Решение задач о бросании игральных костей
Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.
Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.
Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.
Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
- Одна игральная кость
- Две игральные кости
- Другие задачи
- Полезные ссылки
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Одна игральная кость
С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.
Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?
Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.
Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.
Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.
Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.
Две игральные кости
Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):
А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?
Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.
Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).
Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:
Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:
Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.
Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.
Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:
Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.
Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).
Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.
Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:
Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.
Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).
Другие задачи про кости и кубики
Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.
Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.
В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.
Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .
Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.
Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.
Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.
Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:
Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).
Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.
Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$
Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac=\frac=\frac. $$ Ответы совпали.
Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.
В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.
Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).
Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$
Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.
Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.
Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$
Полезные ссылки
Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.
В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.
Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.
Еще по теории вероятностей:
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
найти вероятность того что при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков, не более 4, от 3 до 9
На 1 и на 2 кубиках могут выпасть числа от 1 до 6, то есть
всего 6*6=36 вариантов. Благоприятных исходов будет 4, когда
выпадет (3,6), или (6,3) , или (4,5) , или (5,4).
Вероятность Р=4/36=1/9.
1)1+4, 2+3, 3+2, 4+1 = 4/36
2) 1+1, 1+2, 2+1 = 3/36
3) 1+2, 2+1, 1+3, 3+1, 1+4, 4+1, 1+5, 5+1, 1+6, 6+1, 2+2, 2+3, 2+4, 2+5, 2+6, 3+2, 4+2, 5+2, 6+2, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6, 4+3, 5+3, 6+3, 4+4, 4+5, 5+4 = 29/36
Похожие вопросы
Задача 12320 Найдите вероятность того, что при.
Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.
математика 10-11 класс 26015
Решение
Вероятность того, что на первом кубике выпадет менее 4-х очков(то есть 1, 2, 3 очка) равна 3/6=0,5.
Вероятность того, что на втором кубике выпадет менее 4-х очков равна так же 0,5.
Вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков равна 0,5*0,5=0,25.
Ответ: 0,25
Найти вероятность того что при бросании двух
Бросание кубиков – одна из самых популярных азартных игр, как в реальном, так и в виртуальном мире. Во многих случаях игрокам необходимо предсказать вероятность выпадения определенной комбинации значений на кубиках. И хотя казалось бы, взглянув на кубик с его шестью гранями, дело кажется довольно простым, на самом деле, рассчет вероятности выпадения нужной комбинации требует некоторых знаний из математики и статистики.
Для начала необходимо определить количество всех возможных исходов при бросании двух кубиков. Поскольку на каждом кубике есть шесть граней, то на обоих кубиках будет 6 * 6 = 36 возможных исходов. Теперь рассмотрим, какие комбинации из этих 36 могут быть. Например, при бросании двух кубиков возможны такие комбинации, как 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 и т.д. Всего таких комбинаций будет 11.
Итак, в задаче о нахождении вероятности выпадения определенной комбинации на двух кубиках, необходимо выяснить, сколько благоприятных исходов есть для данной комбинации и поделить это число на общее количество исходов. Для этого можно воспользоваться формулой:
P = благоприятные исходы / общее количество исходов
Разберемся подробнее с этой формулой и рассмотрим примеры нахождения вероятности выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков. Несложные математические выкладки помогут вам стать настоящим мастером в нахождении вероятностей в играх на кубиках.
Вероятность выпадения определенной комбинации
При бросании двух кубиков есть различные комбинации, которые могут выпасть. Для того чтобы рассчитать вероятность выпадения определенной комбинации, необходимо знать общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.
Для двух игральных кубиков общее количество возможных исходов равно 6 * 6 = 36. Это связано с тем, что у каждого кубика есть 6 граней, и каждая грань может выпасть только один раз. Умножая количество граней первого и второго кубиков, получаем общее количество возможных комбинаций.
