График ачх как построить

Расчёт амплитудно-частотных характеристик

были рассмотрены методы, которые можно использовать для расчёта амплитудно- и фазо- частотных характеристик любых линейных четырёхполюсников. Однако для многозвенных четырёхполюсников эти методы приводят к весьма громоздким вычислениям, поскольку связаны с решением уравнений высокого порядка. Существуют более простые методы расчёта АЧХ. Один из таких методов был рассмотрен на странице, которая помещена в архив. Метод сводился к расчёту коэффициентов передачи отдельных звеньев четырёхполюсника путём вычисления параллельных и последовательных сопротивлений и не требовал составления уравнений. Т.е. он был более инженерным и более простым.
Ниже мы рассмотрим ещё более простой метод и приведем примеры программ для типовых фильтров.

Элементы теории

Под амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) обычно понимается соотношение между выходным и входным напряжением четырёхполюсника, которое называется коэффициентом передачи:

Здесь Un(f) и E(f) — выходное и входное напряжение соответственно, которые можно измерить физически, т.е. с помощью вольтметров V1 и V2 как показано на рис. 1.

Соответственно K(f) — это действительное число, указывающее во сколько раз напряжение на выходе четырёхполюсника больше или меньше напряжения на его входе .
В теории существует также понятие комплексного коэффициента передачи:

K(f) = Un(f) / E(f)

Здесь жирный шрифт означает комплексную величину, которая учитывает не только соотношение амплитуд, но и сдвиг фазы гармонического напряжения. На практике, в большинстве случаев, основной интерес представляет амплитуда напряжения. В этом случае, если известно K(f), то K(f) вычисляется как модуль комплексного числа:

При необходимости от K(f) можно определить так же и фазо-частотную характеристику, которая будет рассмотрена на другой странице.
Рассмотрим расчёт АЧХ на примере простейшей интегрирующей RC-цепочки:

Рис.2

Как видим, RC-цепочка это простой делитель напряжения, хотя и частотно зависимый. Передаточная функция определяется как:

Комплексное сопротивление ёмкости: Zс = -i/ωC, где i — мнимая единица, ω = 2πf — круговая частота.
Подставив эти значения, приведём формулу к следующему виду:

Отсюда находим коэффициент передачи как модуль передаточной функции:

Из формулы следует, что при f = 0, K(0) = 1, а с ростом частоты значения K(f) уменьшаются. Это означает, что данная RC-цепь обладает свойствами фильтра нижних частот. Из формулы нетрудно определить частоту среза данного фильтра — т.е. частоту fc при которой коэффициент передачи равен K(fc) = 1 /√2:

Зададим номиналы: R = 1 кОм , С = 1 мкФ и при помощи формы определим: fc = ~ 160 Гц. Теперь перейдём непосредственно к расчёту АЧХ, используя формулу (2) и калькулятор KAN.
Ниже представлен текст соответствующей программы, которую нужно ввести в окно калькулятора и нажать кнопку «Вычислить».

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
; по аналитической формуле
C = 1E-6 ; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
K = 1/sqr( 1 + (2*pi*f*R*C)^2) ; коэфф передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB) ; вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-20,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X

Результатом будут таблица и график АЧХ в децибелах, который показан ниже:
Строка:

 K = 1/sqr( 1 + (2*pi*f*R*C)^2) ; коэфф передачи 

— это программный код, соответствующий формуле (2).

Рис. 3

График представлен, как это обычно принято, в децибелах, где

Внизу страницы в Приложении 1 приводится аналогичная программа, составленная в среде Mathcad.

