Что такое равные треугольники?
В прошлой теме вы познакомились с измерениями в треугольниках. Теперь вам знакомы и понятны понятия периметра и площади.
В этой теме мы поймем, что такое равные треугольники, и научимся их распознавать.
Именно в этом уроке мы посмотрим примеры равных треугольников и попытаемся их понять.
Равные треугольники
Два треугольника называют равными, если все измерения этих треугольников одинаковы.
Ревные треугольники — треугольники с одинаковыми измерениями
Но, если честно, это немного перебор. Достаточно равенства основных элементов треугольника, равенство всего остального исходи из равенства этих элементов. Поэтому можем перефразировать, если наложив два треугольника они совпадают полностью, например:
Двигая точки желтого треугольника вы будете изменять его, но так как треугольники будут оставаться равными, то фиолетовый будет также меняться. Двигая точку фиолетового треугольника вы будете перемещать его на плоскости. Двигая фиолетовый треугольник можете наложением убедиться, что треугольники равны.
Вот мы увидели примеры равных треугольников, но то, что мы видели было достаточно очевидным, и было видно даже на глаз, что треугольники равны.
Сложность возникает когда мы добавляем поворот к преобразованиям:
Здесь управление остается таким же, как и в предыдущем примере, но мы добавили еще ползунок, который будет крутить фиолетовый треугольник. Теперь значительно сложнее на глаз отметить, что треугольники равны, хотя они всегда таковы. Чтобы убедиться, ползунок переводите в крайнее положение и тогда все будет так же, как в предыдущем примере.
Но это тоже не самый сложный случай. Самым сложным случаем, а в то же время самый нужный случай, когда равные треугольники являются частью какой-то другой постройки, например треугольники, которые являются частыми треугольниками. Вот пример следующая задача:
\(AM\) — медиана, отрезки \(MP\) и \(MQ\) построены так, что \(MP || AC\) и \(MQ || AB\). Надо доказать, что \(\Delta MPA = \Delta MOA\).
Доказательство может быть достаточно сложным, по сравнению с тем, что мы решали раньше. Мы обязательно вернемся к этой задаче на исходе этой темы, а на данный момент давайте визуально убедимся в верности этого утверждения.
Есть тот же рисунок. Двигая ползунок, смотрите внимательно происходящее. треугольники накладываются! Значит они равны. Теперь обратите внимание, это превращение сложно и не очень понятно как его можно описать какими-то конкретными действиями. Поэтому возникает вопрос: можно ли как-то проще убедиться в равенстве треугольников? Ответы на этот вопрос мы будем находить в этой теме, познакомимся с тремя правилами, которые нам помогут определить равенство треугольников.
Напоследок хочу очертить какая идея задач на равенство треугольников. Когда мы ищем равные треугольники мы должны найти равные соответствующие элементы. Если треугольники равны, должно выполняться правило: напротив равных сторон — равные углы. Потому что иногда можно забывать об этом правиле и найти равные треугольники там, где их нет.
Поздравляю! Надеюсь, вы разобрались с понятием равных треугольников и получили некоторую идею, что мы будем делать в этой теме.
В следующем уроке мы познакомимся с первым правилом, которое будет определять равенство треугольников.
Треугольники 2.0
- 1) Тема 1: Равные треугольники
- 1.1 Что такое равные треугольники?
- 1.2 1 признак равенства треугольников
- 1.3 2 признак равенства треугольников
- 1.4 3 признак равенства треугольников
- 2.1 Как это – подобные треугольники?
- 2.2 Теорема Фалеса
- 2.3 1 признак подобия
- 2.4 2 признак подобия
- 2.5 3 признак подобия
- 3.1 Элементы круга
- 3.2 Углы и круг
- 3.3 Меряем круг
- 3.4 Описанный круг
- 3.5 Вписанный круг
Равные треугольники
Изучая тему треугольников, стоит обратить внимание на признаки равенства двух фигур. Их можно использовать во время решений различных заданий. О том, как определить признаки и свойства равенства треугольников – поговорим в этой статье.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.Определение
Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ считаются равными в том случае, если их можно совместить наложением. При этом, все стороны и вершины фигур полностью наложатся друг на друга, а все соответствующие углы совместятся.
