Как получить число пи

как получить число ПИ (3.14159265)?

при N равном 10 получишь очень неплохую точность
PS 22/7 это рациональное число поэтому числом Пи быть в принципе не может.

Подели 22 на 7 и во тебе число пи ))

Пи=3+4/(2×3×4)-4/(4×5×6)+4/(6×7×8)-4/(8×9×10).
А так Пи равно длинеокружости делёное на её диаметр, Пи=C/d

22 раздели на 7
333/106- дядя Толя. (3.1415..) -либо 666/212

Человек спросил как получают такую точность числа пи, а не то, что вы там городите. Без вас тоже понятно, что с=πd. Максимально большой круг с веревкой искать будете что ли? И 22/7 тоже не точное значение, а лишь до сотых после запятой

Как с помощью спичек найти число пи

Это для вас’ decoding=’async’ loading=’lazy’>

Мы как-то писали о методе Монте-Карло: он изучает случайные процессы, которые происходят в разных системах, и на основании результатов делает различные выводы. Например, с помощью метода Монте-Карло навигатор моментально находит кратчайший путь между городами, пусть и с небольшой погрешностью.

Одно из применений этого метода, когда он только появился, было нахождение числа пи. Но есть и другие способы, которые также позволяют находить число пи и при этом могут использоваться в самых разных областях жизни. Один из таких способов — задача Бюффона о бросании иглы.

В чём идея

В 18 веке французский математик Карл Бюффон открыт новый метод вычисления числа пи. В основе метода — бросание иглы случайным образом на ткань. Общую идею можно рассказать так:

1. Берём ткань и рисуем на ней параллельные линии на расстоянии X друг от друга.
2. Берём иглу длиной L, но так, чтобы её длина была меньше или равна расстоянию между линиями, то есть L
3. Случайным образом бросаем иглу на ткань и смотрим, попала ли игла на одну из линий или нет.
4. Считаем, сколько раз мы бросили иглу и сколько раз она попала на одну из линий.
5. Отношение этих двух чисел даст нам число, похожее на пи. Чем больше бросков — тем результат будет ближе к пи.

Бюффон доказал, что вероятность того, что игла попадёт на одну из линий, равна 2L/Xπ. Чтобы улучшить результат, нужно взять иглу с длиной X = L/2, то есть в два раза короче расстояния между линиями. Если так сделать, то вероятность броска иглы на линию становится равна 1/π.

Как это повторить дома

Самый простой способ повторить эксперимент Бюффона выглядит так:

1. Возьмите коробок спичек и измерьте длину одной спички — пусть это будет L.
2. На листе бумаги нарисуйте параллельные линии с расстоянием 2L между собой.
3. Высыпьте спички из коробка и распределите их равномерно на листе.
4. Забирайте спички по одной с листа, откладывая в отдельную кучку те, что попали на линию.
5. Посчитайте, сколько получилось спичек в отдельной кучке и сколько их было всего.
6. Разделите большее число на меньшее — вы получите число, близкое к π (3,1415926…).
7. Можно взять лист А3 или А2 и несколько коробков — так результат будет точнее.

А почему так работает?

У нас две гипотезы.

Одна гипотеза — мы находимся в матрице, но на слабом сервере, и нам недоступны алгоритмы подлинных случайных чисел. Чтобы оптимизировать вычисления, программисты оптимизировали алгоритм случайности с помощью числа пи. Вот мы и видим этот алгоритм в работе.

Другая гипотеза — число пи связано с тем, как устроены естественные природные процессы, в том числе любой хаос. (Так же, как нормальное распределение.) Можно представить так: мы используем десятичную систему счисления, потому что у нас 10 пальцев на руках. А у природы и хаоса нет 10 пальцев, у них свои встроенные величины. И если привести природные величины к нашим десятичным, получится число пи.

Вот вам аналогия. В США и Великобритании для измерения расстояния используют мили, а не километры. Миля получилась от римского «тысяча шагов». Шаг — это буквально шаг римского солдата длиной примерно полтора метра. То есть буквально есть ступня римского солдата длиной 29,6 см (в России это размер 44,5). Пять таких ступней подряд — это шаг. Тысяча шагов — это миля.