Рассмотренный подход расчёта АЧХ можно назвать аналитическим, т.к. мы вывели аналитическую формулу (2), по которой затем и произвели расчёт. Однако такой подход применим только для простых схем, содержащих небольшое число элементов. Ниже мы рассмотрим более универсальный подход, основанный на возможностях калькулятора KAN производить вычисления с комплексными числами.
Cнова рассмотрим схему RC-цепи на рис. 2 и соответствующую ей формулу комплексного коэффициента передачи (1). Составим также программу для расчёта АЧХ с использованием комплексных вычислений:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
; по комплексным коэффициентам передачи
C = 1E-6 ; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -!/(w*C) ; комплексное сопротивление ёмкости C
K = ZC/(R + ZC ) ; комплексный коэффициент передачи
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB) ; вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-20,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X

Ниже приведён фрагмент программы, где вычисляются коэффициенты передачи

 K = ZC/(R + ZC ) ; комплексный коэффициент передачи K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах 

Первая строка соответствует формуле (1) и вычисляет комплексный коэффициент передачи. Вторая строка — взятие модуля комплексного числа. Третья — перевод в децибелы. Если ввести текст программы в окно калькулятора, то получим график идентичный тому, что на рис. 3. Строка:

 ZC = -!/(w*C) ; комплексное сопротивление ёмкости 

соответствует математической записи: Zc = -i/ωC, где i — мнимая единица.

Внизу страницы в Приложении 2 приводится аналогичная программа, составленная в среде Mathcad.

Расчёт АЧХ сложных схем

Расммотрим обобщённую схему линейной цепи т.н. лестничной структуры. По этой структуре могут быть реализованы фильтры (нижних и верхних частот, полосовые, режекторные), содержащие элементы L, C и R.

Рис. 4

Здесь Z1, Z3. — комплексные сопротивления, Y2, Y4. — комплескные проводимости.

Из теории известно, что коэффицент передачи такого 4-х полюсника может быть описан следующими выражениями:

где D — матрица, состоящая из элементов рассмотренной схемы, det(D) — детерминант этой матрицы, Ri и Rn сопротивления источника и нагрузки соответственно.

Теперь рассмотрим реальную схему LC-фильтра нижних частот третьего порядка:

Для частоты среза 100 Гц и C = 10 мкФ (10E-6 Ф) расчётом по форме получено:

L1 = L2 = 0.5 Гн (L/2)
Rn = Ri = 318 Ом

Ниже приведена программа расчёта АЧХ данного фильтра:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ LC-фильтра нижних частот 3-го порядка
; матричный метод
mas: D[4,4] ; резервирование массива под матрицу
C = 10E-6 ; ёмкость в Фарадах
Ri = 318 ; сопротивление в Омах
Rn = Ri
L1 = 0.5
L2 = L1
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -!/(w*C) ; комплексное сопротивление ёмкости
ZL1 = !(w*L1) ; комплексное сопротивление индуктивности
ZL2 = ZL1
;параметры матрицы
Z1 = Ri + ZL1
Z3 = ZL2
Y2 = 1/ZC ; комплексная проводимость ёмкости
Y4 = 1/Rn
; матрица
D=|
Z1 1 0 0
-1 Y2 1 0
0 -1 Z3 1
0 0 -1 Y4
|
det = detM(D) ; определитель матрицы
K = 1/det*sqr(Ri/Rn) ; комплексный коэффициент передачи фильтра
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB) ; вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-30,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,400) ; пределы по оси X

На рис. 6 показан график АЧХ данного фильтра:

Рис. 6

Видно, что на частоте 100 Гц коэффициент передачи равен -9 дБ или -3 дБ относительно нулевой частоты.
Программу можно скопировать и выполнить на калькуляторе КАН.

В заключение рассмотрим популярный в своё время фильтр на частоту среза 3000 Гц с весьма крутым срезом и значительным затуханием в полосе непропускания:

