Предел последовательности и предел функции по Коши
Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется 😉 Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся:
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:
– квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;
– квантор существования, – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
А теперь попытайтесь прочитать строку целиком.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
Определение предела последовательности
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность :
Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.
Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .
Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Из чего следует, что какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Начинающим рекомендую 2-3 раза перечитать вышесказанное + параграф понятие предела последовательности предыдущего урока, где я объяснил то же самое, но без математических значков.
Закрепим материал практикой:
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой -окрестности точки .
Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т. е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Если выбранная окрестность достаточно великА, то в правой части неравенства мы получим ноль или даже отрицательное значение, в этом случае все члены последовательности войдут в -окрестность с первого же номера.
Если же «эпсилон» достаточно малО, то для любой сколь угодно малой -окрестности точки найдётся натуральное значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство .
Вывод: число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.
К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Используя определение последовательности, доказать, что
Решение: по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух. ).
Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при достаточно больших «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части неравенства в бОльшую сторону (а в предыдущем примере мы, к слову, могли заключить правую часть ещё и в модуль).
И округляем результат:
Вывод: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять, вычитая, скажем, единицу:
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Используя определение последовательности, доказать, что
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»:
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно). Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции: «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют), принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне: число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки ». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »:
Используя определение предела, доказать, что
Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из неравенства следует неравенство .
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен)
После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли -окрестность, ТАКАЯ что из неравенства следует неравенство ?»
Конечно, существует, например, . В этом случае из неравенства следует (формально оно же само). Следует отметить, что в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства тем более следует, что (из того, что «в кармане меньше 50 рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное» значение, в данном примере .
Вывод: для любой, сколько угодно малой -окрестности точки нашлась окрестность точки , такая, что из неравенства следует неравенство . Таким образом, по определению предела функции. Ч.т.д.
Небольшое задание для самостоятельного решения.
Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения 😉
Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них.
Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется двумя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции равен «плюс бесконечности» при , если для любого сколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность: (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность: (синяя стрелка):
Сокращённая запись: , если
Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно:
Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы , для открытых к бесконечности – буквы . Ответы в конце урока.
Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе.
Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучению непрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначала учимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т.д.
Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё.
Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю!
Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету!
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено:
Преобразуем неравенство:
(подумайте, почему)
Для всех «эн»: , поэтому:
Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что выполнено . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Формулировка предела:
, если
Пример 5: Решение: функция определена на всей числовой прямой. Используя определение , докажем существование предела в точке .
Рассмотрим произвольную -окрестность и проверим, найдётся ли -окрестность, такая что из неравенства следует .
Преобразуем неравенство с «эпсилон»:
В качестве искомой окрестности выбираем .
Вывод: для любой, сколь угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что , следовательно, по определению. Ч.т.д.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Докажите равенство, используя определение предела функции по Коши и определение предела функции по Гейне.
Возьмем любое ep > 0. Надо доказать, что найдется d > 0 такое, что одновременно выполняются неравенства:
Преобразуем второе неравенство:
Возведем в квадрат первое неравенство:
1 — ep < (1 + d)^2 - выполняется всегда при любом d
1 + ep > (1 — d)^2 — выполняется всегда при любом d
Значит, оба неравенства выполнены, что и требовалось доказать.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Доказать по определению предела последовательности
Зарегистрирован:
25 окт 2010, 14:11
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1
Уважаемые товарищи, необходимо доказать по определению предела последовательности и функции, заранее большое спасибо откликнувшимся людям, за потраченное время
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 25 окт 2010, 23:20
| Light & Truth |
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315
Задание, аналогичное 1-му:
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 25 окт 2010, 23:55
| Light & Truth |
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 19 дек 2010, 10:27
Зарегистрирован:
25 окт 2010, 14:11
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1
Можете 1е расписать, мой вариант, пожалуйста? Не совсем понятно, что там будет отличаться..
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 19 дек 2010, 11:28
| Light & Truth |
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315
[math]\lim_
А предел-то правильно записан?
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 19 дек 2010, 11:36
Зарегистрирован:
25 окт 2010, 14:11
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1
Вот блин, точно)
2n+2 там, в числителе
Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела последовательности
Добавлено: 19 дек 2010, 11:49
| Light & Truth |
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315
Докажем, что [math]\lim_
2) при [math]n>k[/math] : [math]\left[ \frac \right]+1+\alpha>\frac[/math] , [math]\alpha \in \mathbb[/math] .
А это и означает, что [math]\lim_
11 Определение предела функции по Гейне
Определение предела функции, которое мы дали в предыдущей главе, называется также определением «по Коши». Напомним его:
Определение 1. (Предел функции по Коши) Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что предел функции f ( x ) в точке x = x 0 равен числу b , если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0 , что для всех x из проколотой δ -окрестности точки x 0 значения функции лежат в ε -окрестности точки b . Формально: утверждение
lim x → x 0 f ( x ) = b
по определению означает, что
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ ˚ U δ ( x 0 ) : f ( x ) ∈ U ε ( b ) ,
или (см. замечание 3 из предедыщей лекции 10 ):
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − b | < ε .
