Степень с отрицательным показателем
Сама по себе отрицательная степень мало что изменяет в примерах. Иногда она помогает сделать запись более короткой. Можно перезаписывать большие дроби в строчки с помощью отрицательных степеней.
Самые основные тождества, без которых сложно пользоваться данными степенями:
1) Когда отрицательная степень стоит при недробном числе:
1.1) a — любое число, не равное нулю;
1.2) вместо степени -1 может быть любая отрицательная степень, например, -n:
2.1) a обязательно равно нулю;
2.2) опять же на месте -1 может быть любая отрицательная степень, например, -n:
Свойства
Есть несколько свойств, которые можно применять к отрицательной степени:
1. Когда у одного из чисел присутствует отрицательная степень:
2. Когда у двух чисел она есть:
Данные свойства работают для любых степеней m и n и для любых чисел а, не равных нулю. Напоминаю, что данные свойства так же, как и основные тождества выше, можно применять в обе стороны (как слева направо, так и справа налево). Чаще всего эти свойства нужно применять в примерах, где необходимо что-то упростить и сократить. Также иногда их можно использовать для быстрого подсчёта чисел со степенями в некоторых примерах.
Примеры
Рассмотрим несколько небольших примеров с данными степенями.
Необходимо упростить следующие выражения:
Используя свойства степеней, упростить и вычислить числовые значения следующего выражения:
Для начала упростим выражение в буквенной записи. Можно сразу подставить числовые значения и начать упрощать, но мы пойдём другим способом.
Теперь подставим числовые значения в получившееся выражение:
Как видно, из большого громоздкого выражения мы относительно быстро смогли перейти к небольшой дроби, которую было также просто подсчитать. Не всегда ответы получаются такими же простыми и/или аккуратными сразу после сокращения, так что всё равно следует перепроверять правильность своих действий/сокращений/расчётов.
С помощью владения свойствами степеней (в том числе и отрицательных) можно с лёгкостью решать упрощать буквенные и численные выражения различной сложности разными способами.
Как работают отрицательные степени?
Как возможно умножить число само на себя, например, -3 раза? И почему отрицательные степени считаются по формуле a^-n = 1/a^n(куда делся минус и откуда взялась единица)?
Лучший ответ
Если возводить двойку как обычно, будет ряд чисел : 1, 2, 4, 8, 16. А если в нулевой степени, то 1. Здесь мы видим, что каждое последующее число больше другого в 2 раза. Как и каждое предыдущее меньше в два раза. Тогда, если мы перейдём в разряд отрицательных показателей, во сколько раз меньше будет очередное число? В два раза. Но что за число меньше единицы в два раза? 0.5 или 1\2. (единица состоит из двух половинок). Значит 2^-1 = 1\2. следующее число будет ровно меньше предыдущего в два раза, т. е. 1\4. Значит 2^-2 = 1\4. (раздели (уменьши) 1\2 на 2 и получишь 1\4)
очевидно, что чем меньше знаменатель дроби, тем меньше значение.
В отрицательных степенях получаются числа обратные в положительных степенях (обратные дроби, как при делении дробей). 4 и 1\4, 2 и 1\2.
4 в дробях это = 4\1. обратное этой дроби 1\4. оно и получается в минус-степенях.
смысл отрицательной степени показать, насколько это число меньше, с таким же размахом, как и в положительной. Это как отрезки одинаковой длины по модулю, но с разным знаком. Дробь указывает на уменьшение числа.
Марк БертранУченик (109) 3 года назад
Спасибо, единственное что мне помогло понять.
Mephedrone Просветленный (22519) Марк Бертран, юзай сайт «математика с нуля»
Остальные ответы
они работают отрицательно
Марк БертранУченик (109) 3 года назад
Спасибо папаша гуль за этот ответ нового века, который я удалю
Будешь должен всем в -3 раза.
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
заменить отрицательную степень на положительную;
возвести число в положительную степень.
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
a−n =
1
an
,где a ≠ 0, n ∈ z (n принадлежит целым числам).
ПолюшкаПрофи (594) 3 года назад
Примеры возведения в отрицательную степень.
минус никуда не делся. отрицательная степень пишется для удобства сложения умножения степеней. 1/a^n проще написать a^-n чтобы избавиться от дроби
При возведении в отрицаиельную степень ты делишь единицу на степень это числа.
К примеру: 3-³ это будет 1/3³
Марк БертранУченик (109) 3 года назад
Очень тебе благодарен, друг, как и остальным ответчикам которые объясняли мне то, что я уже давно понял, но мой вопрос заключается в том, откуда взялась единица. Почему бы мне не взять и поделить двойку или тройку на степень этого числа? Мне не нужна формула, я даже написал её чтобы люди поняли что я о ней знаю и могу по ней считать, у меня вопрос именно в том почему эти 2 выражения равны.
Apc NickУченик (166) 3 года назад
a^(-n )= 1/a^n- это определение, его нужно запомнить и уметь применять.
