Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства
Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равен единице.
Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через диаметр:
2. Формула длины окружности через радиус:
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
2. Формула площади круга через диаметр:
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
r 2 = ( x — a ) 2 + ( y — b ) 2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2 r sin α 2
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
Основные свойства хорд
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
6. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.
2. Вписанный угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг ( ◓ ) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор ( ◔ ) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = π r 2 360° ∙ α
Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.
Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Окружность и круг
Оглянитесь вокруг: геометрические фигуры окружают нас повсюду, а в математике и вовсе встречаются почти в каждом задании. Не стали исключением и окружность и круг, которые попадают в задачки чаще, чем может показаться. Поэтому эта статья будет полезна: овладеете всеми премудростями, необходимыми для жизни и экзаменов.
Обруч и окружность
Давайте вспомним один из предметов инвентаря художественной гимнастики – обруч. Это узкое кольцо большого диаметра, внутри которого ничего нет. Обруч состоит только из “контура”, то есть из того самого кольца. Именно с помощью обруча мы приближаемся к термину “окружность”.
Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Разберем чуть подробнее, что значит фраза “равноудалены от центра”. Допустим, мы точно знаем, где центр нашего обруча, и через этот центр натянем много-много ленточек. Тогда окажется, что длина каждой ленточки от центра до обруча будет одинаковой.
То есть окружность состоит из бесконечного множества точек, которые располагаются на равном расстоянии от центра.
Элементы окружности
Радиус – это отрезок, построенный от центра окружности до любой точки на окружности.
Если вспомнить обруч с ленточками, то одна ленточка – это радиус. Радиус обозначается буквой R. В окружности можно построить множество радиусов, и все они будут равны между собой.
Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
Можно сразу заметить, что диаметр будет состоять из двух радиусов, которые проведены по разные стороны от центра окружности.
Диаметр обозначается буквой D и равняется двум радиусам.
Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. При этом хорда не обязательно проходит через центр окружности.
Таким образом, хорда может иметь любой размер и любое направление, главное, чтобы ее начало и конец лежали на окружности.
Рассмотрим свойства хорды.
1 свойство. При пересечении двух хорд произведения их отрезков равны.
Пусть в окружности проведены хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке О. Тогда выполняется равенство АО * ОВ = СО * OD.
2 свойство. Равные хорды стягивают равные дуги.
3 свойство. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ей дуги пополам.
Если диаметр CD перпендикулярен хорде АВ, то АЕ = ЕВ.
Рассмотрим, почему выполняется это свойство. Достроим треугольник АОВ, в котором АО и ОВ – радиусы. Радиусы в окружности равны, следовательно, треугольник равнобедренный.
Рассмотрим ОЕ – высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой, следовательно, ОЕ – медиана, а значит АЕ = ЕВ.
Свойство 4. Угол между пересекающимися хордами окружности равен половине суммы дуг, заключенных между ними.
Заметим, что углы COB и AOD равны между собой, поскольку являются вертикальными.
Дуга – это часть окружности, началом и концом которой являются две произвольные точки.
Допустим, из нашего обруча вырежут какую-то часть. Тогда и вырезанная часть, и оставшаяся часть будут дугами.
Пицца и круг
Мы рассмотрели окружность. Тут уже может возникнуть вопрос: чем круг отличается от окружности?
Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.
Элементы круга
Рассмотрим элементы круга.
Радиус, диаметр хорды в круге имеют такие же определения, как и в окружности. Поскольку мы теперь рассматриваем не только контур, а всю фигуру, то появляются новые элементы.
Предположим, к нам в гости пришли друзья, и теперь нужно разделить пиццу между всеми. Разумеется, мы разрежем ее на несколько кусочков.
Форма кусочков пиццы очень напоминает сектор круга.
Сектор – это часть круга, которую ограничивают радиусы и дуга.
При этом два радиуса делят круг на два сектора: один больший, а другой меньший. На рисунке один из них закрашен фиолетовым, а другой белым.
Если мы захотим отрезать только один кусочек пиццы, то и отрезанный кусочек, и оставшаяся пицца будут секторами круга.
Теперь разрежем пиццу иначе. Отрежем кусочек по прямой, не проходя через ее середину:
Таким образом, мы отрежем уже не сектор, а сегмент от пиццы.
Сегмент – это часть круга, которая ограничена хордой и дугой.
Причем одна хорда является границей для двух сегментов: и отрезанный кусочек пиццы, и оставшаяся часть будут сегментами. На рисунке ниже один сегмент закрашен фиолетовым, а другой белым.
| Подведем итог: И в окружности, и в круге можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. В круге дополнительно появляются сектор и сегмент. |
Формулы для окружности и круга
Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их.
Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов.
Длина окружности – это длина кривой, которая образует окружности.
Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности.
Длина дуги – это длина части кривой, которая образует окружность.
Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть.
В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач.
Дуга окружности
Дугу можно измерять не только в единицах измерения длины, но и в градусах. Вся дуга окружности имеет градусную меру 360 \(\circ\) . Тогда половина дуги окружности будет равняться 180.
При этом дуга, равная 180 \(\circ\) , называется полуокружностью. Полуокружность ограничивается двумя концами диаметра.
Думаем, хоть раз в жизни вы слышали фразу “повернуться на 180 \(\circ\) градусов” или “поменять свое мнение на 180 \(\circ\) градусов”. Это означает, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим на примере окружности: пусть человек стоит в точке А. Ему нужно пройти по окружности ровно 180 \(\circ\) .
Поскольку человеку нужно пройти полуокружность, то она ограничивается диаметром. Достроим диаметр АВ, тогда наш человек окажется в точке В, то есть на противоположной стороне окружности.
А если он дважды пройдет полуокружность, то снова окажется в точке А, то есть пройдет дугу в 2 * 180 = 360 градусов.
Поэтому если человек будет находиться в точке О и захочет повернуться на 180 градусов, то вместо точки А он будет смотреть на точку В. При повороте на 360 градусов, человек снова будет смотреть на точку А.
Углы в окружности
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. При этом угол опирается на дугу окружности.
На рисунке угол АОВ будет центральным.
Свойство центрального угла:
- Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 36 \(\circ\) , тогда угол АОВ также равен 36 \(\circ\) .
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности.
На рисунке угол АСВ – вписанный.
Свойства вписанного угла окружности:
- Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 50 \(\circ\) , тогда угол АСВ равен 25 \(\circ\) .
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Пусть углы АСВ, АЕВ и АКВ опираются на душу АВ. Тогда эти углы будут равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 \(\circ\) .
Вспомним, что диаметр делит окружность на две полуокружности, градусные меры которых равны 180 \(\circ\) . Тогда вписанный угол будет равняться 180 \(\circ\) : 2 = 90 \(\circ\) .
Также важно заметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом данные углы обязательно должны опираться на одну дугу.
Это легко доказать, если вспомнить, что:
- центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается,
- вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, \(∠ACB = \frac∠AOB\).
Термины
Вертикальные углы – это углы, вершиной которых является одна и та же точка, стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого такого угла.
Фактчек
- Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. Элементами окружности являются радиус, диаметр, хорда, дуга.
- Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью. Помимо радиуса, диаметра и хорды, в круге может встретиться сегмент и сектор.
- Вся дуга окружности имеет величину 360 градусов. Тогда половина дуги будет равняться 180 градусам.
- В окружности встречаются центральные и вписанные углы. При этом вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Как следствие, если центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, то центральный угол равен двум вписанным углам.
Проверь себя
Задание 1.
Что такое окружность?
- Замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра;
- Геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра;
- Геометрическая фигура, которая имеет круглую форму;
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра.
Задание 2.
Что такое диаметр окружности?
- Это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на окружности;
- Это отрезок, соединяющий две произвольные точки на окружности;
- Это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проведенный через центр окружности;
- Это половина дуги окружности.
Задание 3.
По какой формуле можно найти длину окружности?
- \(l = \frac* n\)
- \(C=2 \pi R\)
- C=2R
- \(l = \pi R\)
Задание 4.
На окружности выделили дугу в 60 градусов. Какую часть от всей окружности занимает эта дуга?
Задание 5.
Вписанный угол равен 50 градусов. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?
Ответы: 1. – 1 2. – 3 3. – 2 4. – 3 5. – 3
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Окружности на поверхности сферы.
| На страницу 1 , 2 , 3 , 4 След. |
Окружности на поверхности сферы.
22.01.2010, 22:32
| Последний раз редактировалось AKM 23.01.2010, 13:41, всего редактировалось 2 раз(а). |
| Заголовок |
Друзья! Помогите, пожалуйста, ответить на один интересующий не только меня вопрос по геометрии: какое минимальное количество равных и обязательно соприкасающихся друг с другом сферических кругов может разместиться на всей поверхности шара ( если это в принципе возможно ) ?
Данный вопрос возник в связи с необходимостью точного описания рисунка на футбольном мяче.