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − b | < ε .
Для некоторых целей нам будет удобно использовать другое определение, известное как определение предела функции «по Гейне». Оно основано на понятии предела последовательности.
Определение 2. (Определение предела функции по Гейне.) Пусть снова функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что предел функции f ( x ) в точке x = x 0 равен числу b , если для любой последовательности < x n >, стремящейся к x 0 , все члены которой не равны x 0 , выполняется утверждение: последовательность значений функции f ( x ) в точках x n стремится к b : f ( x n ) → b при n → ∞ . Формально:
∀ < x n >: ( ( ∀ n : x n ≠ x 0 ) ∧ ( lim n → ∞ x n = x 0 ) ) ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = b .
∀ < x n >: ( ( ∀ n : x n ≠ x 0 ) ∧ ( lim n → ∞ x n = x 0 ) ) ⇒ ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = b .
- Вообще говоря, не все значения f ( x n ) обязаны быть определены: возможно, какие-то из начальных членов последовательности < x n >лежат вне области определения функции f ( x ) . Однако, мы знаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 , а последовательность x n стремится к x 0 , и значит, начиная с некоторого члена, обязательно окажется внутри той окрестности, где функция определена. Вместе с дополнительным условием о том, что члены последовательности не равны x 0 , это гарантирует, что по крайней мере начиная с некоторого n = N , все члены последовательности < f ( x n ) >определены. А поскольку начальные члены последовательности не влияют на предел, их можно просто отбросить.
- Условие о том, что все члены последовательности < x n >, не равны x 0 , очень важно. Рассмотрим функцию
f ( x ) = < 1 , x ≠ 2 ; 3 , x = 2.
из примера 12 с предыдущей лекции. Последовательность
x n = < 2 , n = 2 k 2 + 1 n , n = 2 k + 1
стремится к x 0 , при этом последовательность значений функции < f ( x n ) >имеет вид:
f ( x n ) = < 3 , n = 2 k , 1 , n = 2 k + 1 ,
11.2 Эквивалентность определений
Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство.
Из Коши следует Гейне. Пусть предел функции f при x → x 0 равен b по Коши. Докажем, что тогда он равен b также и по Гейне.
Идея доказательства такая. Из определения по Коши следует, что если x близок к x 0 (но при этом не равен x 0 ), f ( x ) близко к b . Пусть последовательность x n стремится к x 0 и никогда не посещает x 0 . Тогда если подождать достаточно долго, x n начнут быть близкими к x 0 (и не равными x 0 ). В этом случае, согласно определению по Коши, f ( x n ) окажутся близкими к b . Значит, f ( x n ) стремится к b .
Осталось чётко сформулировать, что значит в каждом случае означают слова «близко» и «достаточно долго».
Утверждение «предел функции f ( x ) при x → x 0 равен b по Коши» формализуется так:
∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 = δ 1 ( ε 1 ) > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − b | < ε 1 . (11.1) ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 = δ 1 ( ε 1 ) > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − b | < ε 1 . (11.1)
Докажем, что в этом случае определение по Гейне тоже выполняется. Пусть x n — произвольная последовательность, стремящаяся к x 0 и никогда не посещающая x 0 . Тогда для всякого ε 2 > 0 найдётся такое N 2 = N 2 ( ε 2 ) , что для всех n > N 2 , выполняется неравенство | x n − x 0 | < ε 2 . Дополнительно известно, что для всех натуральных n , x n ≠ x 0 . Таким образом, для всех n >N 2 , выполняется неравенство
0 < | x n − x 0 | < ε 2 .
Иными словами, все члены последовательности, начиная с номера N 2 + 1 , лежат в проколотой ε 2 -окрестности точки x 0 . Формально:
∀ ε 2 > 0 ∃ N 2 = N 2 ( ε ) ∀ n > N 2 : 0 < | x n − x 0 | < ε 2 . (11.2) ∀ ε 2 > 0 ∃ N 2 = N 2 ( ε ) ∀ n > N 2 : 0 < | x n − x 0 | < ε 2 . (11.2)
Мы хотим доказать, что в этом случае f ( x n ) → b . Иными словами, нам нужно доказать, что для всякого ε > 0 найдётся такое N = N ( ε ) , что для всех n > N выполняется неравенство | f ( x n ) − b | < ε .
Сравним утверждения (11.1) и (11.2) . Утверждение (11.1) говорит, что если мы хотим сделать f ( x ) близким к b , то нужно потребовать, чтобы x был близок к x 0 и не равнялся x 0 . Утверждение (11.2) говорит, что если мы хотим, чтобы x n был близок к x 0 , то нужно выбрать достаточно большое значение n . Осталось соединить эти два утверждения.