А в Европе мы всё измеряем не милями, а километрами. Километр — это 1000 метров. Почему 1000? Просто так договорились. А что такое метр? Это одна десятимиллионная расстояния от Северного полюса до экватора. А километр, получается, это одна десятитысячная этого расстояния.

Как связан размер шага римского легионера и расстояние от полюса до экватора? А вот так: одна миля — это примерно 1,6 километра; а один фут — это примерно 0,3 метра. Почему такое соотношение? По кочану. Просто есть разные системы измерения, основанные на разных физических величинах.

Код, который имитирует разбрасывание спичек

Если дома нет спичек и бумаги, вот код, который можно запустить у себя на компьютере и проверить теорию на практике. Логика кода точно такая: случайным образом выбираем координаты спичек и смотрим, пересекают они линию или нет.

Для работы кода нужен Python, если не знаете, как его установить, вот статья в помощь:

# подключаем библиотеку для обработки данных import numpy as np # устанавливаем параметры случайного значения np.random.seed(4) # расстояние между линиями и высота иглы width = 1.0 needle = 0.5 # количество пересечений и промахов num_hits = 0 num_misses = 0 # наибольшие и наименьшие возможные координаты концов иглы x_lo = 0.0; x_hi = 3.0 y_lo = 0.0; y_hi = 4.0 print("Начинаем симуляцию") # запускаем цикл for i in range(10000): # выбираем начальные координаты иглы x = (x_hi - x_lo) * np.random.random() + x_lo y = (y_hi - y_lo) * np.random.random() + y_lo # выбираем угол поворота angle = np.radians(360.0 * np.random.random()) # конечные координаты иглы xx = x + needle * np.cos(angle) yy = y + needle * np.sin(angle) # меняем координаты местами, если игла развернулась if xx < x: (x, xx) = (xx, x) (y, yy) = (yy, y) # смотрим, есть ли пересечение, и если да — увеличиваем счётчик пересечений if (x < 0.0 and xx >0.0) or (x < 1.0 and xx >1.0) or (x < 2.0 and xx >2.0) or (x < 3.0 and xx >3.0): num_hits += 1 # увеличиваем счётчик промахов на единицу else: num_misses += 1 # считаем соотношение попаданий и бросков pr = (num_hits * 1.0) / (num_hits + num_misses) # считаем число пи pi_est = (2.0 * needle) / (pr * width) # выводим результаты print("Длина иглы: %0.1f " % needle) print("Расстояние между линиями: %0.1f " % width) print("Количество пересечений: " + str(num_hits)) print("Количество промахов: " + str(num_misses)) print("Рассчитанное значение числа Пи: %0.4f" % pi_est)

Зачем это было нужно

Так раньше учёные и математики изучали связь между случайными событиями и известными им числами — есть связь или нет. С помощью таких исследований они пытались найти закономерности в разных областях жизни и смотрели, можно ли это как-то применить в обычной жизни.

Компьютеров тогда не было, поэтому часто единственный способ проверить теорию на практике — это подбрасывать много раз иглы и смотреть, пересекают они линии или нет.

Где это применяется сейчас

В наше время значение числа пи можно узнать с точностью до любого знака после запятой — уже есть алгоритмы, которые позволяют это сделать. Но алгоритм Бюффона применяется сейчас не для этого, а чтобы определить вероятности и параметры для разных случайных процессов.

Представим, что мы хотим провести серию экспериментов в космосе в условиях невесомости. Для этого нам нужно, чтобы во время эксперимента не работали корректировочные двигатели — те, которые стабилизируют космический аппарат на его орбите. Если мы будем знать длительность одного эксперимента (длину иглы) и общее количество экспериментов, которые нам нужно провести, то можем рассчитать вероятность включения двигателей во время эксперимента (расстояние между линиями) и количество испорченных серий. Это значит, что мы сможем скорректировать ход эксперимента и построить его так, чтобы получить нужный нам объём результатов с учётом испорченных.

