Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

Ранг системы векторов

Определение 2.5. Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Теорема 2.6. Ранг системы векторов а = (a₁ . а_k) линейного пространства L равен:

а) максимальному количеству линейно независимых векторов в системе а;

б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов a₁. a_k в каком-либо базисе линейного пространства L.

◄ Пусть g — некоторый базис в L. Составим по столбцам матрицу А из координат в базисе g векторов а_i, i = 1,k . Линейные операции над векторами а_i соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы. По теореме о базисном миноре [III] ранг матрицы А равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов. Это совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе о. Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.

Выберем в матрице А какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора (базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теоремр о базисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно неза-висимы и поэтому базисные векторы образуют линейно незави: симую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных и поэтому неба-зисные векторы системы выражаются через базисные. Сле-довательно, любая линейная комбинация векторов системы а сводится к линейной комбинации системы базисных векторов, т.е. любой вектор линейной оболочки системы векторов а вы-ражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуют базис линейной оболочки. Количество базисных век-торов, с одной стороны, равно количеству базисных столбцов, т.е. рангу матрицы А, а с другой — совпадает с размерностью линейной оболочки, т.е. с рангом системы векторов а. ►

Замечание 2.2. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисного минора матрицы А отвечают набору векторов системы a, являющемуся базисом в span — линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.

Пример 2.11. Пусть даны векторы a₁, a₂, а₃, а₄ в четырехмерном линейном пространстве L, имеющие в некотором базисе столбцы координат a₁ = (1 2 0 6) T , а₂ = (2 0 3 1) T ,а₃ = (3 2 3 7) T , a₄ = (7 2 9 9) T . Соответствующая матрица А имеет вид

Вычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2. Таким образом, ранг системы векторов равен 2. Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут любые два вектора системы. Например, базисом является пара векторов a₁, a₂. По этому базису можно разложить, напримep, остальные векторы системы. Чтобы найти разложение вектора а₃ по базису, достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений

которая в координатной форме имеет вид

Из четырех уравнений можно оставить любые два. Используя второе и третье уравнения, находим x₁ = 1, x₂ = 1 и, следовательно, а₃ = a₁ + a₂. Аналогично находим и разложение вектора a₄: a₄ = a₁ + 3a₂.

§ 6. Базис и ранг системы векторов

Выше мы показали, что любой n -мерный вектор b = ( b 1 , b , n ) можно разложить по диагональной системе единичных векторов e 1 , e , n . Возникает во- прос: существуют ли другие, отличные от единичных векторов, векторы такие, что любой n -мерный вектор можно представить как линейную их комбинацию? Если да, то как их описать? Определение . Пусть задана система векторов (1). Максимально независимой подсистемой совокупности (1) (векторов a 1 , a , k ) называется любой частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: 1) векторы этого частичного набора линейно независимы; 2) любой вектор исходной совокупности (1) линейно выражается через векторы этого частичного набора. Нетрудно видеть, что, вообще говоря, произвольно заданная совокупность векторов может иметь несколько различных максимальных линейно независимых подсистем. Однако, имеет место следующее утверждение: Теорема . Все максимально независимые подсистемы заданной совокупности векторов имеют одно и то же число векторов. Это утверждение делает возможным следующее определение. Определение . Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом . Число векторов базиса называется рангом исходной системы векторов. Другими словами , ранг системы векторов – это максимальное число линейно независимых векторов системы. Ясно, что если ранг системы векторов a 1 , a , k меньше числа k , то эта с и- стема может иметь несколько базисов. Замечание. Один из возможных способов вычисления ранга системы векторов непосредственно следует из определения (путем очевидного перебора различных комбинаций). О других способах вычисления ранга системы векторов будет сказано в Главе 2 (Матрицы).

Лекция №1 Векторы и операции над ними проф. Дымков М.П. 11 Лемма . Система векторов, состоящая более чем из n-штук n-мерных векторов, линейно зависима . Доказательство . Пусть a 1 , a , m , m > n . Добавим к ней еще n штук единичных векторов e 1 , e , n . В расширенной системе a 1 , a , m , e 1 , e , n векторы e 1 , e , n образуют базис, так как они, во-первых, линейно независимы (пишут иногда сокращенно как ЛНЗ ), и, во-вторых, любой вектор a i является их ли- нейной комбинацией (см. ранее)]. Значит, ранг расширенной системы равен n . Но и тогда и ранг исходной системы векторов равен n . А так как m > n , то исходная система векторов является линейно зависимой. ▄ До сих пор мы говорили о конечной совокупности векторов a 1 , a , k оди- наковой размерности. Как быть, если рассмотреть систему векторов, содержащую бесконечное число векторов a 1 , a 2 , a k , ? Доказанная лемма позволяет распространить понятие базиса и ранга и на бесконечную совокупность. Согласно этой лемме базис любой такой совокупности n -мерных векторов состоит из конечного числа векторов, не превосходящих числа n , где n – размерность пространства векторов, из которых образована данное множество векторов. Значит, мы можем говорить о базисе и ранге системы всех n -мерных векторов, т.е. всего n -мерного пространства R n (см. ранее). Одним из базисов этого пространства является система единичных векторов e 1 , e 2 , e n , введенных выше. С учетом сказанного выше можно сделать следующий вывод : в любом n — мерном векторном пространстве R n существует много базисов; любой базис n — мерного векторного пространства R n содержит ровно n -векторов. Замечание. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Например, пространство всех непрерывных на отрезке [ a , b ]функций имеет бесконечный базис вида 1, x , x 2 . x n . Пусть система векторов a 1 , a 2 , a k является базисом некоторой совокупности векторов, а вектор b является их линейной комбинацией b = λ 1 a 1 + + λ k a k , Имеет место следующая теорема Теорема . Разложение любого вектора конечномерного вектора в заданном базисе, если оно существует, единственно . Следствие. Пусть теперь векторы a 1 , a , n − базис пространства R n . Тогда любой вектор из пространства R n обязательно представим в виде разложения по базису b = α 1 a 1 + + α n a n .