Исходя из определения равных треугольников, в равных треугольниках все соотвествующие стороны равны и все соответствующие углы равны. Используем это свойство для доказательства признаков равенства треугольников способом наложения.
Для обозначения равенства фигур используют знак “равно”, к примеру, $Δ ABC = Δ А_1В_1С_1$
Математик Фалес, чтобы вычесть расстояние от корабля до суши построил треугольник на суше равный треугольнику на «море». Он, таким образом, узнал точное расстояние.
Признаки равенства
Выделяют три признака равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие фигуры равны.
2. Если сторона и два прилегающих к ней угла одного треугольника равны соответствующей стороне и двум прилегающим к ней углам другого треугольника, то такие фигуры равны.
3. Если три стороны в одном треугольнике равны трем сторонам в другом треугольнике, то такие треугольники равны.
Кроме того, стоит выделить некоторые свойства:
- Сумма двух внутренних углов треугольника будет всегда меньше 180 0 .
- Внешний угол треугольника всегда больше внутреннего, при условии, если угол не смежный с ним.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Алгоритм доказательства равенства фигур
- Необходимо сориентироваться, для каких треугольников необходимо доказать равенство. Для удобства можно выделить их разными цветами.
- На рисунке отметить, все необходимые данные в условии задания.
- Проверить есть ли у двух треугольников общая сторона либо угол.
- Далее необходимо проанализировать, имеют ли треугольники по две пары равных сторон либо углов. А также необходимо поразмышлять, как можно доказать равенство третьей стороны, либо угла между ними.
- При недостатке данных необходимо выяснить: можно ли использовать равенство других треугольников, чтобы доказать равенство нужных по условию.
- При необходимости, можно сделать дополнительное построение.
Порядок названия вершин одного треугольника должен быть одинаковым с порядком названия вершин другого треугольника.
Стойки стремянки могут свободно раздвигаться, до того момента, когда их не зафиксировали перемычкой. Жесткость такой конструкции основывается на третьем признаке равенства фигур.
Пример
Задание:
Два отрезка пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Доказать, что $Δ ABO = Δ CDO$.Решение:
Стоит обратить внимание на рисунок
В условии задания сказано, что $BO=OD$, $AO = OС$. А углы $AOB$ и $COD$ равны, так как они вертикальные. Поэтому $Δ ABO = Δ CDO$ по первому признаку равенства треугольников.
Что мы узнали?
Для того, чтобы доказать равенство фигур необходимо использовать один из трех признаков равенства треугольников. Треугольники могут быть равными по двум сторонами и углу между ними, по стороне и двум прилегающим к ней углам, а также по трем сторонам.
Как разбить сферу на равные треугольники
doc.
Набрал и получил гору флуда.
Вобщем гугл помог уже.#3
12:43, 7 янв 2010_vasa_
> Набрал и получил гору флуда.
Да ну?! Первый пост по первой же ссылке полностью содержит решение поставленной задачи.#4
12:44, 7 янв 2010А ссылку дашь может быть?
#5
13:09, 7 янв 2010_vasa_,surface subdivide,функция есть в Humus 3D Framework,юзается как раз для создания сферы.
#6
14:27, 7 янв 2010Строишь тетраедр, чтобы его вершины были на расстоянии от центра, равном радиусу сферы. Далее берешь полученные треугольники и делишь каждый на три подтреугольника, извлекая серединную точку треугольника и затем «нормализуя» ее положение так, чтобы расстояние до центра бывшего тетраедра было равно радиусу сферы. Продолжаешь по аналогии с нужным количеством итераций
Прошло более 11 месяцев
#7
2:25, 13 дек 2010Madware, красивое решение!
Как разбить сферу на равные треугольники
все гениальное просто ! ) икосайдер и нет проблем ) спасибо
ну начинать, положим, надо с тетраэдра, только непонятно зачем все это? ��
Если имеем дело с реальной сферой а не с 3Д моделью, то тоже достаточно просто: чертим циркулем окружность №1 любого диаметра, далее окружность №2, что бы её центр лежал на первой окружности, получаем 2 точки пересечения окружностей, чертим еще окружности, что бы их центр находился в точках пересечения других окружностей. И так расчерчиваем, пока не закончатся точки пересечения по всей сфере. В результате получаем поверхность с точками, соединив которые прямыми, получаются треугольники, либо шестигранники(по желанию).