Рис. 7

Программа приведена ниже:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ LC-фильтра нижних частот с крутым срезом
; матричный метод
; ёмкости в Ф
mas: D[8,8]
C1 = 24300E-12
C2 = 2610E-12
C3 = 26300E-12
C4 = 13600E-12
C5 = 22500E-12
C6 = 9030E-12
C7 = 19700E-12
; индуктивности в Гн
L1 = 231E-3
L2 = 146E-3
L3 = 168E-3
;
Rn = 4700
Ri = Rn
;
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 100 : 10000, 50 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
; комплексные сопротивления ёмкостей
ZC1 = -!/(w*C1)
ZC2 = -!/(w*C2)
ZC3 = -!/(w*C3)
ZC4 = -!/(w*C4)
ZC5 = -!/(w*C5)
ZC6 = -!/(w*C6)
ZC7 = -!/(w*C7)
; комплексные сопротивления индуктивностей
ZL1 = !(w*L1)
ZL2 = !(w*L2)
ZL3 = !(w*L3)
; параметры матрицы
Z1 = Ri
Y2 = 1/ZC1
Z3 = parC(ZL1,ZC2)
Y4 = 1/ZC3
Z5 = parC(ZL2,ZC4)
Y6 = 1/ZC5
Z7 = parC(ZL3,ZC6)
Y8 = 1/parC(Rn,ZC7)
D = |
Z1 1 0 0 0 0 0 0
-1 Y2 1 0 0 0 0 0
0 -1 Z3 1 0 0 0 0
0 0 -1 Y4 1 0 0 0
0 0 0 -1 Z5 1 0 0
0 0 0 0 -1 Y6 1 0
0 0 0 0 0 -1 Z7 1
0 0 0 0 0 0 -1 Y8
|
;
det = detM(D) ; определитель матрицы
K = 1/det*sqr(Ri/Rn) ; комплексный коэффициент передачи фильтра
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB) ; вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-100,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,10000) ; пределы по оси X

График АЧХ данного ФНЧ представлен на рис. 8
.

Рис. 8

Судя по виду АЧХ, это т.н. эллиптический фильтр.
Программу так же можно скопировать и выполнить на калькуляторе КАН.
Её не трудно переделать для схемы линейного 4-х полюсника любой сложности. Однако оговоримся, что данный метод применим только к 4-х полюсникам, звенья которых соединены последовательно, тогда как прямые соединения звеньев через звено и больше отсутствуют (такие соединения характерны для мостовых 4-х полюсников). В этом случае воспользуйтесь методами контурных токов или узловых напряжений.

Приложение 1. Расчет АЧХ RC цепи по аналитической формуле на Mathcad

Приложение 2. Расчет АЧХ RC цепи по комплексной характеристике на Mathcad

Обратная связь: alexander.nekhaev53@gmail.com

Поддержать проект

Заказать расчет

Как построить график АЧХ

График амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) является важным инструментом при анализе и проектировании электрических и электронных схем. Он отображает зависимость амплитуды сигнала от частоты в заданном диапазоне. Построение графика АЧХ помогает определить полосу пропускания и амплитудно-частотные характеристики системы.

Для построения графика АЧХ необходимо выполнить ряд шагов. Во-первых, необходимо измерить амплитуду сигнала на различных частотах с помощью специального оборудования, такого как анализатор спектра или осциллограф. Затем, полученные значения амплитуды и частоты необходимо отобразить на графике. На графике частоты обычно откладываются по оси абсцисс, а амплитуды — по оси ординат.

Для удобства построения графика АЧХ рекомендуется использовать специализированное программное обеспечение, такое как MATLAB или Python. Эти программы предоставляют возможность строить графики различных функций и обрабатывать полученные данные. При построении графика АЧХ также рекомендуется использовать логарифмическую шкалу на оси абсцисс для более наглядного отображения данных.

Итак, построение графика АЧХ — это важный процесс, который помогает анализировать и оптимизировать электрические системы. Следуя вышеописанным инструкциям и используя специализированное программное обеспечение, вы сможете построить график АЧХ и получить полезные результаты для вашей работы или исследования.

График АЧХ: как его построить

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) графически представляет зависимость амплитуды сигнала от его частоты. Для построения графика АЧХ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовить данные. Измерьте амплитуду сигнала при различных частотах с помощью измерительного устройства или программы для анализа сигналов.
2. Создать таблицу. Создайте таблицу, в которой будет отображаться частота и соответствующая ей амплитуда сигнала.
3. Заполнить таблицу. Заполните таблицу данными, полученными на предыдущем шаге.
4. Выбрать масштаб. Определите масштаб осей графика, чтобы все данные были видны.
5. Построить график. Используя полученные данные и выбранный масштаб, постройте график АЧХ, где по оси X будет откладываться частота, а по оси Y — амплитуда сигнала.
6. Проанализировать график. Изучите полученный график, чтобы определить возможные пики амплитуды при определенных частотах и другие особенности АЧХ.