Количество благоприятных исходов зависит от конкретной комбинации, вероятность которой мы хотим рассчитать. Например, для комбинации, когда на обоих кубиках выпало число 6, благоприятных исходов будет только один, так как это возможно только при условии, что оба кубика показывают число 6.
Чтобы рассчитать вероятность выпадения определенной комбинации, необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов. Например, если у нас есть 2 возможных комбинации, которые нас интересуют, и каждая из них имеет 4 благоприятных исхода, то рассчитать вероятность можно следующим образом:
Вероятность = (4 + 4) / 36 = 8 / 36 = 2 / 9 ≈ 0,222
Таким образом, вероятность выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков зависит от общего количества возможных исходов и количества благоприятных исходов, соответствующих этой комбинации.
Результаты бросания двух кубиков
При бросании двух кубиков одновременно можно получить различные комбинации значений. Всего возможно 36 различных комбинаций результатов.
С помощью двух кубиков можно получить следующие комбинации:
- 2: комбинация 1 + 1
- 3: комбинации 1 + 2, 2 + 1
- 4: комбинации 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1
- 5: комбинации 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1
- 6: комбинации 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, 5 + 1
- 7: комбинации 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1
- 8: комбинации 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2
- 9: комбинации 3 + 6, 4 + 5, 5 + 4, 6 + 3
- 10: комбинации 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4
- 11: комбинации 5 + 6, 6 + 5
- 12: комбинация 6 + 6
Таким образом, частота выпадения каждой комбинации будет различной. Комбинации, содержащие сумму 7, будут иметь самую высокую вероятность выпадения, так как вариантов ее получения больше всего (6 комбинаций).
Другие комбинации будут иметь меньшую вероятность в зависимости от количества вариантов их получения.
Как рассчитать вероятность выпадения комбинации
Вероятность выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков можно рассчитать, используя простую математическую формулу.
Для начала, нужно определить, сколько всего возможных комбинаций можно получить при бросании двух кубиков. В данном случае, каждый кубик имеет шесть граней, а значит, общее количество комбинаций будет равно степени каждого кубика, то есть 6 умножить на 6, что дает нам 36 возможных комбинаций.
Затем нужно определить, сколько комбинаций удовлетворяют требованию выпадения конкретной комбинации. Например, если мы хотим узнать вероятность выпадения комбинации, где на обоих кубиках выпадет 1, то у нас будет всего одна такая комбинация: (1, 1).
Итак, вероятность выпадения конкретной комбинации вычисляется как отношение числа комбинаций, удовлетворяющих условию, к общему числу комбинаций. В нашем случае, вероятность выпадения комбинации (1, 1) будет равна 1/36.
Общая формула для расчета вероятности выпадения комбинации имеет вид:
Вероятность = Количество комбинаций, удовлетворяющих условию / Общее количество комбинаций
Итак, для расчета вероятности выпадения конкретной комбинации при бросании двух кубиков:
- Определите общее количество возможных комбинаций (в данном случае, 36).
- Определите количество комбинаций, удовлетворяющих условию (например, 1).
- Рассчитайте вероятность по формуле.
Это основная методика для расчета вероятности выпадения комбинации при бросании двух кубиков. Зная общее количество комбинаций и количество комбинаций, удовлетворяющих условию, вы можете применить эту формулу для расчета вероятности для любой другой комбинации, которую вы хотите исследовать.
Формула для расчета вероятности
Формула для расчета вероятности выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков основана на принципе равновероятности. Каждая грань кубика имеет равные шансы выпасть в результате броска, поэтому общее количество возможных исходов равно произведению количества граней первого кубика (6) и количества граней второго кубика (6).
Например, чтобы определить вероятность выпадения комбинации «6 на первом кубике и 4 на втором кубике», необходимо посчитать количество благоприятных исходов, то есть комбинаций, где на первом кубике выпадает 6, а на втором кубике выпадает 4.