5 класс помоему;).Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Разбиение поверхности сферы на равные треугольники
На страницу 1 , 2 След. Разбиение поверхности сферы на равные треугольники
12.05.2008, 10:27Можно ли разбить поверхность сферы на равные треугольники?
Что-то мне подсказывает, что да. Поэтому интересен ответ на следующий вопрос (если первый имеет утвердительный ответ):
Как вычислять вершины этих треугольников?
Что может быть проще, берёте правильный многогранник с треугольными гранями(тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), описываете вокруг него сферу, вершины исходного многогранника и дадут вершины треугольников.
А можно ли выразить параметрически координаты вершин этих треугольников?
Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?
Заслуженный участник Jaranero писал(а):
Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?
Предыдущий ответ содержал полный список вариантов.
12.05.2008, 13:30
ИСН писал(а):
Jaranero писал(а):
Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?
Предыдущий ответ содержал полный список вариантов.Треугольники по условию задачи должны быть равными (друг другу), но не обязаны быть равносторонними. А я уже с равнобедренными не равносторонними треугольниками вижу как минимум счётное число вариантов разбиения.
Заслуженный участник Ну, в первом посте автора упоминались равные треугольники (так-то и я вижу счётное число вариантов), во втором — правильные .
Ну да, в общем-то. Согласен с тем, что насчёт правильных треугольников комментарий ИСН тоже был правильным
Заслуженный участник А на сколько подобных друг другу треугольников можно разбить сферу?
12.05.2008, 14:41Заслуженный участник На сфере нет подобных треугольников. Есть одинаковые.
12.05.2008, 15:23О боже мой! Только не подобные треугольники!))) Мне хватит уже про равные и правильные)))
Шучу конечно! Мне все очень интересно! Особенно насчет правильных треугольников . В первом посте я видимо не учел всего многообразия математических понятий.
ИСН писал(а):
На сфере нет подобных треугольников. Есть одинаковые.Кстати, а почему нет? Можно разбив сферу на правильные треугольники объединить некоторые из них так что получатся подобные треугольники
Но я не об этом хотел узнать. Просто хотелось бы вывести формулу по которой можно было бы «передвигаться» из любой вершины треугольника в соседние вершины, выбирая одно из шести направлений.
Т.е. имеется координата какой-либо вершины треугольника (которая является точкой поверхности сферы и плюс вершиной еще пяти соседних треугольников по вершине). Используя эти координаты и направление (вдоль одного из шести ребер) надо вычислить координаты следующей вершины.Но как? Какая длина ребра у треугольника будет? От чего зависит число треугольников на которые можно разбить сферу?
Как разбить сферу на правильные треугольники?
Как зная радиус сферы R, есть ли формула которая находит число треугольников? типа формулы нахождения кол-во водорода в алкенах (CnH2n). По кол-ву треугольников найти сторону треугольника, найти кол-во точек и общую число граней.
Нужны формулы которые находят кол-во треугольников, кол-во точек (красных) и общую длину граней (оранжевые) .Лучший ответ
Это не одинаковые треугольники. Те, которые составляют шестиугольник — они правильные. А те которые составляют пятиугольник — равнобедренные. Эта фигура называется усеченный икосаэдр. Она состоит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Вершин 60. Ребер 90. Все ребра одинаковые .
Сергей ИгоревичМудрец (14421) 9 лет назад
А мне нужно разбить сферу так что бы были одинаковые ребра только что бы их было больше, есть ли такая формула? Найти кол-во вершин и кол-во ребер. и от радиуса сферы найти общую длину ребер. . такие есть формулы?
Семен Аркадьевич Высший разум (340074) Посмотри в инете тему: «Полуправильные многогранники». Таких тел много. Ребер доходит до 180. Но грани не только треугольники как и в этом. Не понятна цель: хочу чтобы ребер было больше? Зачем нужно разбивать ?