Лекция №1	Векторы и операции над ними			проф. Дымков М.П.	12
Числа α 1 , α , n	называются координатами вектора	в базисе a 1 , a , n , и
				b

как следует из вышеприведенной теоремы это набор чисел единственный для заданного базиса. Ясно, что один и тот же вектор b в другом базисе (их же много!) будет иметь другие координаты. Важность теоремы (следствие к ней) заключается в том, что на ее основе изучение множества векторов n -мерного пространства R n , содержащего бесконечно много элементов, можно фактически свести к изучению конечного множества векторов базиса этого пространства.

§ 7. Ортонормированный базис

Наиболее удобно изучать разложение n -мерных векторов по специальным базисам. Рассмотрим базис пространства R n , состоящий из ортогональных векторов (так называемый ортогональный базис ) , т.е система векторов вида : l 1 , l 2 , l n , для которых скалярное произведение ( l i , l j ) = , если i ≠ j (4). Замечание. Ортогональные базисы хорошо известны на плоскости и пространстве Чем удобны такие базисы? Прежде всего тем, что ко- ординаты разложения произвольного вектора весьма просто определить. Пусть требуется найти координаты разложения произвольного вектора b в

базисе (4), т.е. надо найти числа α i , i = 1. n в равенстве
b = α 1 l 1 + α 2 l 2 + + α n l n .	(5)

Умножим скалярно обе части равенства (5) (это же векторы!) на вектор l i , используя при этом свойства скалярного произведения векторов: ( b , l i ) = α 1 ( l 1 , l i ) + + α i ( l i , l i ) + + α n ( l n , l i ) .

Так как ( l i ,			l j ) =	для			i ≠ j , то получаем
( b , l i ) = 0 + + α i ( l i , l i ) + + 0 .
Отсюда α	=	( b , l i )	=	( b		l i ) ,	i = 1, 2, …, n .
		i		( l i , l i )
l	2
			i

Определение . Ортогональные базисы вида (4), у которых || l i || = 1 , называ- ют ортонормированными базисами . Координаты разложения в таком базисе имеют простой вид ─ это числа, которые вычисляются по формулам α i = ( b , l i ) i , = 1. n .

Лекция № 2

Матрицы и матричное исчисление

проф. Дымков М.П. 13

§ 1. Матрицы. Основные понятия

В этой главе введены новые объекты (сравните с введенными ранее понятиями: числа, векторы и др.) и основные операции над ними. Также показано как эти новые объекты можно использовать при решении конкретных задач. Как оказалось, матричное исчисление является весьма выразительным и компактным математическим аппаратом при моделировании многих процессов в различных областях. Определение . Прямоугольная таблица действительных чисел

a 11	a 12	a 1 n
A = a 21	a 22	a 2 n	,
a m 2
	a m 1	a mn

содержащая m строк и n столбцов, называется (числовой) матрицей размера m x n. (Заметим, что все строки (и все столбцы) имеют одинаковую длину ─ m и n !). Числа a 11 , a 12 , , a mn называются элементами матрицы. Каждый элемент a ij снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которой расположен этот элемент. Матрицы в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами А , В , С , или A 1 , A 2 , . Часто вместо подробной записи всей таблицы используют сокра-

щенную					запись вида A = ( a ij ) , i = 1, 2, , m ,	j = 1, , n	или
A =	a ij	, i = 1,2. m , j = 1,2. n . Когда существенным является указать лишь

размеры матрицы, то матрицы иногда записывают как A m × n Матрица, у которой m = n , называется квадратной . Элементы квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего левого угла, образуют так называемую главную диагональ . Элементы квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего правого угла, обра- зуют побочную диагональ . Квадратная матрица называется диагональной , если у неё ненулевыми элементами являются лишь элементы главной диагонали . Квадратная матрица называется симметрической , если ее элементы, симметричные относительно главной диагонали , равны.

Как найти ранг и базис системы векторов? ранг нашел.. с базисом не понимаю.

Ранг 4. а как базис системы векторов?
+ еще надо записать координаты векторов первоначальной систеым в заданном ббазисе..

Лучший ответ

если ранг рвен четырем, стало быть, базис можно составить из четырех векторов, они будут линейно независимы. соответственно, теперь тебе надо решить вопрос о линейной независимости полученных ненулевых векторов. Составь векторное равенство типа a1*x1+a2*x2+. = 0 и посмотри, будет ли это все выпоняться при ненулевых а1, а2 и т. д. Если да, о это не базис, если нет, то базис.

Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор — не из базиса. Тогда r > k .

Рассмотрим систему векторов . Данная система явля ется линейно зависимой, так как — базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁ , с₂, …, с _k , с, не все равные нулю, такие, что

Очевидно, что (если с= 0 , то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

Вычитая эти равенства, получим

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).