Что дальше

В следующий раз сделаем не просто код в консоли, а нарисуем красивую визуализацию с разбросанными спичками на странице. Подпишитесь, чтобы не пропустить новый проект.

Март, четырнадцатое. Как вычислить число Пи

Каждый год 14 марта мы публикуем материал, посвященный числу Пи. На этот раз по просьбе N + 1 математик Владимир Потапов рассказал о том, как число Пи можно вычислить математическим путем, с помощью различных — подчас необычных — формул.

Еще в древности люди заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру близко к трем, но не точно три, а чуть больше. Причем это отношение не зависит ни от диаметра окружности, ни от места, где она проведена. В те времена это отношение, названное впоследствии числом Пи, не сильно выделялось из множества других чисел, которые можно определить опытным путем. Таких как отношение диагонали квадрата к его стороне или отношение площадей квадрата и равностороннего треугольника с такой же, как у квадрата, стороной.

Отцом числа Пи следует считать Архимеда, которого называют автором удивительных открытий, что отношение Пи не приближенно, а в точности связывает не только диаметр и длину окружности, но и площадь круга и квадрат его радиуса, объем шара и куб его радиуса и даже площадь сферы и квадрат ее радиуса. То есть Архимед доказал известные всем со школы формулы: L = 2πr, S1 = πr2, V = 4/3 x πr3 и S2 = 4πr2.

Архимеду принадлежит также первая не опытная, а теоретическая (методом построения описанных и вписанных в круг многоугольников) оценка числа Пи: 3 + (10/71) < < 3 + (1/7). То есть он нашел первые три десятичные цифры числа Пи = 3,14. что и определило сегодняшнюю дату.

Впоследствии математики поняли, что число Пи связывает объем многомерного шара и степень его радиуса при любой размерности пространства (с рациональным множителем, уже зависящим от размерности: для 2х измерений это 1, для 3х измерений — 4/3). Таким образом, число Пи не изменится даже для исследователей, живущих в пространствах с другим числом измерений.

Однако отношение длины окружности к ее диаметру меняется при искривлении пространства и совпадает с нашей константой только в «плоском» однородном случае, проще говоря в пространстве, для которого справедлива теорема Пифагора. Как утверждает теория относительности, рядом с горизонтом событий черной дыры пространство сильно искривлено. Неужели цивилизация, которой повезло возникнуть в подобном месте, может не подозревать о существовании константы Пи?

Оказывается, число Пи неожиданно возникает просто из натурального ряда чисел. Английский математик Джон Валлис, старший современник Исаака Ньютона, открыл удивительную формулу:

Многоточие в конце формулы означает, что если мы перемножим достаточно много четных чисел в числителе и нечетных в знаменателе, то получим результат, сколь угодно близкий к числу Пи /2.

Еще более удивительную для непосвященных формулу с участием числа вывел великий математик Леонард Эйлер, бóльшую часть своей долгой научной карьеры проработавший в Петербургской академии наук:

Эта формула была признана «самой красивой теоремой в математике». Здесь e = 2,71828. — константа Эйлера, i = √-1 — мнимая единица и Пи — конечно, наше число Пи. На самом деле формулаЭйлера эквивалентна сразу двум равенствам:

где n! = 1×2 x 3···(n — 1) x n.

Конечно, затруднительно вычислять Пи из этих формул как корень уравнения бесконечной степени. А уравнения конечной степени с целыми коэффициентами, корнем которого было бы число Пи, не существует! Это доказал в конце XIX века немецкий математик Фердинанд фон Линдеман, решив заодно знаменитую античную проблему «квадратуры круга». То есть он показал, что, имея отрезок, равный диаметру круга, невозможно только с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади круга.

