвей, в которые включены индуктивность и емкость.

Из рис. 198, в следует, что ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением U, так как реактивные токи 1L и Iс равны, но противоположны по фазе, вследствие чего их векторная сумма равна нулю.

Если в рассматриваемой параллельной цепи изменять частоту ?о источника переменного тока, то полное сопротивление цепи начинает увеличиваться, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается (см. рис. 197,б). В соответствии с этим ток I начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения Imin = Ia при резонансе, а затем увеличивается.

В реальных колебательных контурах, содержащих активное сопротивление, каждое колебание тока сопровождается потерями энергии. В результате сообщенная контуру энергия довольно быстро расходуется и колебания тока постепенно затухают. Для получения незатухающих колебаний необходимо все время пополнять потери энергии в активном сопротивлении, т. е. такой контур должен быть подключен к источнику переменного тока соответствующей частоты ?0.

Явления резонанса напряжения и тока и колебательный контур получили весьма широкое применение в радиотехнике и высокочастотных установках. При помощи колебательных контуров мы получаем токи высокой частоты в различных радиоустройствах и высокочастотных генераторах. Колебательный контур — важнейший элемент любого радиоприемника. Он обеспечивает его избирательность, т. е. способность выделять из радиосигналов с различной длиной волны (т. е. с различной частотой), посланных различными радиостанциями, сигналы определенной радиостанции.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания – совершаютсяв колебательных системах под действием внешней периодической силы, меняющейся по гармоническому закону:

f0 – амплитуда вынужденной силы

— частота вынужденной силы

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при частоте вынужденных колебаний близкой к собственной.

свободные затухающие электрические колебания

свободные затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают. Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также потерь, связанных с выделением теплоты, и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Вид закономерностей затухания колебаний задается свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, параметры которых, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса остаются неизменными. Например, линейными системами являются пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда выполняется закон Гука), колебательный контур, у которого сопротивление, индуктивность и емкость не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются аналогичными линейными дифференциальными уравнениями, что дает основания подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также моделировать их, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как

(1)

где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (1) запишем в виде

(2)

где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем

(3)

Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:

(4)

(если (ω02 — σ2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω02 >> σ2 )

(5)

(6)

— амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

(7)

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна

(так как затухание мало (ω02 >> σ2 ), то T принято равным Т0).

Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации.

Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).

свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди исследований различных электрических явлений особое место занимают исследования электромагнитных колебаний. При колебательном процессе электрические физические величины (заряды, токи) периодически изменяются и процесс сопровождается взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний применяется колебательный контур — цепь, которая состоит из последовательно включенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L, и конденсатора емкостью С.

Исследуем последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, у которого сопротивление пренебрежимо мало (R≈0). Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Следовательно, в начальный момент времени t=0 (рис. 1а) между обкладками конденсатора появится электрическое поле, энергия которого равна Q2/(2C) . Если конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то он начнет разряжаться, и в контуре начнет течь возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет падать, а энергия магнитного поля катушки (она равна (1/2)LI2 ) — увеличиваться.

Так как R≈0, то, используя закон сохранения энергии, полная энергия

поскольку полная энергия на нагревание не тратится. Поэтому в момент t=(1/4)T, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной нулю, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает максимального значения (рис. 1б). Далее, начиная с этого момента ток в контуре будет уменьшаться; значит, начнет уменьшаться магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (по правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Далее, начнет перезаряжаться конденсатор, появится электрическое поле, которое будет стремиться ослабить ток, который в конце концов станет равным нулю, а заряд на обкладках конденсатора станет максимальным (рис. 1в). Далее те же процессы будут протекать в обратном направлении (рис. 1г) и к моменту времени t=Т система придет в первоначальное состояние (рис. 1а). После этого рассмотренный цикл разрядки и зарядки конденсатора будет повторяться. Если бы в контуре потерь энергии не было, то совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, сила тока I, текущего через катушку индуктивности и напряжение U на конденсаторе . Значит, в контуре появляются электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

С электрическими колебаниями в колебательном контуре можно провести аналогию с механическими колебаниями маятника (рис. 1 внизу), которые сопровождаются взаимными превращениями кинетической и потенциальной энергий маятника (на рисунке Е — кинетическая энергия, П — потенцияльная). В данном случае энергия электрического поля конденсатора Q2/(2C) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L аналогична массе m, а сопротивление контура — силе трения, которая действуюет на маятник.