Построение графика АЧХ является важным этапом при анализе электрических схем, аудио- и видеоустройств, а также в других областях, где требуется изучение частотных характеристик сигнала. Знание, как построить график АЧХ, поможет вам более полно понять исследуемую систему и принять эффективные решения.

Инструменты для построения графика

Существует несколько инструментов, которые могут быть использованы для построения графиков АЧХ. Вот некоторые из них:

• Программы для научных расчетов: Программы, такие как MATLAB, Python с библиотеками NumPy и SciPy, Octave и GNUPlot, предоставляют возможность создания и визуализации графиков АЧХ.
• Пользовательские программы: Некоторые производители оборудования предоставляют свои собственные программы для создания графиков АЧХ и анализа данных. Эти программы могут предлагать дополнительные функции или интеграцию с оборудованием.
• Онлайн-инструменты: Существуют веб-сайты и онлайн-платформы, которые позволяют загружать данные и строить графики АЧХ прямо в интернет-браузере. Некоторые из них являются бесплатными, а некоторые требуют платной подписки.

Выбор инструмента зависит от ваших потребностей и уровня знания программирования. Если вы знакомы с программированием и работой с научными расчетами, вы можете использовать MATLAB или Python для создания и анализа графиков. Если у вас есть специфические требования или предпочтения бренда, вы можете обратиться к пользовательской программе, предоставляемой производителем оборудования.

Однако, если вы не имеете опыта с программированием или предпочитаете простой и удобный способ, онлайн-инструменты могут быть лучшим вариантом для вас. Они обычно предоставляют простой интерфейс пользователя и не требуют дополнительной установки программного обеспечения.

Техники и этапы построения графика АЧХ

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) – это график, который показывает зависимость амплитуды сигнала от его частоты. Построение графика АЧХ является важной задачей в области аудио и электроники, и может быть полезно для анализа и проектирования различного оборудования, такого как фильтры, усилители и динамики.

Для построения графика АЧХ можно использовать различные техники и инструменты. Вот некоторые этапы, которые помогут вам выполнить эту задачу:

1. Выберите способ измерения: Для построения графика АЧХ вам потребуется специальное оборудование для измерения амплитуды и частоты сигнала. Вы можете использовать звуковую карту и программу для измерений или специализированный аудиоанализатор.
2. Подготовьте оборудование: Подключите ваше измерительное оборудование к исследуемому устройству или схеме. Убедитесь, что все соединения правильно установлены и что ваше оборудование работает корректно.
3. Выберите диапазон частот: Определите диапазон частот, в котором вы хотите измерить АЧХ. Обычно выбирают диапазон от низких частот до высоких (например, от 20 Гц до 20 кГц).
4. Измерьте амплитуду: Проведите измерения амплитуды сигнала для каждой выбранной частоты в заданном диапазоне. Запишите полученные значения.
5. Постройте график: Используйте полученные данные амплитуды и частоты для построения графика АЧХ. Вы можете использовать программы для построения графиков, такие как Microsoft Excel или MATLAB, или вручную нарисовать график на бумаге.
6. Анализируйте результаты: Оцените полученный график АЧХ и проанализируйте его форму. Обратите внимание на наличие пиков и провалов, которые могут указывать на наличие резонансов или фильтрационных эффектов в исследуемом устройстве.

Важно помнить, что для достоверных результатов необходимо провести несколько измерений и усреднить значения амплитуды для каждой частоты. Также рекомендуется проверить и откалибровать оборудование перед началом измерений.

Построение графика АЧХ может позволить вам получить ценные сведения о работе и производительности аудио- или электронного оборудования, а также помочь вам в его настройке и оптимизации.