Другая знаменитая формула Эйлера:

уже пригодна для приближенного вычисления числа Пи. И даже более подходит для этой цели, чем формула великого немецкого философа и математика Готфрида Лейбница:

Впоследствии выяснилось, что эту формулу задолго до Лейбница вывел индийский математик и астроном Мадхава. Формула Лейбница на самом деле является частным случаем формулы разложения арктангенса в ряд Тейлора:

при подстановке x = 1. Долгое время наиболее удобным для вычисления приближений числа Пи считалось равенство английского математика Джона Мэчина, который был секретарем Лондонского королевского общества, когда его возглавлял Исаак Ньютон. Вот это равенство Мэчина:

Для вычисления числа Пи по формуле Мэчина нужно сначала вычислить arctg1/5 и arctg1/239 с помощью приведенного выше разложения арктангенса в ряд Тейлора, которое, по-видимому, впервые нашел сам Исаак Ньютон.

Число возникает в математике в самых неожиданных местах. Например, математик Абрахам де Муавр (бежавший в Англию из Франции, где его преследовали как гугенота) обнаружил формулу:

Теперь ее называют формулой Эйлера-Пуассона, или интегралом Гаусса.

Сам Муавр, а также выдающиеся математики Пьер-Симон де Лаплас и Карл Фридрих Гаусс в разной степени общности и строгости доказали, что функция Φ(x) = e-x2/2/√2 (из формулы Эйлера-Пуассона следует, что интеграл от функции Φ по вещественной прямой равен 1) является плотностью нормального, или гауссова, распределения, которое является предельным для средних арифметических последовательности независимых случайных величин.

Это означает, например, если мы будем n серий по m раз подбрасывать монету, вычислять разность между числом выпавших «орлов» и «решек» и записывать результат в таблицу, то при росте n и m построенная по таблице гистограмма будет все больше походить на график функции Φ. Эта теорема служит фундаментом для современной квантовой физики, обеспечивая возможность извлекать из многократных измерений случайных событий строгие закономерности.

Казалось бы, тысячелетняя история исследований позволяет предположить, что мы не упустили ничего важного о числе. Однако в 1997 году, совсем недавно в историческом масштабе, произошла сенсация. Саймон Плафф нашел новое представление для числа в виде ряда:

которое не только требует гораздо меньше слагаемых для вычисления числа с заранее заданной точностью, но и позволяет вычислить любую цифру в двоичном представлении числа Пи, не вычисляя предыдущие цифры.

Как вычислить значение Пи

Соавтор(ы): Grace Imson, MA. Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете.

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Количество просмотров этой статьи: 256 987.

В этой статье:

Пи (π) — одно из самых важных и интригующих чисел в математике. Эта константа, примерно равная 3,14, используется для вычисления длины окружности с учетом ее радиуса. [1] X Источник информации Это также иррациональное число, то есть оно может быть вычислено до бесконечного числа знаков после запятой. [2] X Источник информации Это не так-то просто сделать, но все-таки возможно.

Метод 1 из 5:

Вычисление Пи через измерение окружности

Убедитесь, что вы используете идеальный круг. Этот метод не работает с эллипсами, овалами и чем-либо иным, этот метод подходит только для идеальной окружности. Окружность определяется как совокупность всех точек на плоскости, которые лежат на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Крышка банки — идеальный предмет для этого метода. Если вы хотите сделать наиболее точные вычисления, используйте карандаш с очень тонким грифелем.

• Оберните нитку вокруг крышки как можно плотнее. Отметьте точку совпадения начала и конца, а затем измерьте длину нитки с помощью линейки.

Измерьте диаметр окружности. Диаметр — длина отрезка, проходящего через центр окружности и любые две точки, лежащие на окружности.

Используйте формулу. Длина окружности вычисляется по формуле C= π*d = 2*π*r. Таким образом, Пи равно длине окружности, деленной на ее диаметр. Посчитайте Пи (с вашими значениями) на калькуляторе. Результат должен быть примерно равен 3,14. [3] X Источник информации

Чтобы уточнить расчеты, повторите эту процедуру с несколькими различными окружностями, а затем усредните результаты. Ваши измерения не будут совершенными для одной взятой окружности, но с учетом нескольких окружностей, они должны усредниться до точного значения Пи.