Задача 3: найти радиус кривизны траектории брошенного тела
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.
Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна vy = gt:
Нормальное ускорение тела an:
откуда радиус окружности R равен:
Нормальное ускорение an связано соотношением:
Подставляя (3) и (1) в (2), получим:
После вычислений R = 104,2 м.
Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.
- задачи с решениями
- кинематика
- механика
- равноускоренное движение
- свободное падение
- криволинейное движение
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Радиус кривизны траектории
В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.
Задача 1.
Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом $45^$ к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:
$$a_n=\frac<\upsilon^2>$$
Откуда $R$:
$$R=\frac<\upsilon^2>$$
То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.
Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому
$$R_=\frac<\upsilon_x^2>=\frac<(\upsilon \cos)^2>=\frac<10^2\cdot\left(\frac<\sqrt>\right)>=5$$
Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: $g \cos$ и $g \sin$. Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:
$$R_0=\frac<\upsilon^2>< g \cos>=\frac< 10 \cdot \frac<\sqrt>>=14,1$$
Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной $\upsilon_x= \upsilon \cos=7,05$. По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:
$$\upsilon_y= \upsilon \sin-gt=0$$
$$ \upsilon \sin=gt$$
$$t=\frac<\upsilon \sin>$$
Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси $Y$:
$$\upsilon_y= \upsilon \sin-gt=10\cdot\frac<\sqrt>-10\cdot0,5=5(\sqrt-1)=2,05$$
Определим полную скорость тела в момент времени $t=0,5$:
$$\upsilon_=\sqrt<\upsilon_x^2+\upsilon_y^2>=\sqrt=7,3$$
Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:
$$\beta=\operatorname<\frac<\upsilon_y><\upsilon_x>>=\operatorname>=16^$$
А можно было сразу и косинус найти:
$$\cos=\frac<\upsilon_x><\upsilon_>=\frac=0,96$$
Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:
$$R_=\frac<\upsilon_^2>< g \cos>=\frac< 10 \cdot 0,96>=5,6$$
Ответ: $R_0=14,1$ м, $R_=5,6$ м, $R_=5$ м.
Задача 2.
Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) $\frac>=8$, б)$\frac>>=1$.
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения: $$R_0=\frac<\upsilon_0^2>=\frac<\upsilon_0^2>>$$
Определим теперь радиус кривизны в вершине:
$$R_=\frac<\upsilon_x^2>=\frac<\upsilon_0^2 \cos^2>$$
По условию $\frac>=8$:
$$\frac<\frac<\upsilon_0^2>>><\frac<\upsilon_0^2 \cos^2>>=8$$
$$\frac>=8$$
$$\cos^3=\frac$$
$$\cos=\frac$$
$$\alpha=\arccos <\frac>=60^$$
б) Мы уже определили $R_=\frac<\upsilon_0^2 \cos^2>$, осталась максимальная высота подъема.
$$H_=\frac=\fract^2$$
Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:
$$t=\frac<\upsilon_0 \sin>$$
$$t^2=\frac<\upsilon_0^2 \sin^2>$$
$$H_=\frac\frac<\upsilon_0^2 \sin^2>=\frac<\upsilon_0^2 \sin^2>$$
Приравниваем $H_$ и $R_$:
$$\frac<\upsilon_0^2 \sin^2>=\frac<\upsilon_0^2 \cos^2>$$
Откуда $\frac<\sin^2><\cos^2>=2$.
$$\operatorname^2=2$$
$$\operatorname=\sqrt$$
$$\alpha=\operatorname<\sqrt>$$
Ответ: а) $\alpha=60^$, б) $\alpha=\operatorname<\sqrt>$.
Определить: скорость тела и радиус кривизны траектории
Тело массой m брошено с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в гравитационном поле Земли с вышки высотой h0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: скорость тела через τ=0,50 с после начала движения и радиус кривизны траектории в этот момент времени, если v0=20,0 м/с, α =60, h0=0;
Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000
Комментарии
Решения задачи
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000
Данные задачи: Тело брошено под углом к горизонту в гравитационном поле Земли
| Начальная скорость тела | $v_$ | 20 | $\frac$ |
|---|---|---|---|
| Период времени | $τ$ | 0,5 | с |
| Угол к горизонту | α | 60 | град. |
| Высота вышки | $h_$ | 0 | |
| Определить: скорость тела через τ=0,50 с | $v_$ | ? | |
| Радиус кривизны траектории в этот момент времени | $R_$ | ? |
Изобразим условие задачи на рисунке
Уравнения описывающие движение тела:
$ x = v_<0>tcos(α) $
$ y = v_<0>tsin(α)-\frac> $
$ v_
Определяем вертикальную составляющую скорости через 0,5 с после броска
$ v_
Горизонтальная составляющая неизменна в любой точке траектории
$ v_
Находим результирующую скорость
Определение радиуса кривизны траектории точки
В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом:
по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки:
по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения:
и далее радиус кривизны траектории по формуле (1.3):
Порядок выполнения задания
Движение точки задано кинематическими уравнениями в соответствии с номером варианта задачи (см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14).
1. Определить траекторию точки и изобразить ее на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени, обозначив их М0 и М1 (М0 – в момент времени t = 0; М1 в момент t = t1).
2. Определить алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t = t1. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построить вектор на чертеже и вычислить его величину.
3. Определить алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t = t1. Построить вектор ускорения на чертеже и вычислить его величину.
4. Для определения касательного ускорения необходимо иметь проекцию вектора скорости точки на касательную в виде функции времени: , тогда касательное ускорение точки опреде-ляется по формуле . Определить для момента време-ни t = t1 и построить этот вектор на чертеже.
5. Установить характер движения точки в момент времени t = t1 (по направлениям векторов и ). Если векторы сонаправлены, то движение точки ускоренное, если они противоположны по направлению, то – замедленное.
6. Нормальное ускорение точки в момент времени определяется из равенства
в котором каждый из векторов и вычислен в этот момент времени. Вектор построить на чертеже.
7. Радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1 определить по формуле (1.4).