Пусть мы хотим сделать так, чтобы f ( x n ) был ε -близок к b . Согласно (11.1) , для этого нужно сделать так, чтобы x n был δ 1 ( ε ) -близок к x 0 . Согласно (11.2) , для этого нужно сделать так, чтобы n был больше, чем N 2 ( δ 1 ( ε ) ) . Иными словами, мы в утверждении (11.2) в качестве ε 2 должны использовать значение δ 1 ( ε ) .
Действительно, положим N ( ε ) : = N 2 ( δ 1 ( ε ) ) . Тогда согласно (11.2) для всех n > N ( ε ) , выполняется неравенство
0 < | x n − x 0 | < δ 1 ( ε ) .
Согласно (11.1) , для всех значений x , для которых верно неравенство 0 < | x − x 0 | < δ 1 ( ε ) , верно неравенство | f ( x ) − b | < ε . Значит, для всех x n это неравенство также верно.
Итак, для всякого ε > 0 мы построили такое N , что для всех n > N выполняется неравенство | f ( x n ) − b | < ε . Таким образом, f ( x n ) → b .
Это построение работает для любой последовательности < x n >, удовлетворяющей условиям x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n . Значит, утверждение определения по Гейне доказано.
Из Гейне следует Коши. Будем доказывать от противного. Пусть есть такая функция f ( x ) , что для неё выполняется утверждение lim x → x 0 f ( x ) = b по Гейне, но не выполняется такое же утверждение по Коши.
Запишем формально, что значит «не выполняется такое же утверждение по Коши». Для этого нужно навесить отрицание на формулу (11.1) . Получится такая штука:
∃ ε 1 > 0 ∀ δ 1 > 0 ∃ x = x ( δ 1 ) : ( 0 < | x − x 0 | < δ 1 ) ∧ | f ( x ) − b | ≥ ε 1 . ∃ ε 1 > 0 ∀ δ 1 > 0 ∃ x = x ( δ 1 ) : ( 0 < | x − x 0 | < δ 1 ) ∧ | f ( x ) − b | ≥ ε 1 .
В этой формуле δ 1 > 0 произвольна, а x зависит от этой δ 1 . Чтобы прийти к противоречию, мы построим последовательность < x n >, для которой утверждение в определении предела по Гейне будет нарушаться: а именно, x n будет стремиться к x 0 , но f ( x n ) не будет стремиться к b .
Для этого возьмём последовательность δ n : = 1 n . (Как обычно в таких случаях, подойдёт любая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю.) Положим также x n : = x ( δ n ) = x ( 1 n ) . Для всякого натурального n ,
x 0 − 1 n < x n < x 0 + 1 n .
Левая и правая границы стремятся к x 0 , следовательно, по теореме о двух милиционерах , x n → x 0 . Дополнительно верно, что для всех n , x n ≠ x 0 . Таким образом, последовательность < x n >удовлетворяет условию в определении предела по Гейне.
Однако, | f ( x n ) − b | ≥ ε 1 > 0 . Это значит, что последовательность < f ( x n ) >отделена от b , и следовательно не может иметь b своим пределом (см. упражнение 1 из лекции 6 ).
Противоречие с определением предела по Гейне: мы построили последовательность < x n >, стремящуюся к x 0 и не посещающую x 0 , для которой f ( x n ) ↛ b .
Это доказывает теорему. ∎
11.3 Применение предела по Гейне
Доказывать, что предел чему-то равен, пользуясь определением по Гейне, довольно тяжело — нужно рассмотреть все возможные последовательности. Зато с ним гораздо проще доказывать утверждение, что предел не существует или чему-то не равен — достаточно предъявить одну последовательность. Также с помощью предела по Гейне можно легко переносить результаты, доказанные для последовательностей, на функции. Например, докажем теорему о пределе суммы:
Утверждение 1. Пусть f ( x ) → a и g ( x ) → b при x → x 0 . Рассмотрим функцию h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Докажем, что h ( x ) → a + b при x → x 0 .
Доказательство. Докажем, что для функции h ( x ) выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть < x n >произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям f ( x ) и g ( x ) :
f ( x n ) → a , g ( x n ) → b .
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
h ( x n ) = f ( x n ) + g ( x n ) → a + b .
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n , то h ( x n ) → a + b . Утверждение доказано. ∎
Упражнение 1. Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Кстати, до сих пор мы не доказывали, что предел функции определён однозначно. Это несложно сделать явно (хорошее упражнение!), но теперь мы получим этот факт совсем бесплатно. У нас есть аналогичное утверждение для последовательностей (см. соответствующую теорему в лекции 4 ), и с помощью определения по Гейне он автоматически переносится на предел функции: в определении по Гейне требуется, чтобы предел f ( x n ) был одним и тем же для всех подходящих последовательностей < x n >, и значит если бы нашлось два разных числа b , удовлетворяющих определению по Гейне, мы бы пришли к противоречию с единственностью предела последовательности.
11.4 Заключение
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».