Докажите что корень из 5 иррациональное число

Как доказать, что корень из 5 это иррациональное число?

Допустим, что оно рациональное, то есть существует рациональная дробь х/у такая, что (х/у) ^2 = 5. Будем считать дробь несократимой (если бы она была сократимой, мы могли бы сначала сократить общие множители, а потом продолжить рассуждение) . Из равенства (х/у) ^2 = 5 следует, что
х^2 = 5 * y^2. Отсюда вытекает, что х^2 делится на 5. Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число. Подставив это в равенство х^2 = 5 * y^2, получаем
(5 * z)^2 = 5 * y^2,
то есть 5 * z^2 = y^2. Отсюда следует, что y^2 делится на 5, а следовательно, и у делится на 5. Но ведь мы предполагали, что х/у — несократимая дробь, а получили, что и х, и у делятся на 5. Это противоречие показывает, что исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рациональной дроби, квадрат которой равен 5.

Дмитрий ИЗнаток (261) 5 лет назад

«Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число» — почему? Не могу допетрить до доказательства: в чем эти рассуждения поменяются, если по тому же принципу попытаться доказать иррациональность рациональных чисел, например, корень из 49 или корень из 9/16?
На примере: (3/4)^2 = 9/16 -> 3^2 = 4^2*9/16.. дальше у меня облом;
(7/1)^2 = 49 -> 7^2 = 49*1^2. То же, 7^2 нацело делится на 49, но 7 — нет. Нельзя записать в виде «7 = 49*z, где z — целое число»
Но везде вижу подобное доказательство. Сижу и туплю. Что упускаю?

Excelsior Просветленный (43612) Разница между 49 и 7 заключается в том, что 7 — простое число, а 49 — нет. Вот это вы и упускаете. Подумайте. Поняли?

Докажите что корень из 5 иррациональное число

Выбирая здесь a 1 = 1, получаем иррациональность суммы радикалов +. + . Для доказательства соотношения 13.5 проведите индукцию по числу простых p 1 , . p m , входящих в разложения чисел a 1 , . a n на множители.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.025

Проект осуществляется при поддержке и .

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

как доказать, что sin5 — иррациональное число!

как доказать, что sin5 — иррациональное число!
29.05.2009, 17:28

Последний раз редактировалось AKM 03.01.2010, 22:55, всего редактировалось 1 раз.

Архивирование: «5 градусов»

Как доказать, что -иррациональное число.

Re: как доказать, что sin5 — иррациональное число!
29.05.2009, 17:45
Может быть поможет теорема Линдемана?
(Смотрите, например, добавление к Алгебре Ленга.)
Re: как доказать, что sin5 — иррациональное число!
29.05.2009, 22:12

, что является рациональным числом, если является рациональным числом, но ,

Как доказать, что -иррациональное число.

Пусть . Тогда \right) = 4\cos ^3 10^\circ — 3\cos 10^\circ = 4\left( \right)^3 — 3\left( \right)$» />.

является рациональным, тогда из равенства следует, что число также является рациональным, а это не верно. Следовательно, число является иррациональным.
Утверждение доказано.

Re: как доказать, что sin5 — иррациональное число!
30.05.2009, 14:41

!	AKM:
	Cute ,

Докажите, что число корень 5 + корень 7 является иррациональным

Докажите, что число корень 5 + корень 7 является иррациональным.

Пусть оно рациональное, тогда его квадрат — удвоенный корень из 35 плюс 12 -тоже рациональное, тогда корень из 35 — тоже рациональное — противоречие

Возведите его в квадрат и этот квадрат будет 12+2*корень(35) — число иррациональное, значит исходное тоже иррациональное

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

Даны натуральные числа a и b (a > 1), причём b делится на a в квадрате

Кроме того, любой делитель числа b, меньший, чем корень из а , является также делителем числа a. Докажите, что у числа a не более трех различных простых делителей.

Задача про пирамиду. Помогите

в пирамиде DABC ребро ADперпендикулярно основанию, AD=4 корень из 3см, AB=2см, угол ABC=90 градусов, уголBAC=60 градусов, M-середина AD. 1) найдите площадь боковой поверхности пирамиды 2) найдите площадь сечения пирамиды плоскости BMC 3)найдите угол между плоскостью MBC и плоскостью ADC 4)найдите угол между прямой BC и плоскостью ADC 5)докажите,что плоскость MBC перпендикулярна плоскости ABD

Пыталась решать,но ни с оним ответом не сходится.

при каком значении k графики линейных функций y=kx-5 и y=5x-20 пересекаются на оси абцисс
а)таких нет,б)5,в)при любых,г)1.25

Найдите все целые значения c,при которых корень уравнения cx=-7 является целым числом.
а)-7,7;-1,1; б)-1;-7; в)0;-1;-7; г)1;7.