По закону Ома, для контура, который содержит резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L, и конденсатор емкостью С

где IR—напряжение на резисторе, UC = Q/C — напряжение на конденсаторе, ξs = -L(dI/dt) – э.д.с. самоиндукции, которая возникает в катушке при протекании в ней переменного тока (ξs – единственная э.д.с. в контуре). Значит,

(1)

Разделив формулу (1) на L и подставив и получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:

(2)

В рассматриваемом колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, значит колебания в контуре представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими. Тогда из (2) найдем дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:

Из формулы (1) следует, что заряд Q гармонически колеблеься по закону

где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ω0, которая называется собственной частотой контура, т. е.

(4)

(5)

Выражение (5) впервые было получено У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре

(6)

где Im = ω0Qm — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе равно

где Um=Qm/C — амплитуда напряжения.

Из формул (3) и (6) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на π/2, т.е., когда ток равен максимальному значению, заряд (а также и напряжение (7)) обращается в нуль, и наоборот.

Затухающие колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декрементзатухания, добротность

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

где — коэффициент затухания, — собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника где r — коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре (рис.7.1.1): , где R — величина активного сопротивления контура.

Для решения уравнения (7.1.1) производится подстановка . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:

(7.1.2)

которое имеет два корня:

, (7.1.3)

При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде , где — вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная , то корни уравнения (3) запишутся в виде:

Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

которую можно представить в виде:

, (7.1.6)

Здесь и — произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:

Скорость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания . В соответствии с выражением (7.1.7) коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:

При незначительном затухании ( ) период колебаний практически равен . С ростом период увеличивается. Из соотношения (7.1.7) следует, что . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм — логарифмическим декрементом затухания: (7.1.9)

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда энергия изменяется по закону:

(7.1.10)

где — значение энергии в начальный момент.

Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом g период колебаний увеличивается . При период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.

свободные гармонические колебания.амплитуда .период, частота , фаза колебаний. скорость и ускорение. энергия гармонических колебаний

Гармонические колебания — периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными. Рассмотрим массу, которая колеблется на пружине как показано на рисунке. Если амплитуда колебаний мала, то координата x массы по вертикальной оси изменяется по гармоническому закону:

где A — амплитуда колебаний, t — время, j — фаза колебаний, w — угловая частота колебаний, w = 2pf = 2p /T, f — частота колебаний, T — период колебаний.

Далее мы найдём период колебаний T пружинного маятника, состоящего из грузика массой m и пружины жёсткостью k. Если грузик смещён из нулевого положения (в котором пружина не деформирована) на расстояние x, то на грузик со стороны пружины будет действовать сила -kx. Помимо этого на грузик действует сила тяжести mg. Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, приложенных к грузику, равна ma, где a — ускорение. Таким образом, мы можем записать дифференциальное уравнение для пружинного маятника:

md2x/dt2 = -kx + mg

где g- ускорение свободного падения в гравитационном поле,d2x/dt2 — вторая производная координаты x по времени t. Это уравнение имеет следующее решение:

x = Asin[(k/m)1/2t + j] + mg/k

Мы можем видеть из этой формулы, что период колебаний равен

и, соответственно, угловая частота w равна

Амплитуда колебаний A и фаза колебаний j зависят от начальных условий (в момент времени t=0): начального смещение грузика x0 и начальной скорости v0. В состоянии равновесия пружина растянута на величину mg/k.

Предположим, что колеблющийся грузик связан с пером, который рисует линию на бумажной ленте. Если лента движется равномерно в горизонтальном направлении, то перо будет рисовать на ней синусоиду. Зная скорость движения ленты и период синусоиды, мы можем вычислить период колебаний грузика на пружине.

В общем случае на осциллятор действует сила трения, пропорциональная скорости движения грузика: F=av. В случае пружинного маятника эта сила возникает из-за сопротивления воздуха и неупругих свойств самого материала, из которых изготовлена пружина. В результате, амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Уравнение свободного гармонического осциллятора с затуханием может быть записано следующим образом:

m(d2x/dt2) + a (dx/dt) + kx = mg

где a — коэффициент трения. Это уравнение может быть переписано в виде

d2x/dt2+ 2g(dx/dt) + W2x = g

где 2g = a / m; W2=k /m

В случае, когда W2 > g2 уравнение колебаний свободного гармонического осциллятора с затуханием имеет следующее решение:

x = Ae-gtcos(wt + j )

При этом период колебаний зависит от коэффициента затухания g :

T = 2p/w= 2p/(W2 -g2)1/2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *