Вероятность намешать уникальную колоду карт. Неожиданный результат
Все из нас когда-либо играли в карты. И любой держал в руках, мешал карточную колоду. Вот и я, как-то сидя и перемешивая стандартную колоду из 52 карт, задумался, а какова вероятность того, что результат будет уникальным? Что никто и никогда после перемешивания не получал карты в колоде в том порядке, что и я?
Казалось бы, первое, что приходит в голову — вероятность мала. Ведь люди постоянно играют в карты. А если учесть то, что люди непрерывно играют в покер в интернете, так вообще, наверное, все варианты давно перепробованы… Или нет?
Оценка сверху
Для начала скажу, что под перемешиванием я буду подразумевать порядок карт, полученный после случайной тасовки колоды.
Попробуем оценить сверху количество перемешиваний колоды, сделанных всеми людьми за всю историю. При этом предположим, что каждый раз получалась уникальная колода (ну а вдруг?). Посчитаем с большим запасом.
Для начала разберемся с электронными играми (будем считать, что колода там тоже мешается, а не генерируется по ходу игры). Пусть есть 1000000 (миллион) различных игровых серверов. Много, наверное? Ну так мы же с запасом считаем. И пусть в них каждую секунду тасуется десяток колод. Тогда в день тасуется: 10*60*60*24*1000000=864*10^9 колод. А в живую? В любом случае, по сравнению с электронными играми, число будет сильно меньше. Поэтому (чтобы не сильно заморачиваться, ведь мы берем грубую оценку сверху) просто удвоим получившееся число. И округлим в большую сторону: 1728*10^9 < 2*10^12 перемешиваний. Итак, мы оценили сверху количество перемешиваний в день в наше время.
А за всю историю?
Разумеется, мы знаем, что компьютеры появились не столь давно, что раньше карты уж точно мешали вручную. Но мы ведь берем оценку сверху? Грубую оценку сверху. Так что будем считать, что всегда в день мешалось минимум столько колод, сколько и сейчас. Как подсказывает Википедия, история современного вида карточной колоды уж точно насчитывает меньше тысячи лет. Будем исходить из этого. За тысячу лет прошло: 365000 дней. Тогда за всю историю было произведено уж точно меньше, чем 365000*2*10^12 = 73*10^16 перемешиваний. Для удобства будем использовать несколько большее число 10^18.
Вспомним, что оценка бралась очень и очень завышенная. Поэтому точно за всю историю не совершалось больше, чем 10^18 перемешиваний колоды (если только какой-то суперкомпьютер не мешал колоду целыми сутками, но об этом в конце статьи).
Расчет вероятности
Так какова теперь вероятность получить при перемешивании новый вариант расположения карт?
Для начала, посмотрим, чему равно количество вариантов расположения карт вообще. Это 52! = 52*51*50*. *2*1. По формуле Стирлинга это приблизительно равно:
= 8*10^67.
Таким образом, вероятность, что свежеперемешанную колоду уже когда-то кто-то получал заведомо меньше, чем 10^18/(8*10^67) = 1.2*10^(-50). Да-да, вероятность, что колода НЕ уникальна — чрезвычайно мала. Таким образом можно дать ответ на вопрос, поставленный вначале топика:
Вероятность получить при перемешивании уникальную колоду заведомо больше, чем 99.999. 999% (после десятичной точки следуют 50 девяток). Неожиданно? Да, довольно неожиданно даже для человека, знакомого с теорией вероятностей.
Причем, если учесть, что расчет был очень грубый, то реальная вероятность еще больше.
Бонус
А теперь посчитаем, сколько времени нужно, чтобы перебрать все эти варианты на компьютере. Самые современные суперкомпьютеры, если верить Википедии, выполняют порядка 10^16 операций в секунду. В день — 60*60*24*10^16 = 864*10^18. В год — примерно 3*10^23. Так сколько лет нужно, чтобы перебрать все 8*10^67 вариантов перемешиваний колоды? Что-то вроде миллиарда миллиардов миллиардов миллиардов миллиардов лет. Вдуматься, даже страшно становится. Причем даже если направить в помощь этому суперкомпьютеру все остальные вычислительные средства планеты, это не сильно поможет. Все равно потребуются миллиарды и миллиарды лет. А ведь это всего лишь колода из 52 карт. Что уж говорить о количестве партий игры в Го?
- теория вероятностей
- колода карт
- покер
- мешаем-мешаем
Число возможных перестановок в колоде карт составляет приблизительно 8×10 67
Игра в карты в своей текущей 52-карточной форме известна уже более пятисот лет. Давайте предположим (хоть это и не верно), что текущее население земного шара (приблизительно шесть миллиардов человек) — оставалось неизменным на протяжении этих пяти столетий. Применив немного математики, мы получим число в девять триллионов человеко-лет в этом вымышленном примере. Или, чтобы сделать это число ещё больше — приблизительно 9×10 19 человеко-секунд. Это девять с 19 нулями.
Если бы каждый живой человек в течение этих пятисот лет тасовал колоды карт со скоростью одна колода в секунду, мы получили бы число перетасованных за это время колод. Это большое число — 90,000,000,000,000,000,000
И почти однозначно можно заявить, что каждая из этих перетасованных колод была бы уникальной.
Число возможных перестановок в колоде карт составляет 52! (52 факториал), или приблизительно 8×10 67 Это настолько большое число, что оно даже не помещается на этой строке, поэтому мы разобьём его на две части: 8,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000.
Вот теперь мы получили действительно огромное число. Насколько огромное? Оно буквально выходит за астрономические рамки — согласно подсчёту команды австралийских астрономов, число звёзд в обозримой части галактики составляет всего лишь 7×10 22
Для того, чтобы получить хотя 50% шанс повтора перестановки, человеку необходимо совершить 9×10 33 перетасовок. А всё человечество, напомним, может совершить только 9×10 19 . Другими словами, каждый раз, когда вы тасуете колоду карт, вы почти наверняка создаёте комбинацию, которую Вселенная ещё не видела.
Как работает «мозгопочта» — передача сообщений от мозга к мозгу через интернет
Сможем ли мы в один прекрасный день подключить человеческий мозг к Интернету? Роуз Элевет разбирается с заявлением о первом онлайн-сообщении, отправленном от одного разума к другому. Интернет становится всё быстрее, и к нему можно подключить всё больше устройств. Отправить электронную почту, получить её, прочесть и ответить на письмо — всё это сегодня делается за считанные секунды. Ещё не так давно мы дожидались обычных писем днями или даже неделями, а сегодня часовое ожидание электронного письма кажется нам вечностью.… Читать далее…
10 тайн мира, которые наука, наконец, раскрыла
«Движущиеся камни», странные ноги жирафов, поющие песчаные дюны и другие потрясающие загадки природы, которые нам удалось разгадать за последние несколько лет. 1. Секрет «движущихся камней» в Долине Смерти С 1940-го года до недавнего времени Рейстрек-Плайя, высохшее озеро с ровным дном, находящееся в Долине Смерти в Калифорнии, было местом, где наблюдался феномен «движущихся камней». Над этой тайной ломало голову множество людей. Годами или даже десятилетиями, некая сила, казалось, двигала… Читать далее…
10 главных вопросов о Вселенной, ответы на которые учёные ищут прямо сейчас
Атакамская Большая Миллиметровая/субмиллиметровая Решётка (сокращённо ALMA) — это самый мощный в мире комплекс радиотелескопов, построенный на севере Чили. Плато Чахнантор, где расположен комплекс, находится на высоте 5 000 м — это выше большинства объектов в тропосфере. ALMA, что означает «душа», — это ещё и машина времени. Она заглядывает в прошлое, чтобы проверить существующие научные теории о том, как 13 млрд лет назад возникла Вселенная. Она толкает нас в будущее, потому что мы ищем новые… Читать далее…
8 вещей, которые не может объяснить наука
Наука появилась ради необходимости отвечать на вопросы людей. И вроде бы большая часть сложных явлений изучена вдоль и поперёк, а осталась «самая малость» — постичь природу тёмной материи, разобраться с проблемой квантовой гравитации, решить задачу размерности пространства-времени, понять, что такое тёмная энергия (и ещё несколько сотен подобных вопросов). Однако до сих пор остаются и более простые, казалось бы, явления, но которые учёные не в силах объяснить до конца. Что такое стекло? Нобелевский лауреат Уоррен Андерсон… Читать далее…
2500-летняя научная тайна: почему мы зеваем
Во время долгого разговора возникает непреодолимое желание зевнуть. Чем больше с ним борешься, тем сильнее хочется. В итоге удержаться невозможно. Психолог Роберт Провайн на своих лекциях часто это замечает, но не обижается: зевота, смех и отрыжка естественны. Провайн искал ответ на тысячелетнюю тайну: почему мы зеваем? Понятно, что от скуки или усталости, но что это даёт организму? Возможно, первым это заинтересовало древнегреческого врача Гиппократа 2500 лет назад. Он считал, что зевота помогает… Читать далее…
Из колоды в 52 карты наугад извлекаются четыре. Какова вероятность того, что они одной масти?
Для вычисления вероятности извлечения четырех карт одной масти из колоды в 52 карты, нужно разделить количество благоприятных исходов (то есть извлечение четырех карт одной масти) на общее количество возможных исходов.
Общее количество способов извлечь 4 карты из колоды в 52 карты равно сочетанию из 52 по 4:
C(52, 4) = 52! / (4!(52 — 4)!) = 270,725.
Теперь давайте рассмотрим количество способов извлечь 4 карты одной масти. В колоде 4 масти (пики, черви, бубны и трефы), и каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, для каждой масти есть сочетание из 13 по 4 способа извлечь 4 карты:
C(13, 4) = 13! / (4!(13 — 4)!) = 715.
Так как у нас есть 4 масти, каждая из которых может быть выбрана для извлечения, мы должны умножить это количество на 4:
Теперь мы можем вычислить вероятность того, что извлечены четыре карты одной масти:
Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество возможных исходов) = 2,860 / 270,725 ≈ 0.01057 или около 1.057%.
Итак, вероятность извлечения четырех карт одной масти из колоды в 52 карты составляет около 1.057%.
Очерёдность карт в 52-карточной колоде никогда не повторяется
Вернее так: практически невероятно, что очерёдность карт в 52-карточной колоде (состояние колоды) хоть когда-нибудь повторится при перемешивании, если результат перемешивания случайный.
Я увидел это утверждение в интернете и решил перепроверить сам, понятными мне методами и в понятных мне числах.
Чтобы оценить, насколько верно это утверждение нужно сначала вычислить вероятность выпадения единственного конкретного состояния колоды. Она равна 1/КоличествоВозможныхСостояний, т.е. 1 /(52!) (Единица делить на 52-факториал) ≈ 1 / (8 * 10^67)
Если мы совершаем последовательные перемешивания, то после первого перемешивания (первый исход) вероятность повторения, т.е. вероятность выбросить нулевое состояние колоды равна 1/52!
Вероятность повторения на втором исходе равна вероятности выбросить нулевой или первый исход, равна 2/52!
Вероятность повторения на третьем исходе равна вероятности выбросить нулевой или первый или второй исход, равна 3/52.
Мы видим, как с количеством перемешиваний увеличивается вероятность того, что результат перемешивания будет совпадать с одним из прошлых результатов — из-за того, что прошлых результатов становится больше.
Но мы хотим оценить вероятность выбросить повтор за какое-то количесто исходов, а имеем пока только вероятности выбросить повтор на каждом конкретном исходе. Нужная нам вероятность (например вероятность выбросить повтор за 10 исходов) будет равна вероятности выбросить повтор на первом исходе, плюс вероятность выбросить повтор на втром исходе, плюс вероятности выбросить повтор на третьем исходе и т.д.
Т.е. вероятность выбросить повтор за один раз = 1/52!
вероятность выбросить за два перемешивания, в первом или втором исходе = 1/52! + 2/52!
за три перемешивания = 1/52! + 2/52! + 3/52! и так далее.
Получаем, что вероятность равна:
1/52! + 2/52! + 3/52! . N/52! =
где N — количество исходов
Т.е. чтобы получить вероятность выбрасывания повтора хотя бы 0.001 (0.1%) нам нужен числитель равный 52!/1000 а это достижимо за 4*10^32 исходов.
Остаётся оценить насколько велико это число.
Возраст Земли оценивается современными учёными в 4.5 * 10^9 лет. Это составляет 1.42 * 10^20 миллисекунд. Это уже приличное число получается, если в течение возраста Земли мы будем тасовать колоду по 1000 раз в секунду.
Прикинем, сколько раз нужно это повторить, чтобы получить 4 * 10^32 исходов.
(4 * 10^32) / (1.42 * 10^20) = 9.5 * 10^12
Много ли это? Давайте поделим на это число длину экватора и посмотрим, какими шагами нужно по нему идти, чтобы набрать нужное число за один оборот.
40 000 км / (9.5 * 10^12) = 4.2 * 10^(-9) км = 4.2 микрон.
Итак, идя по экватору 4.2-микронными шагами (лист бумаги для принтера ≈ 100 микрон) мы делаем круг по экватору. Сделав шаг мы останавливаемся и тасуем колоду 1000 раз в секунду в течение возраста Земли. Затем делаем новый микро-шаг и опять тасуем 4,5 млрд лет. По окончании нашей кругосветки мы будем иметь 0,1%-ную вероятность того, что пока мы шли совпадение случилось.
343 поста 6.3K подписчиков
Подписаться Добавить пост
Правила сообщества
Лига занимается странными веселыми подсчетами на основании уже имеющихся в общем информационном доступе знаний. Расчеты — ради лулзов и хорошего настроения. Не нудите сами и не занудничайте в адрес других, играть в Шелдона Купера хорошо до определенного предела.
2 года назад
Блин, это прям текстовое описание видео с 14:12
2 года назад
Я увидел это утверждение в интернете и решил перепроверить сам, понятными мне методами и в понятных мне числах.
2 года назад
Создавай лигу умных, уговорил!
2 года назад
По факту, очередность карт во всех новых колодах одинаковая.
2 года назад
А можно я пойду не по экватору, а через полюса? Ну, чтоб климат менялся. И еще я пингвинов люблю.
раскрыть ветку
Похожие посты
1 год назад
Идеальная сборка Нилу | Часть 1 | Genshin Impact
Те, кто уже выбил себе Нилу, вероятно знают, что её нужно собирать с упором в ХП и мастерство стихий. Однако ковыряя свои артефакты я задумался, а насколько много все-таки нужно танцовщице ХП и на что следует делать упор (ну а еще я поставил на нее бонус гидро урона в кубке и крит. шанс в короне и захотел узнать, насколько такая сборка полная фигня хуже сборки в ХП). Несмотря на показавшуюся мне легкость темы материала получилось много, поэтому он выйдет в 2 постах, с разницей в сутки. В этом я разберу идеальную балансировку крит. урона и крит. шанса (итог чуть ниже) и как рассчитать собственный урон Нилу (да и вообще любого персонажа) (итог в конце поста). В следующем же будет затронут полный урон от нее (то есть с учетом реакции бутонизации в гидро+дендро пачках). Ну и приступаем)
Для начала нужно определиться с тем, от чего зависит собственный урон. Ясно, что он прямо связан с одной из характеристик через талант, а так как Нилу играется с E-шки, то урон будет зависеть от максимального ХП. Помимо этого есть еще 2 характеристики, которые влияют на урон: бонус урона и крит. масса. С первыми двумя все довольно просто: их и еще какой-то коэффициент из талантов нужно перемножить. А вот с крит массой все сложнее. Сходу нельзя сказать: домножать нужно или складывать, либо же еще что-то делать. Поэтому нужно прибегнуть к вычислениям
Бонус урона от крит. массы (точнее пока только от крит. шанса и крит. урона) можно представить как множитель этого урона, состоящий из суммы вероятности возникновения обычного удара и вероятности критического удара, помноженной на бонус урона для тычки от значения крит. урона. В формулах это выглядит так (и сразу же показан переход от крит. шанса и крит. урона к их соотношению и крит. массе):
Здесь (1-Kш) — это процент обычных ударов, (Kу + 1) — бонус для удара от крит. урона (единичка там по той причине, что критический удар больше обычного на значение крит. урона, а последний указан в процентах, поэтому добавляем еще 100%, то есть единицу). Через k0 мы можем отвязать формулу от коэффициента A0, рассматривая чистый прирост урона, через k и M избавиться от переменных крит. шанса и крит. урона
Так, прибавка становится уже более понятной, однако у нас остается переменная k, и от нее тоже надо бы избавиться. Но на что бы ее заменить? Можно попытаться рассмотреть среднее значение от сборок, но это более долго, менее красиво, да и менее информативно для сборок персонажей. А как насчет найти идеальное значение k? Думаю многие видели советы, держать соотношение крит. урона к крит. шансу в районе 2:1. Так вот, у этого есть строгое объяснение, а так как на слово верить этому соотношению мы не собираемся, то пришло время его доказать (хотя вообще лучше всего будет иметь мнимую крит. массу и k = -2, ну короче, Кокоми-мейнеры, вы знаете, что делать 🙂 ):
Выделенное серым — подробное решение, кто уже умеет в производные — может пропустить
Ну а теперь поподробнее, что мы делаем. Так как при идеальном значении k (и не равном -2, хе-хе) бонус урона максимальный, то при этом же значении производная бонуса будет равна нулю (первое выражение на картинке). Дифференцируем k0 по k. Для разнообразия я решил использовать все формулы (кроме производной произведения), вот они: (kf(x))’ = kf'(x); (f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x); (f(u(x)))’ = f'(u(x))*u'(x) (надеюсь, понятно). k = 2, как нам и говорили в интернетах, но зато вы теперь знаете почему
Вернемся к нашей формуле с крит. массой. Подставив k мы получим окончательную формулу, которая связывает бонус урона от крит. массы с самой крит. массой
Ну что ж, все множители урона у нас есть, можно и общую формулу составить:
Для каждого действия (1-ый удар мечом, 2-ой удар и т.д) существует свой отдельный множитель (который коэф. атаки), а потому мы сперва суммируем урон от каждого удара, выносим наши множители как общие, а затем всю сумму этих коэффициентов атаки заменяем каким-то одни, чтоб формула не была громоздкой. И до кучи избавляемся от этого общего коэффициента, за счет чего уже можем вычислять чисто увеличение урона в столько-то раз только от статов персонажа (последнее выражение)
Теперь остается сравнить разные варианты сборки, у нас их не много: ХП + Бонус гидро урона + Крит. масса, ХП + ХП + КМ, ХП + БУ + ХП, ХП + ХП + ХП. Но тут возникает другая проблема, как нам вот те 3 параметра из формулы узнать? Ну вернее два, с коэффициентом бонуса урона все понятно: если есть кубок на БУ, то D = 1,466, если нет, то D = 1)
Для этого выведем формулы, которые будут учитывать прирост от базы, различных баффов, а также от верхних и нижних статов артефактов. Но перед этим ознакомьтесь со всеми переменными, их тут много)
Думаю объяснять учет всего, кроме нижних статов, не нужно: где числовая прибавка — там просто прибавляем, где процентная — прибавляем произведение процентов на то, от чего их прибавка зависит (то есть для процентов ХП домножаем на базовое ХП Нилу). А вот с нижними все интересней. Мы не можем считать прибавку как через шанс появления характеристики внизу, так как никто не ставит первый попавшийся артефакт, забив на +30% защиты и 1000 атаки внизу, которые для Нилу как зайцу пятая нога. Но зато можно оттолкнуться от того, как часто искомая характеристика попадается в сборке артов от нее. Но и тут не стоит торопиться, ведь если, например, на Ху Тао и на Аяке по 5 раз попадается +% ХП, то это не значит, что у них эти прибавки появляются с одинаковой вероятностью. А все потому, что верхняя характеристика не может дублироваться нижней: у Аяки 0 артефактов с %ХП вверху, а у Тао — как минимум один (у последней вероятность появления +%ХП внизу будет больше). И это тоже надо учесть. Поэтому прибавки от нижних статов выглядят как произведение среднего значения прибавки (k среднее) (для сборок от этой характеристики) на количество доступных по стату мест (n позиций) и на вероятность того, что стата займет доступное место (p позиции) (для сборок от этой характеристики)
Начнем со второго множителя (к тому же нахождение доступных позиций понадобится для вычисления вероятности), и проще будет объяснить на примере
Начнем с крит. массы. Она добавляется через 2 статы: крит. урон и крит. шанс. Поэтому во всех, кроме 3 артефактов под нее есть 2 позиции. Ну а сколько из них заполнено — можете сами посчитать) В третьем арте у нас вверху есть крит. шанс, потому снизу его быть не может, а значит отпадает одна позиция из двух. Поэтому на 3 артефакте есть только одна позиция под крит. массу, и она, к слову, заполнена.
В случае с числовой прибавкой ХП, которая реализуется через +ХП, в каждом арте, кроме пятого есть по одной позиции под +ХП (не под +%ХП, они считаются отдельно). На пятом вверху уже есть +ХП, а значит внизу на одну позицию меньше. То есть теперь их, и снизу в принципе не может быть +столько-то ХП
Аналогично и для +%ХП — по одной позиции на каждом арте, кроме последнего, на нем их 0
В случае со средним значением поступаем так: находим среднее арифметическое для этих статов на персонажах, качанных в тот параметр, который статы увеличивают.
Ну и в случае с вероятностью нужно найти отношение количества занятых позиций (на это число мы делили абзацем выше) и количества доступных позиций. Вот, если что, формула, тут все довольно тривиально
Итак, находим уже все все «эМки», «эСки» и k из наших формул и подставляем в них (в некоторые из них я запихнул еще бонусы от сета артефактов, собственно рассматривал я сет 2 ансамбля + 2 миллелита) (Прим.: уже после того, как я сделал картинки, я вспомнил про гидро-резонанс, который дает + к ХП, поэтому на картинке их нет, но чтоб все считалось правильно — добавьте к какой нибудь букве k еще 25%, ну или 0,25, кому как удобно):
Урон указан в условных единицах (у.е.) и связан с реальным уроном через множитель атаки от талантов, от которого мы избавились ранее. Для всех случаев множитель одинаков, поэтому эффективность Нилу можно сравнивать не в самом уроне, а в данных условных единицах
И вот что у нас получается. Те немногие, кто будет использовать Нилу вне дендро+гидро пачек уже может бежать собирать Нилу как Ху Тао, или кого там еще в ХП, бонус урона и криты собирают
На этом пока что все. Завтра выпущу 2 часть, где уже будет учитываться урон Нилу от бутонизации (ибо материала там тоже достаточно, а еще я не закончил картинки для этого поста)
Надеюсь было интересно, а кому-то — еще и полезно)
Показать полностью 9
Поддержать
2 года назад
Вероятность
2 года назад
Подборка книг по теории вероятностей и математической статистике. Часть 1
Представляем вашему вниманию полный обучающий курс на тему теории вероятностей и математической статистики! Это первая, теоретическая часть подборки, далее следует «практикум», а так же «сборники задач».
Книги доступны для скачивания в нашем сообществе ВК — https://vk.com/wall-186208863_1914 . В комментариях часто указываются дополнительные материалы.
�� А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др. «Теория вероятностей» Учеб. для вузов. — 3-е изд., исправленное
— Несмотря на большое количество учебных руководств по теории вероятностей, в том числе появившихся и в последние годы, в настоящее время отсутствует учебник, предназначенный для технических университетов с усиленной математической подготовкой. Отличительной особенностью данной книги является взвешенное сочетание математической строгости изложения основ теории вероятностей с прикладной направленностью задач и примеров, иллюстрирующих теоретические положения. Каждую главу книги завершает набор большого числа контрольных вопросов, типовых примеров и задач для самостоятельного решения.
�� Боровков А.А «Теория вероятностей»
— Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и заканчивая основными элементами теории случайных процессов. Сюда входят: достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм независимых случайных величин; теоремы о поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факторизационные тождества; элементы теории восстановления и различные ее приложения; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации; теория мартингалов и стохастически рекурсивных последовательностей; основы теории случайных процессов; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновских процессов; функциональные предельные теоремы; элементы теории марковских, стационарных и гауссовских процессов и др.
�� Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»
— Книга содержит в основном весь материал программы по теории вероятностей и математической статистике. Большое внимание уделено статистическим методам обработки экспериментальных данных. В конце каждой главы помещены задачи с ответами.
Предназначается для студентов ВУЗов и лиц, использующих вероятностные и статистические методы при решении практических задач.
�� Баврин И.И. «Теория вероятностей математическая статистика»
— Изложены основы теории вероятностей и математической статистики в приложении к физике, химии, биологии, географии, экологии, приведены примеры для самостоятельной работы. Все основные понятия и положения иллюстрируются разнообразными примерами и задачами.
�� Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика»
— Эта книга не только учебник, но и краткое руководство к решению задач. Излагаемые основы теории вероятностей и математической статистики сопровождаются большим количеством задач (в том числе и экономических), приводимых с решениями и для самостоятельной работы. При этом упор делается на основные понятия курса, их теоретико-вероятностный смысл и применение. Приводятся примеры использования вероятностных и математико-статистических методов в задачах массового обслуживания и моделях финансового рынка.
�� Козлов М.В. «Элементы теории вероятностей в примерах и задачах»
— Основы теории вероятностей излагаются в форме примеров и задач, в которым в тексте приведены подробные решения. Уровень сложности колеблется в широком диапазоне: от тренировочных задач на усвоение понятий до маленьких исследований, могущих служить началом курсовой работы. Всего примеров и задач около 450. Принцип изложения — от частных моделей к общим понятиям — направлен на развитие у читателя вкуса и навыков к самостоятельному научному творчеству. Для освоения материала достаточно владения началами математического анализа.
�� Максимов Ю.Д. «Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений»
— Первая часть содержит перечень базисных понятий, задач, методов, знаний и умений, которыми должен овладеть студент, изучив теорию вероятностей. Вторая часть включает тридцать контрольных заданий по девять задач с подзадачами по тематике, указанной в первой части. Имеются два образца заданий с подробными решениями Ко всем задачам даны числовые ответы. Третья часть — четыре варианта тестов из двадцати вопросов для зачетноэкзаменационного контроля. Четвертая часть — справочный материал в виде конспекта-справочника.
�� Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» том 1
— Перевод второго издания книги американского математика В. Феллера. Книга дает строгое изложение теории вероятности, как самостоятельного раздела математики и в то же время знакомит читателя с опытными основаниями теории и различными ее применениями.
Книга впервые выпущена в печать в 1950 в США. В 1952 переведена на русский. В 1966 книга во втором издании переведена на русский.
�� Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» том 2
— Это второй том учебника по теории вероятностей — первый вышел двумя изданиями на английском языке и тремя изданиями на русском языке и завоевал заслуженную популярность.
Автор книги — крупный специалист по теории вероятностей. Его учебник написан на высоком научном и методическом уровне и содержит большое число примеров применений теории в физике, биологии и экономике. Данный том посвящен непрерывным распределениям. Вместе с первым томом он составляет прекрасное учебное руководство, в котором очень удачно сочетаются и принципиальные основы, и важнейшие приложения теории вероятностей.
Книга рассчитана на читателей различных уровней — от студентов младших курсов университетов до специалистов-математиков. Она, безусловно, заинтересует также физиков и инженеров различных специальностей, которые в своей работе пользуются вероятностными методами.
Показать полностью 1
2 года назад
Теория вероятностей. Часть 0. Введение
Всем привет! Давно известна мысль, что если хочешь начать в чём-то разбираться, попытайся это объяснить кому-нибудь ещё. Сам я студент 4 курса, теор вер был давно, но так или иначе приходится к нему возвращаться. Вот и подумалось, почему бы не попробовать структурно вылить свои мысли сюда, дабы как следует уложить их у себя в голове, а бонусом может кого заинтересую.
Для начала попробуем не углубляться во всю эту математику, а порассуждаем. Что вообще такое вероятность какого-то события? Обыватель скорее всего даст интуитивное, или эмпирическое, определение — вероятность есть доля случаев, в который это событие произойдёт, если повторить его много раз. Однако, лишь немного поразмыслив над этим определением, можно сразу задать два вопроса:
1. Что такое повторение?
Допустим, я вытащил карту наугад из колоды. И теперь собираюсь её перевернуть и хочу узнать, с какой вероятностью это дама пик. С точки зрения данного выше определения, верхняя карта уже известна, и если я буду повторять эксперимент (брать верхнюю карту, смотреть на неё и класть обратно), то всегда буду получать один и тот же результат. Разумный читатель скажет, что нет, надо повторять эксперимент более полно — заново замешивать колоду и уже потом брать верхнюю карту.
Однако, можно ли в некотором общем виде указать, как далеко надо уходить в прошлое, чтобы считать эксперимент повторённым? Нужно ли покупать новую колоду? Или нужно дойти до крайности и каждый раз заново запускать эволюцию жизни на Земле, ждать появления человека, изобретения бумаги и так далее?
2. А что насчёт событий, которые нельзя повторить?
Например, любой спортивный (футбольный, баскетбольный, хоккейный и т.д.) матч сам по себе уникален. Уникально время, место, люди (их физическое, моральное состояние, возраст), погода до, во время и после матча. Любой последующий матч уже будет другим, с другими начальными условиями.
Выбор не велик — нам приходится отказаться от эмпирического определения, и считать, что вероятность — это что-то данное нам свыше. В такой модели, где вероятности нам известны, можно получить некоторые правила и законы. И, как н странно, один из таких законов, именуемый законом больший чисел, утверждает, что вероятность должна соответствовать эмпирическому определению.
На этом, думаю, пробу пера стоит остановить и дождаться реакции. Информации тут немного, а на длиннопост не хватает ни сил, ни времени. Если это вдруг зайдёт, я бы с радостью попробовал выложить больше материала, лишь бы оно не было слишком тягомотно. Спасибо за прочтение!