Остальные ответы
разве что на икосаэдр. дальше уже правильные не поучатся, 5 треугольников сильно не ложатся
у вас — все тругольники неправильныеСергей ИгоревичМудрец (14421) 9 лет назад
Ну тогда как на рисунке только большее кол-во треугольников и большие кол-во и как найти общее кол-во граней и их общую длину?
Сергей ИгоревичМудрец (14421) 9 лет назад
А если такая программа? которая по данным делает все расчеты?Семен Аркадьевич Высший разум (340074) А там простейшие геометрические расчеты. Элементарно сделать в Екселе такую программку.
На треугольники не получится.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Полуправильный_многогранник
Семен АркадьевичВысший разум (340074) 9 лет назадИ на треугольники можно. Только не правильные. Есть такой термин : «Геодезический купол». Первый был построен на основе икосаэдра. Даже есть программы построения таких куполов.
Инженер-констриктор Высший разум (189551) Вот именно, что неправильные. Но думаю, что автора интересует, чтобы они были одинаковыми. Так что геодезический купол как раз сойдёт.
Похожие публикации:
- Lenovo modern imcontroller что это
- Vtt voltage что это
- Как подключить флешку к удаленному рабочему столу
- Как удаленно выключить компьютер через локальную сеть
Как разбить сферу на равные треугольники
Разбиение сферы на треугольники — это задача с важным практическим применением в компьютерной графике и визуализации, а также в науке и исследованиях сферической геометрии. Она возникает, например, при создании трехмерных моделей объектов или при построении сферических сеток.
Одним из наиболее популярных и простых подходов к разбиению сферы на треугольники является метод сетки компьютерной графики. Суть его заключается в том, что в изначально плоской сетке на сферической поверхности создаются новые точки путем проецирования изначальных точек на единичную сферу. Затем каждый треугольник плоской сетки разбивается на несколько меньших треугольников.
Более эффективный способ разбиения сферы на треугольники — использование подхода с иерархическим разбиением. При таком подходе сфера разбивается на несколько уровней детализации, каждый из которых содержит все больше треугольников. Таким образом, наиболее грубая сетка представляется небольшим количеством треугольников, а каждый следующий уровень добавляет дополнительные треугольники, улучшая детализацию поверхности.
Равномерное разбиение сферы на треугольники
Равномерное разбиение сферы на треугольники является важной задачей в компьютерной графике, компьютерном зрении и других областях обработки изображений. Это задание крайне сложно, и существует множество различных алгоритмов для его решения. В данной статье мы рассмотрим некоторые из них.
Алгоритм Icosahedron основан на разбиении исходной сферы на 20 равносторонних треугольников. Затем каждый из этих треугольников разбивается на более мелкие треугольники путем добавления промежуточных вершин на ребрах. Этот процесс повторяется до достижения необходимой густоты разбиения.
Алгоритм Dodecahedron основан на разбиении исходной сферы на 12 равносторонних пятиугольников. Затем каждый из этих пятиугольников разбивается на более мелкие треугольники путем добавления промежуточных вершин на ребрах. Этот процесс повторяется до достижения необходимой густоты разбиения.
Алгоритм Octahedron основан на разбиении исходной сферы на 8 равносторонних треугольников. Затем каждый из этих треугольников разбивается на более мелкие треугольники путем добавления промежуточных вершин на ребрах. Этот процесс повторяется до достижения необходимой густоты разбиения.
Каждый из этих алгоритмов имеет свои особенности и применяется в разных сферах. Некоторые алгоритмы обеспечивают более равномерное разбиение, но требуют больше вычислительных ресурсов, в то время как другие алгоритмы могут быть более эффективными, но менее точными в равномерном разбиении.
Алгоритм Особенности Применение Icosahedron Высокая точность 3D моделирование, компьютерное зрение Dodecahedron Высокая точность 3D моделирование, компьютерное зрение Octahedron Быстрое выполнение Компьютерные игры, виртуальная реальность Выбор алгоритма разбиения сферы на треугольники зависит от конкретной задачи и требований к точности и скорости выполнения. Распознавание объектов на изображении может потребовать более точного разбиения сферы, в то время как в приложениях виртуальной реальности важна скорость выполнения.