Вероятность выпадения комбинации «6 на первом кубике и 4 на втором кубике» рассчитывается следующим образом:
Вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество исходов
Количество благоприятных исходов для данной комбинации равно 1, так как только одно из 36 возможных комбинаций соответствует условию. Общее количество исходов равно 36, так как каждый кубик имеет 6 граней и для каждой комбинации выбора грани первого кубика есть 6 вариантов выбора грани второго кубика.
Следовательно, вероятность выпадения комбинации «6 на первом кубике и 4 на втором кубике» равна 1/36 или примерно 0.0278 (2.78%).
Пример расчета вероятности выпадения комбинации
Давайте рассмотрим пример расчета вероятности выпадения комбинации суммы очков на двух игральных кубиках. Предположим, что у нас есть два шестигранных кубика, с гранями, пронумерованными от 1 до 6.
Для начала определим все возможные комбинации выпадения чисел на двух кубиках:
| Кубик 1 | Кубик 2 | Сумма |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 4 | 5 |
| 1 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 7 |
| 2 | 6 | 8 |
| 3 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 7 |
| 3 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 1 | 5 |
| 4 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 7 |
| 4 | 4 | 8 |
| 4 | 5 | 9 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 1 | 6 |
| 5 | 2 | 7 |
| 5 | 3 | 8 |
| 5 | 4 | 9 |
| 5 | 5 | 10 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 1 | 7 |
| 6 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 9 |
| 6 | 4 | 10 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
Всего возможных комбинаций: 36.
Теперь, для расчета вероятности выпадения конкретной комбинации, нужно подсчитать количество исходов, соответствующих этой комбинации, и поделить его на общее количество возможных комбинаций.
Например, чтобы найти вероятность того, что при броске двух кубиков выпадет сумма очков, равная 7, нужно подсчитать количество комбинаций, в которых сумма равна 7. В данном случае таких комбинаций 6 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1).
Таким образом, вероятность выпадения комбинации суммы очков, равной 7, составляет 6/36 или примерно 16.67%.
Вопрос-ответ
Как рассчитать вероятность выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков?
Вероятность выпадения определенной комбинации при бросании двух кубиков можно рассчитать с помощью соотношения, где число благоприятных исходов делится на число возможных исходов. Например, чтобы рассчитать вероятность выпадения комбинации, где на обоих кубиках выпала шестерка, нужно найти число благоприятных исходов (1) и число возможных исходов (36), затем разделить первое на второе: 1/36.
Какие комбинации на двух кубиках имеют наибольшую вероятность выпадения?
Наибольшую вероятность выпадения имеют комбинации, где на обоих кубиках выпадает одинаковое значение. Например, вероятность выпадения двух шестерок составляет 1/36, так как это только один благоприятный исход из 36 возможных. Также выпадение суммы значений кубиков, равной 7, имеет наибольшую вероятность, так как это самая часто встречающаяся сумма при бросании двух кубиков.
Какие комбинации на двух кубиках имеют наименьшую вероятность выпадения?
Наименьшую вероятность выпадения имеют комбинации, где на кубиках выпадает разное значение. Например, вероятность выпадения комбинации, где на одном кубике выпадает 1, а на другом 6, составляет 1/36, так как это только один благоприятный исход из 36 возможных. Также выпадение суммы значений кубиков, равной 2 или 12, имеет наименьшую вероятность, так как это самые редко встречающиеся суммы при бросании двух кубиков.
Как вероятность выпадения определенной комбинации на двух кубиках может быть использована в игре?
Вероятность выпадения определенной комбинации на двух кубиках может быть использована в игре для рассчета шансов на успех или поражение. Например, если в игре нужно получить определенную сумму значений кубиков, можно рассчитать вероятность выпадения этой суммы и использовать ее для принятия решения о действиях. Высокая вероятность выпадения комбинации может означать, что такой исход более вероятен, а низкая вероятность может указывать на малую возможность такого исхода.