Марк БертранУченик (109) 3 года назад
Почти никто не заметил слова ПОЧЕМУ. Меня не интересует ни формула, ни её применение на практике, ни что это формула из себя представляет, чтобы развиваться мне нужно узнать ПОЧЕМУ формула ИМЕННО ТАКАЯ, ПОЧЕМУ я не могу по приколу взять что угодно и сказать что по этой формуле ты сможешь узнать ответ.
** *** Мудрец (15747) Ещё раз — это определение, оно не доказывается, а принимается таким, какое оно есть, вы же не доказываете, что чёрное яв-ся чёрным. никаких почему, здесь не должно быть, а вот по приколу = 2
Если a^-n = x, то по свойству
a^m * a^n = a^(m+n) имеем
x * a^n = a^0 = 1,
откуда x = 1/ a^n.
В твоем задании нет отрицательной степени.
У тебя отрицательное число (-3) в положительной степени 3
(-3) ^3 = -3 * -3 * -3 = -27
Или вот так : ( -3 )^2 = 9, a -(3)^2 = -9 — пойми разницу !
Отрицательная степень — это другое, это то, что ты написал — a^-n = 1/a^n
2^(-3) —два в степени минус три
2^(-3) = 1/ 2^3 = 1/8
Минус не относится к числу, он показывает, что число уходит в знаменатель.
Отрицательная степень числа
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a 5 — 8 = a -3 .
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
| a 5 | = | 1 | . |
| a 8 | a 3 |
| a -3 = | 1 | . |
| a 3 |
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| x 2 |
| 1 | = x -2 . |
| x 2 |
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
| 1 | . |
| (m + n) 2 |
| 1 | = (m + n) -2 . |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
Отрицательная степень
Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».
Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.
Как возвести число в отрицательную степень
Запомните!
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести число в положительную степень.
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).
Примеры возведения в отрицательную степень.
Запомните!
Любое число в нулевой степени — единица.
a 0 = 1 ,где a ≠ 0
Примеры возведения в нулевую степень.
Как найти 10 в минус 1 степени
В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:
Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».
Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «
» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».
Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.
Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.
По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.
Запомните!
Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».
Проверим правило выше для « 10 −2 ».
Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».
Рассмотрим « 10 −1 ».
Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».
То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.
10 −12 = 0,000 000 000 001
Как возвести в отрицательную степень дробь
Запомните!
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» дробь;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести дробь в положительную степень.
Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.
Перевернем дробь «
» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.
Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».
Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.
Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.
Запомните!
Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .
Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .
Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−
) » в « −3 » степень.
По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.
Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .
Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.
Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.
Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.
Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .
Свойства отрицательной степени
Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.
В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.
Запомните!
- a m · a n = a m + n
Примеры решений заданий с отрицательной
степенью
Разбор примера
Представить в виде степени.
2) a 6 · b 6 = (ab) 6
Разбор примера
Записать в виде степени с отрицательным числом.
Разбор примера
| 13 12 |
| 2 12 |
| 13 12 · 2 2 |
| 2 12 · 13 2 |
| 13 12 · 2 2 |
| 13 2 · 2 12 |
| 13 12 |
| 13 2 |
= 13 12 − 2 · 2 2 − 12 = 13 10 · 2 −10 = 13 10 ·
| 13 10 · 1 |
| 2 10 |
| 13 10 |
| 2 10 |
Разбор примера
| 2x 6 |
| 3y −4 |
| 2 2 x 6 · 2 |
| 3 2 y −4 · 2 |
| 4x 12 |
| 9y −8 |
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
20 ноября 2016 в 12:53
Виктор Помаранов Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Виктор Помаранов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0,4•(-10) 3 -7•(-10) 2 +64
21 ноября 2016 в 13:13
Ответ для Виктор Помаранов
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Нечетная стпень-не меняет знак, четная — меняет.
0,4 · (-1000) ? 7 · 100 +64 = ?400 ?700 +64 = ?1036
Ответ: ?1036
23 августа 2016 в 11:52
Мария Кузьменко Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Мария Кузьменко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Помогите решить, пожалуйста подробно))
4 в 6 степени минус 3 в 6 степени
30 августа 2016 в 15:01
Ответ для Мария Кузьменко
Наталия Зимарина Профиль Благодарили: 1
Сообщений: 1
Наталия Зимарина
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 1
4 6 -3 6 =(4 3 ) 2 -(3 3 ) 2 =(4 3 -3 3 )(4 3 +3 3 )=(64-27)(64+27)=37 · 81=2997
18 сентября 2023 в 19:21
Ответ для Наталия Зимарина
Зенфира Кечерукова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Зенфира Кечерукова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Здравствуйте, автор.Я не математик, но в ВУЗ- е препод нам говорил, что всё надо объяснить на математическом языке.Слова «переносим,»«переворачиваем» не имеет с математическим языком ничего общего.Не имеет доказательной базы и логических связей.Вот, если заменить эти слова на «умножить»,«разделить»,«отнять », тогда дело другое.
18 сентября 2023 в 19:22
Ответ для Зенфира Кечерукова
Зенфира Кечерукова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Зенфира Кечерукова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2