Простые методы равномерного разбиения сферы
Существует несколько простых методов для равномерного разбиения сферы на треугольники. Рассмотрим некоторые из них:
- Метод исключения одного угла Этот метод заключается в выборе точки на поверхности сферы и соединении этой точки с каждой вершиной треугольника. Затем один угол треугольника удаляется и процесс повторяется для получившихся двух треугольников. Таким образом, сфера разбивается на все более мелкие треугольники.
- Метод разделения ребер Этот метод заключается в разделении каждого ребра треугольника пополам и добавлении новой вершины на середину этого ребра. Затем для каждой новой вершины соединяются соседние вершины и получаются новые треугольники. Процесс повторяется до достижения требуемой степени детализации.
Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. Выбор конкретного метода зависит от требований проекта и наличия времени и ресурсов для его реализации.
Подробнее о простых и эффективных методах равномерного разбиения сферы можно узнать в других разделах данной статьи.
Эффективные способы разбиения сферы на треугольники
Разбиение сферы на треугольники является важным приемом в графике и компьютерной графике. Это может быть полезно для создания трехмерных моделей, симуляции физических процессов, визуализации данных и других задач.
Существует несколько эффективных способов разбиения сферы на треугольники:
- Сетка шестиугольников Один из наиболее простых способов разбиения сферы — использование сетки шестиугольников. Для этого сфера разбивается на шестиугольники, причем каждый шестиугольник имеет одно общее ребро с каждым из соседних шестиугольников. Такая сетка образует регулярное разбиение сферы на треугольники.
- Иерархическое разбиение Одной из эффективных техник разбиения сферы на треугольники является иерархическое разбиение. В этом способе сфера разбивается на более крупные треугольники, а затем эти треугольники разбиваются на более мелкие и так далее. Такое иерархическое разбиение позволяет более гибко управлять уровнем детализации сферы и эффективно учитывать разную плотность треугольников в разных областях сферы.
- Сферические координаты Еще одним эффективным способом разбиения сферы на треугольники является использование сферических координат. При таком разбиении сфера представляется в виде сферических треугольников, где каждый треугольник определяется тремя сферическими координатами. Этот способ позволяет более гибко контролировать форму и расположение треугольников на сфере.
- Тесселяция Техника тесселяции также может быть использована для разбиения сферы на треугольники. Тесселяция позволяет динамически разбить трехмерный объект на треугольники, учитывая его форму, размер и другие параметры.
Каждый из этих эффективных способов разбиения сферы на треугольники имеет свои преимущества и недостатки. Выбор конкретного способа зависит от требований конкретного проекта и доступных ресурсов. Использование любого из этих способов позволяет создавать реалистичные и эффективные трехмерные модели сферы.
Вопрос-ответ
Можно ли равномерно разбить сферу на треугольники?
Да, существуют способы равномерного разбиения сферы на треугольники. Один из таких способов основан на триединичной сетке. Другой способ называется иерархическим разбиением.
Как работает триединичная сетка для равномерного разбиения сферы?
Триединичная сетка — это метод разбиения сферы на треугольники, основанный на рекурсивном делении дельтоидного графа, представляющего сферу, пока полученные треугольники не будут достаточно малыми. Этот метод позволяет получить равномерное разбиение сферы.
Чем отличается иерархическое разбиение для равномерного разбиения сферы?
Иерархическое разбиение — это метод разбиения сферы на треугольники, который использует итеративный алгоритм деления каждого треугольника на четыре меньших треугольника. Этот метод также позволяет получить равномерное разбиение сферы.
Какая вычислительная сложность у методов равномерного разбиения сферы на треугольники?
Вычислительная сложность методов равномерного разбиения сферы на треугольники зависит от числа треугольников, на которые нужно разбить сферу, и от необходимой точности разбиения. Чем больше треугольников и точность, тем больше вычислительная сложность.
Каким образом равномерное разбиение сферы на треугольники может применяться в практике?
Равномерное разбиение сферы на треугольники имеет широкое применение в различных областях, таких как компьютерная графика, моделирование поверхностей, географические информационные системы и другие. Это позволяет более эффективно обрабатывать геометрические объекты, представленные на сфере.