при каком значении выражения 3,6х-7,3 на 2,6 меньше значения выражения 4.3-3,4х
а)1,2/7; б)2,1/35; в)7/9; г)таких значений нет.

Сумма кубов

объясните мне пожалуйста, как числитель(который до знака равно) разложили по формуле сумме кубов(числитель, который после знака равно).

смотрим на числитель дроби(которая после знака равно)
там есть такое выражение в самом начале (2 √2)
я понимаю что число 2 — это кубический корень числа 8.
но вот то что число √2 является кубическим корнем выражения (а √2) — этого я понять не могу.

пожалуйста объясните мне на пальцах.

Как доказать единственность решения?

Решить уравнение 4^((sin pi*x/4)^2)+4^((cos pi*x/4)^2)=корень(13+6x-3x^2)
Рассмотрим левую часть, каждое из слагаемых в силу ограниченности sin и cos , так же ограничено от 1 до 4. Общая сумма тоже получается ограничена от 4 до 5. Можно увидеть, что х=1 является корнем. А вот как доказать единственность? Помогите, пожалуйста.

Докажите что корень из 5 иррациональное число

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа представляют собой довольно сложный набор чисел. Эти числа открывают безграничные возможности для математических исследований. И в этой статье мы объясним вам его основные особенности, чтобы вы поняли, как они работают и как используются. Тем не менее, давайте начнем с их определения.

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа – это числа, которые невозможно выразить дробью двух целых чисел. Это означает, что число нельзя разделить на равные части. Ну, у них есть бесконечные непериодические десятичные цифры (которые кажутся случайными). Их часто обозначают буквой θ (тета) или буквой I (заглавная буква).

Подмножества множества иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел является подмножеством действительного множества , которое, в свою очередь, можно разложить на две низшие категории в зависимости от происхождения этих чисел:

• Алгебраические иррациональные числа: они являются решением алгебраического уравнения.
• Трансцендентные: происходят от трансцендентных функций (тригонометрических, логарифмических, экспоненциальных и т. д.).

Примеры иррациональных чисел

Некоторыми примерами иррациональных чисел являются число пи (π), число Эйлера , квадратный корень из 2, квадратный корень из 5 и многие другие. Фактически, многие из этих чисел являются математическими константами или корнями определенных чисел. Вот список из пяти других примеров иррациональных чисел:

• квадратный корень из 3 ( √3 )
• Квадратный корень из 93 ( √93 )
• Квадратный корень из 123 ( √123 )
• Квадратный корень из 189 ( √189 )
• Золотое сечение (Φ)

Характеристики иррациональных чисел

Иррациональные числа имеют несколько отличительных характеристик. Во-первых, они неисчислимы, то есть их невозможно перечислить. Действительно, иррациональные числа занимают гораздо большую плотность точек пространства, чем плотность точек рациональных чисел. В основном потому, что их бесконечное количество .

Во-вторых, иррациональные числа не являются периодическими. Это означает, что не существует такой вещи, как бесконечно повторяющаяся строка чисел в ее десятичном представлении . Хорошим примером является число Пи: его десятичные цифры не следуют шаблону и кажутся случайными.

Наконец, иррациональные числа плотны. Это означает, что между любыми двумя заданными числами существует бесконечное количество иррациональных чисел. Эта особенность возникает потому, что интервалы между значениями слишком малы, чтобы их можно было измерить, поэтому кажется, что набор иррациональных чисел непрерывен .

Представление иррациональных чисел

Представление иррациональных чисел очень простое. Это число, которое нельзя выразить в виде дроби и, следовательно, нельзя представить в обычной форме деления . Вместо этого оно представлено в виде десятичного числа, которое не заканчивается и не имеет шаблона. Например, число Пи (3,14159…) — иррациональное число.

С другой стороны, их можно представить и на числовой прямой , но локализовать это множество на прямой довольно сложно. Это связано с тем, что они имеют бесконечное количество десятичных знаков, и поэтому практически невозможно найти их с точной точностью.

Математические применения иррациональных чисел

Иррациональные числа имеют множество приложений в математике. Например, они имеют большое применение в геометрии: с их помощью вычисляются площади, периметры геометрических фигур, длины кривых и объемы трехмерных тел. Они также используются в статистических расчетах и математическом анализе.

Кроме того, существует множество математических констант, принадлежащих к иррациональному множеству, которые имеют бесконечное количество применений. Итак, в заключение можно сказать, что это немного сложно, но очень полезно .

Числа. Иррациональные числа.

Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь Числа. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например, квадратный корень из двух – является числом иррациональным.

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

,

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел.

• Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
• Всякое вещественное трансцендентное число — это иррациональное число.
• Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
• Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
• Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
• Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).