Спасибо за внимание, Юрий
Я сам лично не уверен на все 100%, но думаю, что если представить себе симметричный рисунок, то число вариантов по идее должно равняться числу правильных многогранников. Поэтому достаточно взять любой из них и описать вокруг него сферу. В моём случае это должен быть тетраэдр, поскольку он имеет минимальное количество вершин и граней из всех правильных пирамид. В соответствии с этим и количество интересующих меня шаровых сегментов на футбольном мяче тоже должно быть таким же, хотя на мой взгляд одних только приведённых мною рассуждений я считаю недостаточно для получения убедительного ответа на поставленный ранее вопрос. А вы как думаете?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 22:45
| Заслуженный участник |
точный рисунок на мяче не имеет никакого отношения к данной экстремальной задаче — там просто выбрали додекаэдр в совокупности с икосаэдром лишь потому, что это симметрично и к тому же красиво.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:25
Меня, к сожалению, интересует не тот классический рисунок футбольного мяча, который выбрали до меня когда-то, а тот, который я собираюсь сам определить сейчас, то есть не в виде правильных 5-ти и 6-ти угольников, а в виде одних только равных и соприкасающихся окружностей на всей поверхности мяча. Вопрос только в том, сколько таких кругов может быть по-минимуму?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:29
| Заслуженный участник |
Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:32
| Заслуженный участник |
gris в сообщении #282786 писал(а):
Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе
Один, соприкасающийся сам с собой по всей своей границе.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:36
| Заслуженный участник |
просто я подумал, что раз в вопросе упоминаются сферический круг и сферическая окружность, то между ними должна быть разница. Окружность это пересечение сферы с секущей плоскостью, а круг это множество точек на сфере, лежащее по одну сторону от окружности. Не так?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:50
По-моему сферический круг — это круг, расположенный на поверхности сферы в виде шарового сегмента.
Я извиняюсь, но чтобы быть правильно понятым, прошу не смешивать по смыслу слово «соприкосновение» со словами «соединение» или «совмещение», иначе ответ на мой вопрос может свестись к простому получению двух полусфер ( что собственно и произошло ), а это изначально не отвечало моему замыслу, так как это решение было бы слишком очевидным.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 00:12
| Заслуженный участник |
Тогда четыре — как в тетраэдре.
— Пт янв 22, 2010 16:14:41 —
Хотя, я не вижу, по какому условию не проходят три круга, расположенные по большому кругу.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 09:03
Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!
А в общем случае, наверное, нужно исходить из следующих соображений (http://rcio.pnzgu.ru/personal/54/1/1/prim.htm):
Цитата:
Проектируя границу правильного многогранника из его центра на описанную сферу, мы получаем разбиение сферы на равные правильные многоугольники (проекции граней многогранника). Обратно, для всякого разбиения сферы на равные правильные многоугольники выпуклый многогранник, вершинами которого служат вершины разбиения, является правильным.
Полученный выше результат означает, что имеется ровно пять правильных многогранников. Это известные с древних времен тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 12:57
Цитата:
Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!
Уважаемые участники Форума!
Мне до сих пор не понятно с чего Вы предполагаете 1 и 2 круга? Ведь в условии моей задачи речь идёт о равных, а само главное о соприкасающихся кругах. Поясню: два смежных круга на поверхности сферы ( шара ) касаются друг друга ТОЛЬКО в одной ТОЧКЕ. А потому один круг и две полусферы, касающиеся по всей длине не подходят по условию задачи. Надеюсь, после этого моего разъяснения мне кто-нибудь ответит: «Сколько решений имеет эта задача?»
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 13:12
| Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось gris 23.01.2010, 13:38, всего редактировалось 1 раз.
С этого надо было и начинать — с чёткого определения всех понятий, которые Вы задействуете в задаче. А то у Вас и круг, и окружность, и шаровой сегмент.
И опять же ответ к Вашей задаче — 2 круга. Нарисуем на сфере круг, а рядом с ним касающийся его такой же круг. Условия задачи выполнены.
Не понятно, какому условию должно удовлетворять множество кругов на сфере.
Вся беда в том, что только два круга, соприкасающиеся по экватору шара, заполняют собой всю поверхность сферы. Все остальные расположения кругов оставляют на сфере непокрытые участки. Вы слеп и те шарик из пластилина и попробуйте отрезать от него кусочки.
Либо засучите рукава и совершенно точно определите то, что Вы хотите.
Позволю себе некоторое рассуждение. Если вписать в сферу выпуклый многогранник, а потом спроектировать его рёбра на сферу из её центра, то есть грубо говоря надуть многогранник, то мы получим разбиение всей поверхности сферы на сферические многоугольники. Если многогранник взять симметричный и красивый ( додекаэдр, ромбододекаэдр и т.п.), то мы будем получать красивые разбиения, то есть мячи.
Но при этом все многогранники никак нельзя сделать «сферическими окружностями». То есть раскрасить сферу более, чем двумя красками так, чтобы получилось более двух цветных кругов — не получиться 😥