Советы по построению графика АЧХ

Построение графика частотной характеристики (АЧХ) является важным этапом анализа и оценки электрических и электронных систем. График АЧХ позволяет наглядно представить изменение амплитуды сигнала в зависимости от его частоты.

Вот несколько советов, которые помогут вам построить график АЧХ с учетом специфических требований вашей системы:

• Выберите подходящую ось X для отображения частоты: Определите диапазон частот, которые вам интересны, и выберите соответствующую ось X для вашего графика. Если у вас есть возможность выбрать масштаб оси X, то старайтесь подобрать его таким образом, чтобы график был не слишком сжатым или размытым.
• Используйте логарифмическую шкалу для оси Y: Амплитуда сигнала может изменяться на несколько порядков величины, поэтому рекомендуется использовать логарифмическую шкалу для оси Y. Это позволит лучше представить различия в амплитуде сигнала на всем диапазоне.
• Определите точки измерения: Чтобы построить график АЧХ, вам потребуется определить точки измерения на диапазоне частот, которые вас интересуют. Это можно сделать, например, с помощью специального оборудования, такого как спектроанализатор.
• Усреднение результатов измерений: Для повышения точности графика АЧХ рекомендуется выполнить несколько измерений на каждой точке и усреднить полученные результаты. Это поможет устранить возможные случайные ошибки и повысить достоверность графика.
• Пометьте основные точки и характеристики графика: Для более удобного анализа графика АЧХ рекомендуется пометить основные точки и характеристики, такие как граничные частоты, уровень амплитуды и другие важные значения.
• Используйте разные цвета и стили для различных кривых: Если вам нужно сравнить несколько графиков АЧХ, рекомендуется использовать разные цвета и стили линий для каждого графика. Это позволит визуально отличить один график от других и легко сравнить их характеристики.

Следуя этим советам, вы сможете более эффективно построить график АЧХ и получить более полное представление о частотных характеристиках вашей системы.

Вопрос-ответ

Как построить график АЧХ?

Для построения графика АЧХ (амплитудно-частотной характеристики) необходимо провести ряд экспериментов, измерив амплитуду сигнала на выходе системы при разных частотах. Затем полученные данные можно внести в таблицу и построить график, где по оси X отметить частоты, а по оси Y — амплитуду. Таким образом, будет отображена зависимость амплитуды сигнала от частоты.

Какие приборы и программы можно использовать для построения графика АЧХ?

Для построения графика АЧХ можно использовать различные приборы и программы. В качестве приборов могут быть использованы генераторы сигналов, осциллографы, спектроанализаторы и другие измерительные приборы. В качестве программ можно использовать, например, MATLAB, LabVIEW, Python с библиотеками для работы с данными и построения графиков.

Как найти частоту среза по графику АЧХ?

Частота среза — это частота, на которой амплитуда сигнала падает на 3 дБ от максимального значения. Для нахождения частоты среза по графику АЧХ необходимо найти точку, где значение амплитуды равно максимальному значению минус 3 дБ, и отложить от нее вертикальную линию до графика. Пересечение этой линии с графиком будет указывать на частоту среза.

Какие могут быть причины искажений в графике АЧХ?

Искажения в графике АЧХ могут быть вызваны различными причинами. Одной из причин может быть неисправность или неправильное подключение измерительных приборов. Также искажения могут быть вызваны неправильной настройкой оборудования или некачественными компонентами схемы. Некорректные измерения или ошибки при обработке данных также могут привести к искажениям в графике АЧХ.

3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Будет интересно, познавательно и жестко.

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

Рис. 3.1.1 – Схематическое представление синусоидального воздействия

Формула синусоидального воздействия может быть записана как:

Рисунок 3.1.2 – График представления синусоидального воздействия

— сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
— амплитуда;
т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):

Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:

В показательной форме:

Запишем в показательной форме используя соотношения 3.1.1:

Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:

Поскольку (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:

если вспомнить, что в преобразования Лапласа , то:

Получаем выражение для передаточной функции

— Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ= тождественно равен амплитуде выходного сигнала:

Сдвиг фазы выходного сигнала:

Обычно АФЧХ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить в полярных координатах
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:

Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то

Сдвиг фазы можно определить по виду многочленов и (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:

Подставляя в формулу различные значения , получаем набор векторов, на комплексной плоскости

Рисунок 3.1.3 – Годограф абстрактного звена.

Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:

Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте по формулам:

В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:

где:
j = 0, 2, 3, 4. если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4. если вектор в II и III квадранте.

Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.

при замене на имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при < 0 (пунктирная линия), видим, что:
– четная функция, следовательно график симметричен относительно оси ординат, а
– нечетная функция и ее график центрально-симметричен относительно начала координат.

Рисунок 3.1.4 – «Зеркальная» симметрия относительно оси ординат.

Рисунок 3.1.5 – «Центральная» симметрия относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).

ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в раз.

В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность () пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).

Если больше на 20 дБ, то это означает, амплитуда больше амплитуды в 10 раз,

Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Рисунок 3.1.6 – пример графика АЧХ

Рисунок 3.1.7 – пример графика ФЧХ

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:

Рисунок 3.1.8 – пример графика ЛАХ

Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.

Рисунок 3.1.9 – пример графика ЛФЧХ

Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы

Пример 1

В качестве примера построим АФЧХ для демпфера, модель которого разобрана в этой статье. . Добавим на схему блок «Построение частотных характеристик», в качестве входа возьмем возмущающее воздействие, в качестве выхода — положение положение груза. Для наглядности иллюстрации примем в качестве выхода положение в миллиметрах (х1000), поскольку модель у нас размерная и результат получается в метрах уже достаточно маленьким примерно 0.004 метра. см. рис. 3.11

Рисунок 3.1.11 Схема для построения частотных характеристик.

Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:

Рисунок 3.1.12 – Параметры блока «Частотные характеристики».

Рисунок 3.1.13 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в линейном масштабе по ω.

Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).

На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.

Рисунок 3.1.14 – Частотные характеристики в АЧХ, ЛАХ, ФЧХ в логарифмическом масштабе по ω.

Пример 2

Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции.

Для начала посмотрим на модель в виде блоков.

Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.

Рисунок 3.1.15 – Модель гидравлического демпфера.

Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)

Рисунок 3.1.16 – Частотные характеристики гидравлического демпфера

Блок «Построение частотных характеристик» осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.

Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».

Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7

Рисунок 3.1.17 – Модель гидравлического демпфера для расчёта частотных характеристик.

Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)

Рисунок 3.1.18 – АЧХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Рисунок 3.1.19 – ЛАХ подробной модели привода, полученная прямым моделированием.

Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.

Рисунок 3.1.20 – Перемещения плунжера в процессе моделирования.

Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)

Рисунок 3.1.21 – Годограф системы гидравлического демпфера.

Модели, использованные для иллюстрации в лекции можно взять здесь…

Как построить график АЧХ

График амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) является важным инструментом при анализе и проектировании электрических и электронных схем. Он отображает зависимость амплитуды сигнала от частоты в заданном диапазоне. Построение графика АЧХ помогает определить полосу пропускания и амплитудно-частотные характеристики системы.

Для построения графика АЧХ необходимо выполнить ряд шагов. Во-первых, необходимо измерить амплитуду сигнала на различных частотах с помощью специального оборудования, такого как анализатор спектра или осциллограф. Затем, полученные значения амплитуды и частоты необходимо отобразить на графике. На графике частоты обычно откладываются по оси абсцисс, а амплитуды — по оси ординат.

Для удобства построения графика АЧХ рекомендуется использовать специализированное программное обеспечение, такое как MATLAB или Python. Эти программы предоставляют возможность строить графики различных функций и обрабатывать полученные данные. При построении графика АЧХ также рекомендуется использовать логарифмическую шкалу на оси абсцисс для более наглядного отображения данных.

Итак, построение графика АЧХ — это важный процесс, который помогает анализировать и оптимизировать электрические системы. Следуя вышеописанным инструкциям и используя специализированное программное обеспечение, вы сможете построить график АЧХ и получить полезные результаты для вашей работы или исследования.

График АЧХ: как его построить

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) графически представляет зависимость амплитуды сигнала от его частоты. Для построения графика АЧХ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовить данные. Измерьте амплитуду сигнала при различных частотах с помощью измерительного устройства или программы для анализа сигналов.
2. Создать таблицу. Создайте таблицу, в которой будет отображаться частота и соответствующая ей амплитуда сигнала.
3. Заполнить таблицу. Заполните таблицу данными, полученными на предыдущем шаге.
4. Выбрать масштаб. Определите масштаб осей графика, чтобы все данные были видны.
5. Построить график. Используя полученные данные и выбранный масштаб, постройте график АЧХ, где по оси X будет откладываться частота, а по оси Y — амплитуда сигнала.
6. Проанализировать график. Изучите полученный график, чтобы определить возможные пики амплитуды при определенных частотах и другие особенности АЧХ.

Построение графика АЧХ является важным этапом при анализе электрических схем, аудио- и видеоустройств, а также в других областях, где требуется изучение частотных характеристик сигнала. Знание, как построить график АЧХ, поможет вам более полно понять исследуемую систему и принять эффективные решения.

Инструменты для построения графика

Существует несколько инструментов, которые могут быть использованы для построения графиков АЧХ. Вот некоторые из них:

• Программы для научных расчетов: Программы, такие как MATLAB, Python с библиотеками NumPy и SciPy, Octave и GNUPlot, предоставляют возможность создания и визуализации графиков АЧХ.
• Пользовательские программы: Некоторые производители оборудования предоставляют свои собственные программы для создания графиков АЧХ и анализа данных. Эти программы могут предлагать дополнительные функции или интеграцию с оборудованием.
• Онлайн-инструменты: Существуют веб-сайты и онлайн-платформы, которые позволяют загружать данные и строить графики АЧХ прямо в интернет-браузере. Некоторые из них являются бесплатными, а некоторые требуют платной подписки.

Выбор инструмента зависит от ваших потребностей и уровня знания программирования. Если вы знакомы с программированием и работой с научными расчетами, вы можете использовать MATLAB или Python для создания и анализа графиков. Если у вас есть специфические требования или предпочтения бренда, вы можете обратиться к пользовательской программе, предоставляемой производителем оборудования.

Однако, если вы не имеете опыта с программированием или предпочитаете простой и удобный способ, онлайн-инструменты могут быть лучшим вариантом для вас. Они обычно предоставляют простой интерфейс пользователя и не требуют дополнительной установки программного обеспечения.

Техники и этапы построения графика АЧХ

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) – это график, который показывает зависимость амплитуды сигнала от его частоты. Построение графика АЧХ является важной задачей в области аудио и электроники, и может быть полезно для анализа и проектирования различного оборудования, такого как фильтры, усилители и динамики.

Для построения графика АЧХ можно использовать различные техники и инструменты. Вот некоторые этапы, которые помогут вам выполнить эту задачу:

1. Выберите способ измерения: Для построения графика АЧХ вам потребуется специальное оборудование для измерения амплитуды и частоты сигнала. Вы можете использовать звуковую карту и программу для измерений или специализированный аудиоанализатор.
2. Подготовьте оборудование: Подключите ваше измерительное оборудование к исследуемому устройству или схеме. Убедитесь, что все соединения правильно установлены и что ваше оборудование работает корректно.
3. Выберите диапазон частот: Определите диапазон частот, в котором вы хотите измерить АЧХ. Обычно выбирают диапазон от низких частот до высоких (например, от 20 Гц до 20 кГц).
4. Измерьте амплитуду: Проведите измерения амплитуды сигнала для каждой выбранной частоты в заданном диапазоне. Запишите полученные значения.
5. Постройте график: Используйте полученные данные амплитуды и частоты для построения графика АЧХ. Вы можете использовать программы для построения графиков, такие как Microsoft Excel или MATLAB, или вручную нарисовать график на бумаге.
6. Анализируйте результаты: Оцените полученный график АЧХ и проанализируйте его форму. Обратите внимание на наличие пиков и провалов, которые могут указывать на наличие резонансов или фильтрационных эффектов в исследуемом устройстве.

Важно помнить, что для достоверных результатов необходимо провести несколько измерений и усреднить значения амплитуды для каждой частоты. Также рекомендуется проверить и откалибровать оборудование перед началом измерений.

Построение графика АЧХ может позволить вам получить ценные сведения о работе и производительности аудио- или электронного оборудования, а также помочь вам в его настройке и оптимизации.

Советы по построению графика АЧХ

Построение графика частотной характеристики (АЧХ) является важным этапом анализа и оценки электрических и электронных систем. График АЧХ позволяет наглядно представить изменение амплитуды сигнала в зависимости от его частоты.

Вот несколько советов, которые помогут вам построить график АЧХ с учетом специфических требований вашей системы:

• Выберите подходящую ось X для отображения частоты: Определите диапазон частот, которые вам интересны, и выберите соответствующую ось X для вашего графика. Если у вас есть возможность выбрать масштаб оси X, то старайтесь подобрать его таким образом, чтобы график был не слишком сжатым или размытым.
• Используйте логарифмическую шкалу для оси Y: Амплитуда сигнала может изменяться на несколько порядков величины, поэтому рекомендуется использовать логарифмическую шкалу для оси Y. Это позволит лучше представить различия в амплитуде сигнала на всем диапазоне.
• Определите точки измерения: Чтобы построить график АЧХ, вам потребуется определить точки измерения на диапазоне частот, которые вас интересуют. Это можно сделать, например, с помощью специального оборудования, такого как спектроанализатор.
• Усреднение результатов измерений: Для повышения точности графика АЧХ рекомендуется выполнить несколько измерений на каждой точке и усреднить полученные результаты. Это поможет устранить возможные случайные ошибки и повысить достоверность графика.
• Пометьте основные точки и характеристики графика: Для более удобного анализа графика АЧХ рекомендуется пометить основные точки и характеристики, такие как граничные частоты, уровень амплитуды и другие важные значения.
• Используйте разные цвета и стили для различных кривых: Если вам нужно сравнить несколько графиков АЧХ, рекомендуется использовать разные цвета и стили линий для каждого графика. Это позволит визуально отличить один график от других и легко сравнить их характеристики.

Следуя этим советам, вы сможете более эффективно построить график АЧХ и получить более полное представление о частотных характеристиках вашей системы.

Вопрос-ответ

Как построить график АЧХ?

Для построения графика АЧХ (амплитудно-частотной характеристики) необходимо провести ряд экспериментов, измерив амплитуду сигнала на выходе системы при разных частотах. Затем полученные данные можно внести в таблицу и построить график, где по оси X отметить частоты, а по оси Y — амплитуду. Таким образом, будет отображена зависимость амплитуды сигнала от частоты.

Какие приборы и программы можно использовать для построения графика АЧХ?

Для построения графика АЧХ можно использовать различные приборы и программы. В качестве приборов могут быть использованы генераторы сигналов, осциллографы, спектроанализаторы и другие измерительные приборы. В качестве программ можно использовать, например, MATLAB, LabVIEW, Python с библиотеками для работы с данными и построения графиков.

Как найти частоту среза по графику АЧХ?

Частота среза — это частота, на которой амплитуда сигнала падает на 3 дБ от максимального значения. Для нахождения частоты среза по графику АЧХ необходимо найти точку, где значение амплитуды равно максимальному значению минус 3 дБ, и отложить от нее вертикальную линию до графика. Пересечение этой линии с графиком будет указывать на частоту среза.

Какие могут быть причины искажений в графике АЧХ?

Искажения в графике АЧХ могут быть вызваны различными причинами. Одной из причин может быть неисправность или неправильное подключение измерительных приборов. Также искажения могут быть вызваны неправильной настройкой оборудования или некачественными компонентами схемы. Некорректные измерения или ошибки при обработке данных также могут привести к искажениям в графике АЧХ.